Aula 03 - Modelagem em PPLIM

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1 Thiago A. O. 1 1 Universidade Federal de Ouro Preto

2 1 Componentos do modelo

3 Componentes de uma modelagem matemática Elementos; Conjuntos; Parâmetros; Variáveis; Objetivo; Restições;

4 Elementos Componentos do modelo Os elementos de um problema são as entidades e entidades físicas ou abstratas que caracterizam o problema e sob as quais atuamos e para as quais as decisões são tomadas. Funcionam como indexadores no modelo. Por exemplo: Tempo Produtos Recursos Categorias Mercados Configurações etc..

5 Conjuntos Componentos do modelo Os conjuntos são agrupamentos de elementos de um mesmo tipo, que possuem uma mesma função ou mesma finalidade. Os conjuntos funcionam como domínio para os indexadores. Por exemplo: Horizonte de planejamento Conjuto de produtos de uma determinada família Conjunto de salas de aula Conjuntos de especialidades médicas Regiões geográficas conjunto de velocidades de um equipamento etc..

6 Parâmetros Componentos do modelo Parâmetros são usados para ponderar variáveis ou definir limites para restrições. Fisicamente estão relacionadas à consumo, capacidade, custos, utilidades marginais, entre outros. Por exemplo: Custo de enviar o produto do centro de distribuição i para a região de venda j; Tempo gasto pelo trabalhor i na atividade j; Disponibilidade de horas de um equipamento na linha de produção; Tempo necessário para realizar uma operação; Peso de um item a ser acomodado no caminhão; volume de um item a ser acomodado no caminhão; etc..

7 Variáveis Componentos do modelo As variáveis de decisão são componentes do modelo de valor indefinido cuja definição se dá atravéz da solução do problema em questão. As variávies possuem relação direta com as decisões a serem tomadas. Podem significar ações/opções quando categóricas ou grandezas quando contínuas/numéricas. Estão associadas aos elementos e conjuntos do modelo. O domínio de uma variável define as possibilidades para seus valores.

8 Variáveis Componentos do modelo Por exemplo: Enviar ou não produtos da CD A para região B; Alocar o trabalhador i para a atividade j; Quantidade de horas alocadas para um determinado tipo de atividades; Quantidade de produtos do tipo C a ser produzido; Tempo de início de uma atividade; volume de um item a ser acomodado no caminhão; etc..

9 Tipos de variáveis em PPLIMs Binárias - Podem assumir os valores 0 ou 1. Inteiras - Podem assumir qualquer valor inteiro positivo Contínuas - Podem assumir qualquer valor real positivo Mistas - Combinam dois tipos de variáveis separados por um limite. Ex.: Inteiros parciais, variáveis semicontínuas..

10 Objetivo Componentos do modelo O Objetivo de um problema é a sua meta. A partir de função deve direcionar a decisão. Deve representar de maneira mais proxima possível o custo/utilidade de se associar determinados valores para o conjunto de variáveis. Por exemplo: Maximizar a contribuição marginal da venda de produtos; Minimizar o custo de transporte; Maximizar a utilização de um recurso; Minimizar a perda em um processo de corte; Minimizar a duração de um projeto; Maximizar o valor presente ĺıquido de uma carteira de projetos; etc..

11 Restrições Componentos do modelo As restrições de um problema são limitantes para atribuição de valores para as variáveis. Podem representar limitações físicas do problema ou relações estruturais necessárias para tornar uma decisão viável. Por exemplo: Todas as atividades deverão ser realizadas; O tempo de inicio da produção do item A não pode ser anterior ao tempo de termino da produção do item B; O risco total de uma carteira de ativos financeiros não deve ultrapassar X; O peso dos produtos carregados em um caminhão não deve ultrapassar sua capacidade; Um mesmo funcionario não pode ser alocado para trabalhar em dois turnos seguidos; Um determinado ponto no mapa deve ser alcançado por pelo menos uma antena de telefonia; etc..

12 Formas Matricial, impĺıcita e explicita Uma formulação matemática pode se apresentar de três maneiras: Matricial Impĺıcita Expĺıcita max c T x + h T y max ijk u ijkx ijk max 3x 1 + 2x 2 S.a: S.a: S.a: Ax + Gy b jk a jkx ijk b i, i x 1 x 2 2 x 1 10 x R n +, y Z p + x ijk Z + x 1, x 2 Z +

13 Problema da designação Elementos; Conjuntos; Parâmetros; Variáveis; Objetivo; Restições; etc..

14 Problema da mochila 0-1 Elementos; Conjuntos; Parâmetros; Variáveis; Objetivo; Restições; etc..

15 Ser, ou não ser? Componentos do modelo Nomalmente representam as opções de realizar ou não uma ação; Estratégia A ou B; Sim/Não; Liga/Desliga; Aberto/Fechado;

16 Condições Lógicas: escolha No máximo N dentre os elementos a,b,c...: No mínimo N dentre os elementos a,b,c...: Exatamente N dentre os elementos a,b,c...: a + b + c +... N a + b + c +... N a + b + c +... = N

17 Condições Lógicas: implicação Não a ( a): ā = 1 a Se a então b (a b): b a Se a então não b (a b): a + b 1 Se não a então b ( a b): a + b 1 Se a então b ou c (a (b c)): b + c a Se b ou c então a ((b c) a): a 0.5(b + c) Se b e c então a ((b c) a): a b + c 1 Se M ou mais dentre N elementos então a ( i M x i N a): a i M x i M+1 N M+1

18 Condições Lógicas: implicação Tabela da verdade para a b: a b a b? ( a b) b a?

19 Modelagem de funções lineares por parte Custo fixo: g(x, b) = fb + vx x bl u x R +; b {0, 1} custo linerar por partes: g(x, b) = i (b ic Bi + v i (x i B i 1 )) x i b i B i i x i b i B i 1 i i b i = 1 x i R +; b i {0, 1}

20 Modelagem de funções lineares por parte - Exemplo Exemplo: B 0 = 0, B 1 = 5, B 2 = 10, B 3 = 15 C B0 = 0, C B1 = 10, C B2 = 15, C B3 = 17.5 v 1 = 2, v 2 = 1, v 3 = 0.5, g(x i, b) = 10b b 3 + 2(x 1) + (x 2 5) + 0.5(x 3 10) 0 x 1 5b 1 5b 2 x 2 10b 2 10b 3 x 3 15b 3 b 1 + b 2 + b 3 = 1 x i R +; b i {0, 1}

21 Restrições do tipo uma ou outra (Ou exclusivo) (A 1 x b 1 ) (A 2 x b 2 ): A 1 x b 1 + rm A 2 x b 2 + (1 r)m x R + ; r {0, 1} Neste caso, M é um parâmetro de valor muito grande. É conhecido como big M e simula o infinito, embora valores menores geram formulações mais fortes (desde que M seja grande o suficiente para cumprir o seu papel).

22 Multiplicação de variáveis binárias b 3 = b 1 b 2 = min{b 1, b 2 } = b 1 b 2 : b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 1 + b 2 1 b i {0, 1}

23 Multiplicação de variável binária por real x 2 = bx 1 : x 2 bl u x 1 x 2 (1 b)l u x j R + ; b {0, 1}

24 Mínimo e Máximo mínimo; x 3 = min{x 1, x 2 }: máximo; x 3 = max{x 1, x 2 }: x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 rm x 3 x 1 + rm x 3 x 2 (1 r)m x 3 x 2 + (1 r)m x i R + ; r {0, 1} x i R + ; r {0, 1}

25 Módulo Componentos do modelo x 3 = x 1 x 2 = max{x 1 x 2, x 2 x 1 }: x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 + rm x 3 x 2 x 1 + (1 r)m x i R + ; r {0, 1}

26 Composição de carga Suponha que em um armazem deve-se decidir qual tipo de veículo que fará a entrega de cada pedido. Cada pedido possui seu próprio volume e peso. Assim como cada veículo possui sua capacidade (volume e peso) e seus custos associados (fixo e variável). Formule de maneira impĺıcita o PPLIM cujo objetivo é a minimização dos custos.

27 Localização de instalações Para melhora o nível de serviço logístico e diminuir os custos de transporte, uma empresa deve decidir onde e quantos armazéns deve abrir dentre uma série de cidades candidatas. Cada candidata possui um custo fixo de abertura, isto é, um custo associado a sua construção, que só é cobrado uma única vez. O armazém existe para atender a demanda dos clientes da empresa. Para cada cliente é definido um tempo máximo de entrega e um volume associado (em toneladas/ano). Tendo conhecimento do custo (por tonelada) e do prazo de se entregar em um determinado cliente a partir de cada sede candidata, formule de maneira impĺıcita o PPLIM cujo objetivo é a minimização dos custos totais.

28 Planejamento da produção Uma empresa deve construir um plano de produção para atender suas demandas com menor custo possível dentro de um horizonte de planejamento previamente definido. A empresa vende múltiplos itens que possuem demandas diferentes para cada período do horizonte. Cada item possui um tempo de produção por unidade e um tempo associado à preparação de máquinas para início de sua produção no período. A fábrica possui uma disponibilidade de horas por período e é permitido a formação de estoques. O estoque representa o excedente de produção em relação à demanda em um determinado período. Cada item possui um custo de estoque associado. Formule de maneira impĺıcita o PPLIM que represente o problema.

29 Sequenciamento de uma máquina O objetivo deste problema é definir a sequência de operações (jobs) a ser executada por uma única máquina de forma a minimizar o atraso máximo. Cada job possui um tempo de processamento e uma data de entrega. Como uma única máquina realizará as operações em sequência, se um job for realizado antes de outro então o seu tempo de término deve ser posterior ao termino do primeiro acrescido do tempo necessário para sua produção. O atraso ocorre quando quando o tempo de término de um job é posterior à sua data de entrega. Formule de maneira impĺıcita o PPLIM que represente o problema.

30 Exemplo de disjunção Dado o objetivo do problema como sendo a maximização da soma das variáveis poderadas pelo vetor de contribuição c = [43], formule o PPLI abaixo associado ao poliedro abaixo. {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 + x 2 4; 3x 1 2x 2 3, se x 1 3; 6x 1 + 4x 2 36; 6, se x 1 3} x 1 + x 2

31 Exemplo de disjunção 0: max 4x 1 + 3x 2 S.a : 1: x 1 + x 2 4 2: 6x 1 + 4x : x 1 + x 2 6 (1 r)m 4: x 1 3 (1 r)m 5: 3x 1 2x rm 6: x rm 7: (x 1, x 2 ) R 2 M=15

32 Exemplo de disjunção M=1 M=10

33 Coloração de grafos - definição Em um grafo (ou um mapa) deseja-se atribuir o menor número de cores de forma que nenhum vértice (ou região) possua a mesma cor que um vértice adjacente (ou vizinho).

34 Coloração de grafos - formulações Com big-m Sem big-m

35 Coloração de grafos - Com big-m 0 min Obj s.a. : 1 Obj c i, i V 2 c i c j 1 + b ij M, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j 3 c j c i 1 + (1 b ij )M, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j 4 c i Z +, i V 5 b ij {0, 1}, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j qualquer V : V = 4 quaisquer configurações de Adj(i), i V c i {0, 1, 2, 3} Obj {0, 1, 2, 3} c i {0, 1, 2, 3} M = 4 PL : Obj = 0 c i = 0, i V b ij = 0.25, (i, j) V V : j Adj(i)ei < j É necessário ao menos uma cor!!!

36 Coloração de grafos - Sem big-m 0 min Obj s.a. : 1 Obj c b c,i, i V, c C 2 c b c,i = 1, i V 3 b c,i + b c,j 1, c C, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j 4 b c,i {0, 1}, c C, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j qualquer V : V = 4 quaisquer configurações de Adj(i), i V c {0, 1, 2, 3} Obj {0, 1, 2, 3} PL : Obj = b 0,i = 0.5, i V b 1,i = 0. 27, i V b 2,i = , i V b 3,i = 0. 09, i V É necessário ao menos duas cores!!!

37 Coloração de grafos - Sem big-m II 0 min Obj s.a. : 1 Obj c b c,i, i V i V, c C 2 c b c,i = 1, i V 3 b c,i + b c,j 1, c C, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j 4 b c,i {0, 1}, c C, (i, j) V V : j Adj(i) e i < j qualquer V : V = 4 quaisquer configurações de Adj(i), i V c {0, 1, 2, 3} Obj {0, 1, 2, 3} PL : Obj = 0.5 b 0,i = 0.5, i V b 1,i = 0.5, i V b 2,i = 0.0, i V b 3,i = 0.0, i V Novamente, é necessário ao menos duas cores, mas temos um limite mais justo.

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