Definição e Conceitos Básicos

Transcrição

1 Definição e Conceitos Básicos Grafos e Algoritmos Computacionais Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes fhcnunes@yahoo.com.br 1

2 Conceitos Básicos Em grafos ocorrem dois tipos de elementos: Vértices ou nós; Arestas ou arcos. G 1 (V 1, E 1 ) 2

3 Conceitos Básicos Grafo é um coleção de vértices e arestas. Vértice é um objeto simples que pode ter nomes e outros atributos. Aresta é uma conexão entre dois vértices. G 2 (V 2, E 2 ) 3

4 Representação Um conjunto V é o conjunto de vértices de um grafo. V 2 = {v 1, v 2, v 3, v 4 } Um conjunto E é o conjunto de arestas de um grafo. E 2 = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E 2 = {(v 1, v 3 ), (v 3, v 1 ), (v 1, v 2 ), (v 2, v 1 ), (v 2, v 4 ), (v 4, v 2 ), (v 1, v 4 ), (v 4, v 1 ), (v 3, v 4 ), (v 4, v 3 )} 4

5 Ordem de um Grafo O número de vértices de um grafo é dado por V, onde V é o conjunto de vértices de um grafo. O número de arestas de um grafo é dado por E, onde E é o conjunto de arestas de um grafo. A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices, ou seja, pelo número de vértices de G ( V ). Ordem(G 1 ) = V 1 = 6 Ordem(G 2 ) = V 2 = 4 5

6 Conceitos Básicos Um grafo não-direcionado G é um par (V, E), onde: V é o conjunto de vértices e V ; E consiste no par de vértices não direcionado, isto é, (v i, v j ) e (v j, v i ) são a mesma aresta. 6

7 Conceitos Básicos Grafo direcionado ou digrafo G é um par (V, E), onde V é o conjunto finito de vértices e V e E é uma relação binária em V, ou seja, as arestas (v i, v j ) (v j, v i ). Arestas têm uma direção associada. 7

8 Conceitos Básicos Se (u, v) é uma aresta em um grafo direcionado G = (V, E), dize-se que (u, v) é incidente do ou sai do vértice u e é incidente no ou entra no vértice v. Saem do vértice 2 (2, 2), (2, 4) e (2, 5) Entram no vértice 2 (1, 2) e (2, 2) 8

9 Conceitos Básicos Se (u, v) é uma aresta em um grafo não direcionado G = (V, E), dize-se que (u, v) é incidente nos vértices u e v. Incidem no vértice 2 (1, 2) e (2, 5) 9

10 Conceitos Básicos Em grafos não direcionados, dois vértices são ditos adjacentes se eles são pontos finais de uma mesma aresta. V 1 e V 2 são adjacentes, pois são pontos finais da aresta e 2 V 2 e V 3 não são adjacentes, pois não são pontos finais de nenhuma aresta 10

11 Conceitos Básicos Em um grafo direcionado, um vértice v é adjacente a um vértice u se o par (u, v) é um arco, ou seja, se existe um arco que sai de u e entra em v. O vértice 4 é adjacente ao vértice 2 e ao vértice 5, mas não é adjacente aos vértices 1, 3 e 6. 11

12 Conceitos Básicos Loop ou laço: Uma aresta associada a um par de vértices (v i, v i ). Somente em grafos direcionados. Arestas paralelas: Quando mais de uma aresta está associada ao mesmo par de vértices. 12

13 Conceitos Básicos Duas arestas não paralelas são adjacentes se elas são incidentes a um vértice comum. As arestas (v 1, v 2 ) e (v 2, v 5 ) são adjacentes, pois incidem ao vértice v 2 comum a ambas. As arestas destacadas não são adjacentes, pois são paralelas. 13

14 Conceitos Básicos Grafo simples: Um grafo que não possui loops e nem arestas paralelas. Não é um grafo simples Não é um grafo simples É um grafo simples 14

15 Conceitos Básicos Um grafo ponderado é um grafo no qual existe um número associado a cada aresta. O número associado a uma aresta é chamado peso. 15

16 Conceitos Básicos Um grafo G(V, E) é dito ser rotulado em vértices ou arestas quando a cada vértice ou aresta estiver associado um rótulo. 16

17 Grau de um Vértice Grau de um vértice v, representado por grau(v), em um grafo não direcionado é o número de arestas que incidem em v. De acordo com o grau, os vértices se classificam em: Vértice par grau par; Vértice ímpar grau ímpar; Vértice isolado grau zero. Sequência de graus de um grafo consiste em escrever em ordem crescente os graus dos seus vértices. 17

18 Grau de um Vértice v 6 é um vértice isolado: grau(v 6 ) = 0 v 2 é um vértice par: grau(v 6 ) = 4 v 3 é um vértice ímpar: grau(v 3 ) = 4 Sequência de graus: 0, 1, 2, 2, 3, 4 18

19 Grau de um Vértice Em um grafo direcionado, o grau de saída de um vértice é o número de arestas que saem dele. O grau de entrada é o número de arestas que entram nele. O grau de um vértice em um grafo direcionado é o seu grau de entrada somado ao seu grau de saída. 19

20 Grau de um Vértice Grau de entrada do vértice 5: 2 Grau de saída do vértice 5: 1 Grau do vértice 5: 3 20

21 Grau de um Vértice TEOREMA 1. A soma dos graus de todos os vértices de um grafo G é duas vezes o número de arestas de G. V = grau( v i ) = i 1 TEOREMA 2. O número de vértices de grau ímpar em um grafo é par. 2 E V grau( v = i ) grau( v j ) + i= 1 grau( v j ) par grau( v k ) grau( v ímpar k ) 21

22 Grau de um Vértice Número de vértices de grau ímpar = 2 (v 3 e v 5 ) 6 i= 1 grau( v i ) = = 12 =

23 Definições Um grafo no qual todos os vértices possuem o mesmo grau é chamado de grafo regular. Um vértice com nenhuma aresta incidente é chamado de vértice isolado. Um vértice de grau 1 é chamado de vértice pendente ou terminal. Grafo Regular Vértice 4 é um vértice isolado. Os vértices 3 e 6 são vértices pendentes. 23

24 Definições Um grafo sem nenhuma aresta é chamado de grafo nulo. Todos os vértices em um grafo nulo são vértices isolados. Um vértice v é uma fonte se o grau de entrada de v é igual a zero. Um vértice v é um sumidouro se o grau de saída de v é igual a zero. 24

25 Definições Um grafo completo é um grafo simples em que todo vértice é adjacente a todos os outros vértices. O grafo completo de V vértices é freqüentemente denotado por K n, onde n = V. O número de arestas de um grafo K n é dado por: V V! V ( V 1) C = = 2 2!( V 2)! 2 25

26 Grafos Completos 26

27 Definições Um grafo G = (V, E) é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2 tais que toda aresta de G une um vértice de V 1 a outro de V 2. V 1 V 2 27

28 Definições Grafo conexo: existe pelo menos um caminho entre todos os pares de vértices de G. Um grafo desconexo consiste de 2 ou mais grafos conexos. Cada um dos subgrafos conexos é chamado de componente. 28