Pesquisa Operacional. Componentes de um modelo de PL

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1 Pesquisa Operacional Introdução à Modelagem de Problemas Lineares Recursos Escasso. Componentes de um modelo de PL O modelo Matemático é composto por: Função Objetivo (eq. Linear, Ex.: Lucro) Restrições Técnicas (inequações lineares, cap. Materia-prima) Variáveis Variáveis controladas ou de decisão - são variáveis cujo valor está sob controle do administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma destas variáveis. Numa programação da produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar. Variáveis não controladas ou parâmetros- são variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são exemplos de variáveis não controladas.

2 Sugestão de Roteiro Quais as variáveis de decisão? Precisamos identificar e explicitar as decisões que devem ser tomadas e representar as possíveis decisões. Se o problema é de programação de produção, as variáveis de decisão são as quantidades a produzir no período; se for um problema de programação de investimentos, as variáveis vão representar as decisões de investimento, isto é, quanto investir em cada oportunidade de investimento e em que período. Nas descrições sumárias de sistemas, elas ficam claras quando lemos a questão proposta, isto é, a pergunta do problema. 3 Sugestão de Roteiro Qual o Objetivo? Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de decisão. Elas aparecem geralmente na forma de maximização de lucros ou receitas, minimização de custos, perdas, etc. A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, custo, receita, perda, etc.), em função das variáveis de decisão. 4

3 Sugestão de Roteiro Quais as restrições? Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão Então... ) Quais as variáveis de decisão? ) Qual é o objetivo? 3) Quais as restrições? 5 Exemplo: Certa empresa fabrica dois produtos P e P. O lucro unitário do produto P é de $000 e o lucro unitário de P é de $800. AS empresa precisa de 0 horas para fabricar uma unidade de P e de 30 horas para fabricar uma unidade de P. O tempo anual de produção disponível para isto é de 00 horas. A demanda esperada para o produto P é de 40 unidades anuais, enquanto para o produto P é de 30 unidades anuais. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para este caso. 6

4 Quais as variáveis de decisão? O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P e de P. Vamos denominar as variáveis de decisão de X e X X = quantidade anual a produzir de P X = quantidade anual a produzir de P. 7 Qual o objetivo? O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P: 000. X (lucro por unidade de P X quantidade produzida de P) Lucro devido a P: 800. X (lucro por unidade de P X quantidade produzida de P) Lucro total: L = 000. X X Objetivo: Maximizar L = 000. X X 8

5 Quais as restrições? Disponibilidade de horas para a produção: 00 horas. Tempo ocupado com P: 0 X (uso por unidade de P X quantidade produzida de P) Tempo ocupado com P: 30 X Tempo total de utilização na produção: 0 X + 30 X Restrição do tempo de produção: 0 X + 30 X 00. Disponibilidade de mercado para os produtos: Demanda por P : 40 unidades Quantidade a produzir de P: X Restrição da demanda por P: X 40. Demanda por P : 30 unidades Quantidade a produzir de P: X Restrição da demanda por P: X Resumo do Modelo Max L = sujeito a : { 000X + 800X } 0X + 30X X 40 X 30 X 0 X

6 Exemplo (Dieta) Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 3 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa $3 e cada unidade de ovo custa $,5. Quais as variáveis de decisão? Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. Qual o objetivo? O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado: Quais as restrições? As restriçõqs impostas pelo sistema são: necessidade mínima de vitamina: 3 unidades necessidade mínima de proteína: 36 unidades

7 Suposições necessárias para se formular um problema como PL Explícitas: A função objetivo e as restrições são funções lineares e O problema é de maximização ou de minimização. Implícitas: Proporcionalidade Aditividade Divisibilidade (continuidade) Parâmetros constantes e dados 3 Exemplos ) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta unidades de couro para fabricar unidade de sapato e unidade de couro para produzir uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5 e o do cinto é de $, pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. ) Certa empresa fabrica produtos P e P. O lucro por unidade de P é de $00, e o lucro por unidade de P é de $50. A empresa necessita de horas para fabricar uma unidade de P e 3 horas para fabricar uma unidade de P. O tempo mensal disponível para estas atividades é de 0 horas. As demandas esperadas para os produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos não devem ultrapassar 40 unidades de P e 30 unidades de P por mês. Construa o modelo de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 4

8 3) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 00 caixas de laranjas a $0 de lucro por caixa, pelo menos 00 caixas de pêssegos a $0 de lucro por caixa, e no máximo 00 caixas de tangerinas a $30 a $30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão de modo a obter lucro máximo? Construa o modelo do problema. 5 4) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (00 kg/alq) e irrigação ( l de água/alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de Soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 00 kg por alqueire de adubos e de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: de água kg de adubo 00 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. 6