PESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS

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1 PESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS Um grafo G(V,A) pode ser conceituado como um par de conjuntos V e A, onde: V - conjunto não vazio cujos elementos são de denominados vértices ou nodos do grafo; A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w V, cujos elementos são denominados as arestas do grafo. Alguns problemas práticos que podem ser resolvidos por meio de uma modelagem em grafos: Ajudar máquinas de busca a localizar informação relevante na Web. Descobrir qual é o roteiro mais curto para fazer entregas em um conjunto grande de cidades. Representação gráfica de grafo A representação gráfica, o layout, não deve ser confundida com o grafo em si (a estrutura abstrata, não-gráfica). Vários diferentes layouts podem corresponder ao mesmo grafo. O que importa é quais vértices estão conectados entre si por quantas arestas. Prof. Sidney Vieira 1

2 Dígrafo Um Grafo G=(V,A) é dito direcionado ou dirigido (dígrafo) se ele é constituído de um conjunto finito não vazio V (os vértices) e um conjunto E (as arestas orientadas) de pares ordenados de vértices. Portanto em um dígrafo cada aresta (v,w) possui uma única direção de v para w. Identifique um dentre os grafo os digrafos: (a) (b) (c) Laço Defini-se como laço (loop), em um grafo V(V,A), a aresta a i em A cujas terminações estão no mesmo vértice. Identifique um laço no grafo abaixo Grafo simples Defini-se como grafo simples um grafo G(V,A) que não possui laços e existe no máximo uma aresta entre quaisquer dois vértices. Quais grafos podem ser considerados simples? Prof. Sidney Vieira 2

3 G1 G2 G3 Grau O grau, ou valência de um vértice, em um grafo G(V,A), é o número de arestas incidentes a ele, com loops contados duas vezes. Se um grafo G(V,A) é finito, então a valência total dos vértices é o dobro do número de arestas. Identifique o grau dos vértices: a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 Qual o grau total dos vértices? Se um grafo G(V,A), é um dígrafo, Então é possível definir: grau de saída número de arestas saindo de um vértice grau de entrada o número de arestas entrando em um vértice É possível notar que o grau de um vértice é igual à soma dos graus de saída e de entrada. Determine o grau de saída do vértice a) de saída do vértice 1 b)de entrada do vértice 4 Determine o grau do vértice 3 Prof. Sidney Vieira 3

4 Vértice Adjacentes Dois vértices v e w em um grafo G(V,A) são considerados adjacentes se existe uma aresta entre eles. Vértices incidentes a aresta Em um grafo dois vértices que se conectam por uma aresta são ditos incidentes à aresta Identifique dois vértices incidentes Vizinhança Sendo G(V,A) um grafo, o conjunto de vizinhos de um vértice, consiste de todos os vértices adjacentes a ele. Observe o grafo e determine: a) Dois vértices adjacentes b) A vizinhança do vértice 1 c) A vizinhança do vértice 5 Prof. Sidney Vieira 4

5 Observe o grafo simples a) Qual a vizinhança do vértice azul? b) Qual a valença do vértice azul? c) Qual a vizinhança do vértice amarelo? d) Qual a valença do vértice amarelo? e) Qual a vizinhança do vértice vermelho? f) Qual a valença do vértice vermelho? g) Qual a conclusão que podemos chegar? Caminho Em um grafo G(V,A), defini-se caminho como uma sequência de vértices tal que de cada um dos vértices existe uma aresta para o vértice seguinte. Um caminho é chamado simples se nenhum dos vértices no caminho se repete. O comprimento do caminho é o número de arestas que o caminho usa, contando-se arestas múltiplas múltiplas vezes. O custo de um caminho num grafo balanceado é a soma dos custos das arestas atravessadas. Dois caminhos são independentes se não tiverem nenhum vértice em comum, exceto o primeiro e o último. Um caminho é dito Caminho Hamiltoniano se contém cada vértice do grafo exatamente uma vez. Um caminho é dito Ciclo Euleriano se contém cada aresta do grafo exatamente uma vez. Considere os grafo e para cada caso a) Determine um caminho b) Determine um caminho simples Prof. Sidney Vieira 5

6 c) Determine um caminho não simples d) Determine dois caminhos independentes e) Determine o comprimento do caminho definido no item a f) Identifique um caminho hamiltoniano e um euleriano no grafo G(V,A) Grafo Valorado Um grafo G(V,A) é denominado valorado se existe uma ou mais funções relacionando seus vertices e/ou suas arestas com valores numéricos Exemplo: Fonte Em um grafo G(V,A), um vértice v é uma fonte se grauderecepção(v) = 0. Sumidouro em um grafo G(V,A), um vértice v é um denominado sumidouro se graudeemissão(v) = 0. Dado o grafo identifique um sumidouro e uma fonte Ciclo Defini-se ciclo (ou circuito), em um grafo G(V,A), o caminho que começa e acaba com o mesmo vértice. Ciclos de comprimento 1 são laços. Prof. Sidney Vieira 6

7 Ciclo Simples Um ciclo, em um grafo G(V,A), é definido como ciclo simples se tem um comprimento pelo menos de 3 e no qual o vértice inicial só aparece mais uma vez, como vértice final, e os outros vértices aparecem só uma vez. Grafo Acíclico Um grafo chama-se acíclico se não contém ciclos simples. Sendo dado o grafo identifique: a. um ciclo b. um ciclo simples c. um ciclo não simples O grafo é cíclico ou acíclico? Prof. Sidney Vieira 7

8 O grafo abaixo é ciclico ou aciclico? Grafo Regular Um grafo G(V,A) é dito regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. Exemplos: Grafo Completo Um grafo G(V,A) é dito grafo completo se para cada par de vértices existe uma aresta. Todo grafo completo é regular Teorema 1-1: O número de arestas em um grafo completo é n(n-1)/2. Exemplo: (A) (B) (C) (D) (E) Prof. Sidney Vieira 8

9 Grafo conexo Um grafo G(V,A) é conexo quando existe um caminho entre cada par de V. Caso isto não ocorra o grafo é dito desconexo. classifique o grafo em conexo ou não conexo Prof. Sidney Vieira 9