Método Simplex Especializado para Redes

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1 Método Simplex Especializado para Redes Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP 1

2 Introdução Algumas situações onde modelos de PL em redes são úteis: Sistemas de produção e distribuição; Sistemas de tráfego urbano; Sistemas de logística militar; Sistemas de comunicações; Sistemas de abastecimento; Problemas de alocação de facilidades; Sistemas de roteamento e programação; Análise de redes elétricas. 2

3 Introdução Razões do interesse nos modelos em redes: Muitas aplicações importantes (Logística); Possuem estrutura elegante algoritmos especializados mais eficientes que gerais; Relações em modelos em redes podem ser expressas por meio de representação gráfica em duas dimensões facilita a apresentação e o entendimento do modelo. 3

4 Notação Uma rede é composta por duas entidades: Nós ou Vértices (exemplo localidades) Arcos (exemplo - rodovias) A estrutura de uma rede pode ser descrita por uma Matriz de Incidência Nó x arco: a = + 1, se o arco j sai do no i -1, se o arco j chega no no i 0, caso con trario

5 Rede e Matriz de Incidência 5

6 Definições Variável de decisão X j = fluxo pelo arco j Custo unitário do fluxo no arco j = C j Capacidade de fluxo no arco j = U j Requisitos de fluxo em cada Nó: b i > 0 Nó i é gerador de fluxo ( supply node ) b i < 0 Nó i é consumidor de fluxo ( demand node ) b i = 0 Nó i é de transbordo ( transshipment node ) 6

7 Modelo Geral do PFCM Modelo Geral do Problema de Fluxo com Custo Mínimo: MIN CX SUJEITO A AX = b 0 X U ONDE: j i, j, Uj. A = MATRIZ DE INCIDENCIA = a, X = VETOR DE FLUXOS = X b = VETOR DE DEMANDAS = b C = VETOR DE CUSTOS = C U = VETOR DE CAPACIDADES =,

8 Notação: Formulação alternativa do PFCM correspondem aos valores de fluxo no arco (i, j), valor do custo no arco (i, j), valor da limitação superior de fluxo no arco (i, j), valor da demanda no nó i, valor do coeficiente de custo relativo no arco (i, j), e o valor da variável dual (potencial) no nó i, respectivamente. X, C, U, bi, C, i Min i j C X m X s.a : j=1 0 X - m k =1 U X ki, i, = b i, i =1, j=1, m m (1) 8

9 Formulação alternativa do PFCM Min i j C X m X s.a : j=1 0 X - m k =1 U X ki, i, = b i j=1,m, i =1,m (1) As restrições (1) são conhecidas como restrições de conservação de fluxos nos nós ou equações de Kirchhoff: m X VALOR DO FLUXO TOTAL QUE SAI DE i i 1 m X ki VALOR DO FLUXO TOTAL QUE ENTRA EM i k = 1 9

10 Modelos Básicos em Redes e o PFCM 1. Problema do Transbordo não-capacitado: PFCM onde para todo arco j tem-se u j =. 2. Problema do Transporte capacitado: PFCM onde b i 0 e os arcos são direcionados dos nós origens para os nós destinos. 3. Problema do Transporte Simples: Caso especial do Modelo 2 com todo u j =. 4. Problema da Designação: Caso especial do Modelo 3 com todo b i = 1.

11 Definições

12 Definições 12

13 Definições 13

14 Modelos Básicos em Redes e o PFCM 5. Problema do Fluxo Máximo: Dada uma rede deseja-se achar o valor máximo de fluxo possível de ser enviado de um dado nó origem s até um nó destino t fixado, respeitando as restrições de capacidade nos arcos. É um PFCM onde todo b i = 0 e exatamente um arco tem custo não nulo. 14

15 Modelos Básicos em Redes e o PFCM 15

16 Modelos Básicos em Redes e o PFCM 16

17 Modelos Básicos em Redes e o 6. Problema do Caminho Ótimo: PFCM Dada uma rede com todos C j 0, deseja-se achar o caminho mais curto entre o nó s e o nó t conhecidos e fixados. É um caso particular do modelo 1 onde b s = +1, b t = -1 e os demais b i = 0. Na solução ótima uma unidade de fluxo irá de s até t. Se este fluxo unitário se dividir em frações por alguns arcos múltiplas soluções ótimas. 17

18 Modelos Básicos em Redes e o PFCM 18

19 Modelos Básicos em Redes e o PFCM 19

20 Método Simplex Especializado para Proposto por George Dantzig Redes Elimina a necessidade inversão da matriz básica a cada passo. Pode ser aplicado diretamente sobre a rede associada ao problema. Árvore = grafo acíclico conectado. Conceitos importantes: Árvore geradora ( Spanning Tree ) contém todos os nós da rede e possui número de arcos = (número total de nós 1). Solução básica viável árvore geradora Variáveis duais = potenciais nos nós 20

21 X = fluxo, C = custo, U = limitação superior para o fluxo, b i = demanda no nó i, coeficiente de custo relativo e i = variável dual (potencial) no Nó i. Algoritmo para o PFCM Não Canalizado (X 0) 1. Inicialização: Achar árvore (solução básica viável) inicial incluindo os valores de fluxo e de potenciais. Obter os coeficientes de custo relativo dos fluxos nos arcos (variáveis) não-básicos : C N i j = C N - = Valor = Valor N C = C - ( - ), onde do Potencial (Variável Dual) em nó do Potencial (Variável Dual) em nó i j i j. 21

22 Algoritmo - continuação 2. Teste de otimalidade: Se C < 0 Solução Ótima obtida Se C (ou seja, 0 Arco Fluxo X (i, j) deve deve ser básico entrar na árvore geradora) 3. Melhoria da solução atual: Achar o ciclo de compensação do arco não básico (i,j) que entra. Neste ciclo achar a variável básica que será substituída. Atualizar valores: fluxos e potenciais nos nós. Voltar ao Passo 2. 22

23 Obtenção dos valores dos potenciais nos Nós Fixar um dos nós da árvore geradora para ser o nó raiz e fazer o valor do potencial da raiz = 0. Percorrer os arcos da árvore a partir da raiz e, Se o arco for percorrido no sentido contrário da sua orientação, o potencial do nó cauda do arco = soma do valor do potencial do nó cabeça com o valor do custo associado ao arco percorrido. Se o arco for percorrido no mesmo sentido da sua orientação, o potencial do nó cabeça do arco = o valor do potencial do nó cauda menos o valor do custo associado ao arco percorrido. 23

24 Obtenção dos valores dos potenciais nos Nós 24

25 Algoritmo Geral PFCM Canalizado (0 X U) Extensão do conceito de variáveis não básicas. X = 0 ou X = U 1. Inicialização: Achar uma árvore geradora viável inicial (vetores x e ) 25

26 ( I) : Se Algoritmo Geral PFCM Canalizado (0 X U) 2. Teste de otimalidade: Achar os custos relativos dos fluxos não básicos. Identificar os conjuntos de fluxos não básicos: X = 0 e C < 0, (II): X = U e C > 0 (I) Caso contrário, escolher X Se Se X X Para achar a variável que sai basta verificar qual valor máximo de de modo que todos os fluxos do ciclo continuem satisfazendo as restrições de canalização dadas por (II) = (I) (II) 0 X Solução ótima foi obtida. U Fazer X Fazer X. (I) (II), achar ciclo de compensação desta + - no ciclo no ciclo 3. Atualização da árvore geradora: variável e Percorrer o ciclo e modificar os fluxos e potenciais. Voltar ao Passo 2. 26

27 Algoritmo Geral PFCM Canalizado (0 X U) Inicialização com All Artificial Start ou Big M 1. Acrescentar um novo Nó (artificial) à rede. 2. Para cada nó que corresponder a uma origem (b i > 0) criar um arco artificial deste nó i ao novo nó, com custo = 0 e limitante superior de fluxo =. Fazer o fluxo neste arco = b i. 3. Para cada nó que corresponder a um destino (b i < 0) criar um arco artificial do novo nó a este nó destino, com custo = limitante superior de fluxo =. Fazer o fluxo neste arco = b i. 4. Completar a solução básica inicial com arcos originais, todos com fluxo = 0. 27

28 Definições 28

29 Algoritmo Geral PFCM Canalizado (0 X U) 29

30 Algoritmo Geral PFCM Canalizado (0 X U) 30