Eduardo C. Xavier. 24 de fevereiro de 2011

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1 Reduções Eduardo C. Xavier Instituto de Computação/Unicamp 24 de fevereiro de 2011 Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

2 Programação Linear (PL) Vimos que na tentativa de resolver um problema P 1 podemos mapea-lo para um outro problema P 2 que sabemos resolver. Existem alguns problemas P 2 que admitem reduções simples. Um destes super-problemas é a programação linear. Vários problemas podem ser reduzidos para programação linear de maneira razoavelmente simples. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

3 Programação Linear Diversos problemas devem maximizar ou minimizar uma função objetivo devendo satisfazer algumas restrições. PL é uma formulação geral de tais problemas, desde que a função objetivo seja linear e seja possível descrever as restrições do problema com inequações ou equações lineares. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

4 Programação Linear Seja x = (x 1,x 2,...,x n ) um conjunto de variáveis reais. Seja c = (c 1,c 2,...,c n ) um vetor de números constantes. Uma função objetivo linear deve ter a forma cx = n i=1 c ix i. Podemos maximizar ou minimizar a função objetivo satisfazendo um conjunto de restrições lineares. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

5 Programação Linear Sejam a 1,a 2,...,a k vetores de números constantes e de tamanho n. Sejam b 1,b 2,...,b k números constantes. As restrições de um PL tem a forma: a 1 x b 1 a 2 x b a k x b k Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

6 Podemos ter ou ou =: Programação Linear a 1 x = b 1 a 2 x b 2... =... = a k x b k Também é comum impor restrições de sinal sobre as variáveis: x i 0. Um programa linear consiste então em maximizar ou minimizar uma função objetivo satisfazendo o conjunto de restrições lineares. Existem algoritmos eficientes para PL. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

7 Programação Linear:Exemplos Suponha que você é o Duda e é assessor de publicidade de um poĺıtico. Há 3 zonas eleitorais: Z1, Z2, Z3. Será investido dinheiro em 4 tipos de propaganda: P1 - Propaganda de geração de empregos. P2 - Propaganda de investimento em educação. P3 - Propaganda de investimento em segurança. P4 - Propaganda de luta contra corrupção. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

8 Programação Linear:Exemplos Temos o seguinte retorno em milhares de votos para cada mil reais investidos: Propaganda Z1 Z2 Z3 P P P P Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

9 Programação Linear:Exemplos O poĺıtico quer ganhar 20 mil votos da Z1, 50 mil da Z2 e 65 mil da Z3. Duda deve decidir quanto investir em cada tipo de propaganda. Queremos ainda minimizar o total de investimentos em propaganda, mas garantindo a quantidade de votos desejada. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

10 Programação Linear:Exemplos Sejam x 1,x 2,x 3,x 4 variáveis que indicam quanto em milhares de reais deve-se investir em cada tipo de propaganda. Temos que ter pelo menos 20 mil votos da Z1: 2x 1 x 2 +4x 3 +x 4 20 Pelo menos 50 mil votos da Z2: 3x 1 +3x 2 +x 3 +2x 2 50 Pelo menos 65 mil votos da Z3: 6x 1 +2x 2 +3x 4 65 Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

11 Programação Linear:Exemplos Gostariamos de minimizar o total investido (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ). A quantidade investida é sempre positiva: x 1 0 x 2 0 x 3 0 x 4 0 Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

12 Programação Linear:Exemplos Resumidamente temos o seguinte programa linear: minx 1 +x 2 + x 3 +x 4 2x 1 x 2 +4x 3 +x x 1 +3x 2 +x 3 +2x x 1 +2x 2 +3x 4 65 x 1 0 x 2 0 x 3 0 x 4 0 Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

13 Programação Linear: Fluxo em Redes Problema de Fluxo em Redes: Seja G = (V,E) um grafo com capacidades c j para cada aresta j E. Devemos estabelecer um fluxo máximo entre um vértice inicial s e final t. O fluxo que passa em uma aresta deve estar limitado pela capacidade da aresta. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

14 Programação Linear: Fluxo em Redes Vamos criar uma variável x i para cada aresta i = 1,...,m indicando quanto de fluxo passa pela aresta. Seja S o conjunto de arestas que saem de s. A função objetivo é max i S x i Para todas as arestas devemos limitar o fluxo pelas capacidades destas: x i c i para cada aresta i Suficiente? Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

15 Programação Linear: Fluxo em Redes Devemos impor uma restrição de que todo fluxo que sai de s chegue até t. Podemos fazer isso impondo que todo fluxo que entre em um vértice diferente de s e t deve ser passado adiante. x j = x i para todo v V {s,t} j entra em v i sai de v Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

16 Programação Linear: Fluxo em Redes s t Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

17 Programação Linear: Fluxo em Redes maxx (1,2) +x (1,3) +x (1,4) x (1,2) 4 x (1,3) x (1,2) = x (2,5) +x (2,3) +x (2,7) x (1,3) +x (2,3) = x (3,5) x (2,5) +x (3,5) +x (6,5) = x (5,8) +x (5,11) Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

18 Programação Linear: Filantropo Suponha que n pessoas desejam doar dinheiro para k ONGs. Cada pessoa i vai doar no máximo s i reais, e no máximo a ij reais para a ONG j. Suponha ainda que cada organização j pode receber no máximo t j reais. Devemos atribuir doações de forma a maximizar o total doado satisfazendo as restrições impostas. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

19 Programação Linear: Filantropo Variáveis x ij que indicam quanto i doa à organização j. n max k x ij s i j=1 x ij a ij n x ij t j i=1 x ij 0 k i=1 j=1 x ij para cada pessoa i para cada pessoa i e ONG j para cada organização j para todo par i,j Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

20 Programação Linear: Atribuição É uma alteração do problema do Filantropo. Neste caso uma pessoa pode doar dinheiro apenas para uma ONG e esta por sua vez só pode receber dinheiro de no máximo uma pessoa. É um problema de matching (emparelhamento) com pesos. Neste caso uma pessoa i doa todo o dinheiro a ij para alguma organização j. Não há limites t j para as instituições aqui. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

21 Programação Linear: Atribuição Variáveis x ij que indicam se i doa à organização j. k x ij 1 j=1 n x ij 1 i=1 n k max a ij x ij x ij {0,1} i=1 j=1 para cada pessoa i para cada organização j para todo par i,j Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

22 Programação Linear: Atribuição Problema: A última restrição não é linear. Programas Lineares que requerem restrições de integralidade, no geral, são difíceis de resolver (veremos em breve). São chamados de Programas Lineares Inteiros (PLI). No caso específico do problema da atribuição, podemos resolve-lo com programação linear sem a restrição de integralidade. A solução neste caso, mesmo sem a restrição {0,1}, será inteira. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23

23 Programação Linear: Exercício Suponha uma rede representada por um grafo G = (V,E). Devemos maximizar o número de pacotes enviados na rede por unidade de tempo. Cada nó i representa uma máquina e possui um buffer com limite B i de mensagens sendo recebidas por unidade de tempo. Cada nó consegue gerar G i mensagens por unidade de tempo. Cada link e = (i,j) consegue transmitir no máximo c e pacotes por unidade de tempo. Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de / 23