O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48

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1 Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48

2 Permutações com Repetições Considere uma coleção de n objetos, onde n i objetos são do tipo t i, para i = 1,..., k. Duas sequências de n objetos, σ 1 e σ 2, são ditas equivalentes se, para toda posição i, os objetos nas i-ésimas posições de σ 1 e σ 2 tem o mesmo tipo. Quantas sequências não equivalentes destes n objetos existem? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 1/48

3 Permutações com Repetições Exemplo Considere um conjunto de 5 objetos, onde 3 são do tipo t 1, 1 é do tipo t 2 e 1 é do tipo t 3. Quais são as sequências distintas não equivalentes que podem ser formadas com estes objetos? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 2/48

4 Permutações com Repetições Uma sequência pode ser definida unicamente indicando o tipo que ocupa cada posição. Portanto, temos as seguintes sequências t 1 t 1 t 1 t 2 t 3 t 1 t 1 t 1 t 3 t 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 3 t 1 t 1 t 2 t 3 t 1 t 1 t 1 t 3 t 1 t 2 t 1 t 1 t 3 t 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 3 t 1 t 2 t 1 t 3 t 1 t 1 t 2 t 3 t 1 t 1 t 1 t 3 t 1 t 1 t 2 t 1 t 3 t 1 t 2 t 1 t 1 t 3 t 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 1 t 3 t 2 t 1 t 1 t 3 t 1 t 2 t 1 t 3 t 1 t 1 t 2 t 3 t 1 t 1 t 1 t 3 t 1 t 1 t 1 t 2 t 3 t 1 t 1 t 2 t 1 t 3 t 1 t 2 t 1 t 1 t 3 t 2 t 1 t 1 t 1 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 3/48

5 Permutações com Repetições Exemplo Quantas permutações distintas tem a palavra MISSISSIPI? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/48

6 Permutações com Repetições O problema consiste em determinar o número de sequências de 10 letras em que a letra M aparece uma vez, a letra I 4 vezes, a letra S 4 vezes e a letra P uma vez. Podemos pensar em M como o tipo t 1, I como o tipo t 2, etc. Para resolver o problema, observamos que existem ( ) 10 1 = 10 posições para ( colocar a letra M. Dado que a letra M já foi colocada, existem 9 ) 4 = 126 possibilidades para dispor as letras I. Dado que as letras M e I já foram colocadas, existem ( 5 4) = 5 possibilidades para dispor as letras S. Finalmente, sobra uma posição para letra P. Utilizando o princípio da multiplicação, temos um total de = 6300 possibilidades > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 5/48

7 Permutações com Repetições O raciocínio utilizado para resolver o problema anterior pode ser empregado para resolver a questão colocada no início da seção. De fato, o número de sequências distintas de n objetos, onde n i objetos são do tipo t i, para i = 1,..., k, é dado pela seguinte fórmula k ( n i 1 i=1 j =1 n j n i ) = n! n 1!n 2!... n k! (1) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/48

8 Permutações com Repetições Podemos adaptar o código de geração de permutações para gerar todas as permutações quando existem símbolos repetidos. A ideia chave é modificar o procedimento para permitir que apenas tipos distintos sejam colocados em uma dada posição da variável P. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/48

9 Permutações com Repetições PROCEDIMENTO PERM-REP(L) Se a lista L é vazia Imprima a permutação P Senão t número de tipos distintos em L Para j = 1 até t s algum elemento de um tipo que ainda não foi escolhido neste loop (*) Insira s na posição n + 1 L de P. PERM-REP( L s) Fim Para Fim Se MAIN Leia L P vetor global de L posições. PERM-REP(L) Figure : Algoritmo de Geração de Permutações quando há repetições de símbolos > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/48

10 Combinações com Repetições Nesta seção mostramos como contar o número de soluções inteiras não negativas da equação k x i = r (2) i=1 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/48

11 Combinações com Repetições Exemplo Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 3 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 10/48

12 Combinações com Repetições Podemos representar cada solução por uma quadra (n 1, n 2, n 3, n 4 ). A tabela a seguir lista todas as possibilidades. (3,0,0,0) (2,1,0,0) (2,0,1,0) (2,0,0,1) (0,3,0,0) (1,2,0,0) (0,2,1,0) (0,2,0,1) (0,0,3,0) (1,0,2,0) (0,1,2,0) (0,0,2,1) (0,0,0,3) (1,0,0,2) (0,1,0,2) (0,0,1,2) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 11/48

13 Combinações com Repetições Fica então a seguinte pergunta, Como calcular o número de soluções sem precisar listar todas elas? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 12/48

14 Técnica de palitos e asteriscos Como exemplo, considere a equação x 1 + x 2 + x 3 = 5 Para codificar uma solução desta equação, utilizamos os símbolos e. Os são utilizados para representar a soma total que deve ser obtida, enquanto que os s são utilizados para representar o valor das variáveis x i. Para a equação considerada utilizamos 5 e 2. O número de à esquerda do primeiro palito corresponde ao valor de x 1, o número de s entre o primeiro e o segundo palito corresponde a x 2, enquanto que o número de à direita do segundo palito corresponde a x 3. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 13/48

15 Técnica de palitos e asteriscos Considere as codificações abaixo:, A primeira codificação corresponde a solução (2,1,2), enquanto que a segunda corresponde a solução (0,3,2). Podemos observar que cada permutação distinta dos e corresponde a uma solução distinta da equação. Portanto, o número de soluções da equação é igual ao número de permutações de 5 e 2. Utilizando a fórmula (1) temos que o número de soluções é 7! (5!2!) = 21. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 14/48

16 Técnica de palitos e asteriscos A técnica ilustrada acima permite obter o número de soluções da equação (2). Para isso calculamos o número de permutações de um conjunto com r s e k 1 s. Theorem O número de soluções inteiras não negativas de k i=1 x i = r é (r + k 1)! r!(k 1)! > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 15/48

17 Técnica de palitos e asteriscos Exemplo Um caminhão deve transportar 1000kg de alimentos, entre açúcar, arroz, feijão e sal. Sabendo que cada alimento esta armazenado em sacos de 5kg, quantas são as possibilidades de completar os 1000kg? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 16/48

18 Técnica de palitos e asteriscos Utilizamos x 1, x 2, x 3, x 4, respectivamente, para denotar o número de sacos de açúcar, arroz, feijão e sal. O número de possibilidades é igual ao número de soluções inteiras não negativas da equação 5x 1 + 5x 2 + 5x 3 + 5x 4 = 1000, que é igual ao número de soluções inteiras não negativas da equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 200, Utilizando o Teorema 1, obtemos o valor 203! 200!3!. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 17/48

19 Técnica de palitos e asteriscos Consideremos agora o problema de contar o número de soluções positivas de uma equação. Exemplo Quantas soluções inteiras positivas tem a equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 18/48

20 Técnica de palitos e asteriscos Para resolver este problema podemos fazer as seguintes substituições de variáveis: x 1 = 1 + z 1, x 2 = 1 + z 2, x 3 = 1 + z 3 e x 4 = 1 + z 4, onde os z i s são inteiros não negativos. A idéia desta substituição é garantir que cada variável x tenha obrigatoriamente valor maior ou igual a 1. Portanto, o número de soluções da equação do exemplo é igual ao número de soluções inteiras não negativas da equação (z 1 + 1) + (z 2 + 1) + (z 3 + 1) + (z 4 + 1) = 7, que é igual ao número de soluções inteiras não negativas da equação z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 3 Utilizando a técnica dos e, obtemos 6!/(3!3!) = 20. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 19/48

21 Técnica de palitos e asteriscos Exemplo Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 6 (3) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 20/48

22 Técnica de palitos e asteriscos Este problema pode ser resolvido de duas formas. A maneira mais imediata, dado o que foi estudado até aqui, é somar o número de soluções não negativas das equações: 4 i=1 x i = 0, 4 i=1 x i = 1, 4 i=1 x i = 2, 4 i=1 x i = 3, 4 i=1 x i = 4, 4 i=1 x i = 5, 4 i=1 x i = 6. Portanto, o total de soluções é dado por 6 r=0 (r + 3)! r!3! = 210 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 21/48

23 Técnica de palitos e asteriscos A segunda maneira de resolver este problema é observar que existe uma bijeção (correspondência um para um) entre o conjunto de soluções da equação (3) e o conjunto de soluções inteiras não negativas de x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + z = 6 (4) De fato, podemos associar a solução (x 1, x 2, x 3, x 4 ) da equação (3) a solução (x 1, x 2, x 3, x 4, 6 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) da equação (4). Como existe a correspondência um para um, o número de soluções inteiras não negativas de (3) é igual ao número de soluções inteiras não negativas de (4). Utilizando a técnica de e, obtemos um total de soluções para equação (4). 10! 6!4! = 210 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 22/48

24 Técnica de palitos e asteriscos Exercício Quantos números entre 1 e têm a soma dos seus algarismos igual a 13? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 23/48

25 Técnica de palitos e asteriscos A primeira idéia que vem em mente, uma vez resolvido o exercício anterior, é calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação 6 d i = 13 (5) i=1 O problema é que certas soluções não correspondem a números entre 1 e Por exemplo, (1,0,0,0,12,0) é uma solução da equação, mas não corresponde a nenhum número do intervalo. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 24/48

26 Técnica de palitos e asteriscos De fato, devemos calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação (5) sujeito as restrições 0 d i 9, para i = 1,..., 6. Este número é igual a X Y, onde X o número de soluções inteiras não negativas da equação (5) e Y é o número de soluções inteiras não negativas da equação (5) que contém pelo menos um d i com valor maior que 9. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 25/48

27 Técnica de palitos e asteriscos Aplicando o Teorema 1, obtemos X = ( 18 5 ). Para obter o valor de Y, devemos considerar as soluções da equação (5) em que pelo menos um das seguintes condições ocorrem: d 1 10, d 2 10,..., d Observe que estas condições são mutuamente exclusivas, já que não existe solução da equação com 2 variáveis maiores que 10. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 26/48

28 Técnica de palitos e asteriscos Consideremos o caso em que d Para contar o número de soluções satisfazendo tal condição façamos d 1 = 10 + z 1, com z 1 0. Logo, o número de soluções satisfazendo d 1 10 é igual ao número de soluções de 6 z 1 + d i = 3. i=2 Portanto, temos ( 8 5) soluções em que d1 10. Aplicando o mesmo raciocínio para os demais casos, obtemos que o total de soluções Y em que algum dígito é maior ou igual a 10 é 6 ( 8 5). Portanto, a resposta do problema é ( ) ( ). > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 27/48

29 O Problema do Troco Nesta seção abordamos o seguinte problema: dado um valor total T e um conjunto de moedas de valores positivos v 1, v 2,..., v n, queremos determinar de quantas maneiras diferentes podemos somar T utilizando moedas com estes valores. Vamos assumir a existência de um número suficientemente grande de moedas de cada valor. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 28/48

30 O Problema do Troco Por exemplo, sejam T = 13, v 1 = 5, v 2 = 3 e v 3 = 1. Existem 10 maneiras de somar 13: 13 = 2v 1 + v 2, 13 = 2v 1 + 3v 3, 13 = v 1 + 2v 2 + 2v 3, 13 = v 1 + v 2 + 5v 3, 13 = v 1 + 8v 3, 13 = 4v 2 + v 3, 13 = 3v 2 + 4v 3, 13 = 2v 2 + 7v 3, 13 = v v 3 e 13 = 13v 3 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 29/48

31 O Problema do Troco Observe que estamos interessado em determinar o número de soluções inteiras não-negativas da equação 5x 1 + 3x 2 + x 3 = 13 No problema geral, buscamos determinar o número de soluções inteiras não-negativas da equação n v i x i = T (6) i=1 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 30/48

32 O Problema do Troco Definição Dado um conjunto de moedas de valores positivos v 1, v 2,..., v n, defina S(k, A) como o número de maneiras de somar o valor A utilizando moedas de valores v k, v k+1,..., v n. O problema descrito no começo da seção é o de determinar S(1, T ). > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 31/48

33 O Problema do Troco Primeiramente, podemos utilizar de 0 a T /v 1 moedas de valor v 1. Se utilizarmos exatamente p moedas de valor v 1, devemos então somar T pv i utilizando moedas cujos valores são v 2, v 3,..., v n. Portanto, podemos afirmar que o número de soluções da equação (6) que utiliza exatamente p moedas de valor v 1 é igual ao número de soluções da equação ou seja, S(2, T pv 1 ). n v i x i = T pv 1, (7) i=2 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 32/48

34 O Problema do Troco Considerando as possibilidades de utilização de moedas de valor v 1, chegamos a seguinte equação de recorrência S(1, T ) = De forma análoga, temos que S(k, A) = T /v 1 j =0 A/v k j =0 S(2, T j v 1 ) S(k + 1, A j v k ) (8) > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 33/48

35 O Problema do Troco Dada esta definição podemos escrever um programa recursivo para calcular S(1, T ). Entretanto, devemos nos preocupar com a parada da recursão. Com este propósito, consideremos k = n. Neste caso, devemos encontrar o número de maneiras de somar A utilizando moedas de valor v n. Observe que se A é múltiplo de v n temos uma possibilidade, caso contrário temos 0 possibilidades. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 34/48

36 Implementação Utilizamos um vetor global v para armazenar os valores das moedas. PROCEDIMENTO S(k,A) Se k = n Se A é múltiplo de v[n] retorne 1 Senão retorne 0 Senão Total 0 Para j = 0 até A/v[k] Total Total + S(k + 1, A jv[k]) Fim Para Retorne Total Fim Se MAIN Leia n, v, T IMPRIMA S(1, T ) Figure : Algoritmo para o Problema do Troco > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 35/48

37 Principio da Casa dos Pombos Nesta seção apresentamos o princípio da casa dos pombos, uma idéia bastante simples que permite a resolução de problemas combinatórios bastante complexos. O princípio na sua forma mais simples diz que Se existem k + 1 pombos e k casas de pombos então pelo menos dois pombos devem ocupar a mesma casa. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 36/48

38 Principio da Casa dos Pombos Exemplo Quantas pessoas devem estar na mesma festa para garantirmos que duas pessoas tem nomes que começam com a mesma letra. Podemos pensar que cada uma das 26 letras do alfabeto corresponde a uma casa de pombo e que uma pessoa ocupa uma casa se e somente se a letra inicial do seu nome corresponde a casa. Portanto se houverem 27 pessoas podemos garantir que duas delas estarão associadas a mesma casa e como conseqüência seus nomes começarão com a mesma letra. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 37/48

39 Principio da Casa dos Pombos Exercício Mostre que em uma festa com n pessoas, existem pelo menos duas que conhecem o mesmo número de pessoas (não necessariamente as mesmas pessoas). Assuma que (i) a relação de conhecer é simétrica; (ii) Não há penetras na festa, ou seja, toda pessoa na festa conhece pelo menos outra pessoa. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 38/48

40 Principio da Casa dos Pombos Considere n 1 casas: 1, 2,..., n 1. Uma pessoa é associada a casa i sss conhece exatamente i pessoas. Observe que cada pessoa da festa conhece pelo menos uma pessoa ( item (ii)) e no máximo n 1 pessoas. Portanto, cada pessoa esta associada a uma das n 1 casas. Como existem n pessoas e n 1 casas, segue do princípio da casa dos pombos que pelo menos duas pessoas estão associadas a mesma casa, ou seja, conhecem o mesmo número de pessoas. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 39/48

41 Principio da Casa dos Pombos Exercício O resultado anterior continua válido sem assumir (ii)? Prove ou dê um contra-exemplo > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 40/48

42 Principio da Casa dos Pombos Exercício Prove que se 4 números são escolhidos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então a soma de 2 deles é 7. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 41/48

43 Principio da Casa dos Pombos Considere as duplas {1, 6}, {2, 5}, {3, 4}. Note que a soma dos dois elementos de uma mesma dupla é 7. Entretanto, o princípio da casa dos pombos garante que ao escolhermos 4 elementos, dois deles estarão na mesma dupla. Portanto, estes somarão 7. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 42/48

44 Principio da Casa dos Pombos Exercício Mostre que sempre que colocamos 5 pontos dentro de um quadrado de lado 1cm, pelo menos dois pontos distam menos do que 0.8 cm. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 43/48

45 Princípio Generalizado Apresentamos agora o Princípio da casa dos pombos na sua versão generalizada. Se existem n pombos e k casas de pombos, então existe uma casa com pelo menos n/k pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 44/48

46 Princípio Generalizado Exemplo Qual é o número mínimo de pessoas que devemos ter para garantir que quatro delas nasceram no mesmo dia da semana > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 45/48

47 Princípio Generalizado Temos 7 casas, uma para cada dia da semana. Portanto, queremos encontrar o menor n tal que n/7 = 4. Resolvendo a equação encontramos n = 22. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 46/48

48 Princípio Generalizado Exercício Considere o seguinte jogo. João deve escolher 10 inteiros entre 1 e 40. O objetivo de Maria é encontrar 2 conjuntos distintos (não necessariamente disjuntos ) de três inteiros, dentre os 10 escolhidos por João, tais que a soma dos elementos do primeiro conjunto é igual a soma dos elementos do segundo conjunto. Maria sempre pode alcançar seu objetivo? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 47/48

49 Princípio Generalizado Seja S o conjunto de 10 números escolhidos por João. Sejam x, y, z S. Temos que, 6 = x + y + z = 117. A conclusão é que a soma de três números quaisquer de S só pode assumir = 112 valores distintos. Como existem ( ) 10 3 = 120 triplas distintas em S, concluímos que duas delas devem somar o mesmo valor. Portanto, Maria sempre pode alcançar seu objetivo. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 48/48

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