26/08/2013. Árvore. Árvore. Árvore. Floresta :: Exemplo. Floresta ÁRVORES

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1 2 ÁRVORES Dado um grafo G G é chamado de árvore caso seja não direcionado, conectado e não possua circuitos simples Matemática Discreta Prof. João Paulo Lima Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Estatística e Informática 3 4 Ex: quais dos grafos abaixo são árvores? G 1 e G 2 são árvores G 3 não é árvore, pois existe circuito simples (*e, b, a, d, e+) G 4 não é árvore, pois não é conectado 5 6 Floresta Floresta :: Exemplo Dado um grafo G G é chamado de floresta caso seja não direcionado, desconectado e não possua circuitos simples Uma floresta é composta de várias árvores 1

2 7 8 Dado um grafo não direcionado G G é uma árvore se e somente se existe um caminho simples entre dois vértices quaisquer de G Enraizada Dada uma árvore T Uma árvore enraizada T é um grafo direcionado gerado a partir de T ao se eleger um vértice como raiz As arestas de T são direcionadas saindo da raiz 9 10 :: Terminologia Pai de v : vértice u tal que existe aresta (u, v) Filhos de v: vértices u que têm v como pai Irmãos de v: vértices u que têm mesmo pai que v Ancestrais de v: vértices no caminho da raiz para v, incluindo a raiz e excluindo v Descendentes de v: vértices u que têm v como ancestral Vértice v é folha quando não possui filhos Vértice v é interno quando possui filhos :: Terminologia Ex: na árvore enraizada abaixo, encontre: Pai de c b Filhos de g, i, j Irmãos de i, j Ancestrais de e a, b, c Descendentes de b c, d, e :: Terminologia Ex: na árvore enraizada abaixo, encontre: Vértices internos a, b, c, g,, j Folhas d, e, f, i, k, l, m Subárvore A subárvore de T enraizada em v é o subgrafo de T consistindo de v, descendentes de v e todas as arestas incidentes aos descendentes de v 2

3 13 14 Subárvore Ex: na árvore enraizada abaixo, encontre a subárvore enraizada em g m-ária T é uma árvore m-ária se todo vértice interno não possui mais que m filhos T é uma árvore m-ária completa se todo vértice interno possui exatamente m filhos Uma árvore m-ária com m = 2 se chama árvore binária m-ária Ex: dentre as árvores enraizadas abaixo, quais são árvores m-árias completas para algum inteiro positivo m? T 1 é uma árvore binária completa T 2 é uma árvore 3-ária completa T 3 é uma árvore 5-ária completa s Enraizadas Ordenadas T é uma árvore enraizada ordenada se os filhos de cada vértice interno são ordenados T desenhada de forma que filhos de cada vértice interno sejam exibidos em ordem da esquerda para a direita Binária Ordenada Dada uma árvore binária ordenada T com dois filhos ordenados Primeiro filho de v é chamado de filho à esquerda de v Segundo filho de v é chamado de filho à direita de v Subárvore enraizada no filho à esquerda de v é chamada de subárvore à esquerda de v Subárvore enraizada no filho à direita de v é chamada de subárvore à direita de v Binária Ordenada Ex: quais são os filhos à esquerda e à direita de d na árvore abaixo e quais são as subárvores à esquerda e à direita de c? f é o filho à esquerda de d g é o filho à direita de d Subárvores de c: 3

4 19 20 Uma árvore com n vértices possui n 1 arestas Uma árvore m-ária completa com i vértices internos possui n = mi + 1 vértices Uma árvore m-ária completa com i vértices internos possui l = m 1 i + 1 folhas Pois n = i + l Ex: uma certa corrente ocorreu da seguinte forma: Cada pessoa que recebeu uma mensagem deveria mandá-la para outras 4 pessoas Sabe-se que 100 pessoas receberam a mensagem mas não enviaram a mensagem para outras pessoas Ninguém recebe mais que uma mensagem Pergunta 1: quantas pessoas enviaram a mensagem, incluindo a pessoa que começou a corrente? Pergunta 2: quantas pessoas viram a mensagem, incluindo a pessoa que começou a corrente? Corrente representada por uma árvore 4-ária completa com n vértices, sendo i vértice internos e l folhas Vértices: pessoas que viram a mensagem Vértices internos: pessoas que enviaram a mensagem Folhas: pessoas que receberam a mensagem mas não enviaram a mensagem para outras pessoas l = 100 = m 1 i i + 1 = 100 3i = 99 i = pessoas enviaram a mensagem n = i + l n = = pessoas viram a mensagem Dada uma árvore m-ária T O nível de v é o tamanho do caminho único da raiz até v A altura de T é o nível máximo dos vértices de T Ex: qual o nível de cada vértice e a altura da árvore enraizada abaixo? Nível 0: a Nível 1: b, j, k Nível 2: c, e, f, l Nível 3: d, g, i, m, n Nível 4: Altura da árvore: 4 4

5 25 26 Dada uma árvore m-ária T de altura T está balanceada se todas as folhas de T estão nos níveis ou 1 Ex: quais das árvores abaixo estão balanceadas? T 1 está balanceada (folhas estão nos níveis 3 e 4) T 2 não está balanceada (folhas estão nos níveis 2, 3 e 4) T 3 está balanceada (folhas estão no nível 3) 27 Dada uma árvore m-ária T de altura com l folhas Então l m h log m l log m m h log m l Como é inteiro, então log m l 5