Parte B Teoria dos Grafos

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1 45 Parte B Teoria dos Grafos B. Grafos e Subgrafos Um grafo G é uma tripla ordenada (V(G), E(G), ), constituindo de um conjunto não vazio V(G) de vértices, um conjunto disjunto E(G) das arestas e uma função de incidência que associa a cada aresta de G um par não ordenado de vértices de G. Exemplo: G = (V(G), E(G), G ) V(G) = {v, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G) = {e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G (e ) = v v 2 ; G (e 2 ) = v 2 v 3 ; G (e 3 ) = v 3 v 3 ; G (e 4 ) = v 3 v 4 ; G (e 5 ) = v 2 v 4 ; G (e 6 ) = v 4 v 5 ; G (e 7 ) = v 2 v 5 ; G (e 8 ) = v 2 v 5. v e v 2 e 5 e 4 v 3 e 2 e 7 e 8 e 3 v 4 e 6 v 5 Outra Definição Um grafo G é um conjunto {V(G), E(G)} onde V(G) é o conjunto de vértices e E(G) é o conjunto de arestas de G, formado por pares não ordenados de V(G). Exemplo: V(G) = {, 2, 3} E(G) = {(,2), (2,3), (2,2)} 2 3

2 46 Um grafo é planar se admite uma representação plana (não há cruzamento de arestas). Exemplo: Representação não planar, mas o grafo é planar. Uma aresta c é incidente aos dois vértices de seus extremos. Dois vértices incidentes a uma aresta comum são adjacentes. Duas arestas incidentes a um vértice comum são também adjacentes. Uma aresta que liga um vértice a ele mesmo é chamada de loop. Duas arestas com vértices incidentes idênticos são chamadas de arestas paralelas. Um grafo simples não possui loops ou arestas paralelas. Exemplo: v 2 v 4 c v v 3 b d e v 5 a Como as arestas são diferentes, os grafos acima nào são idênticos, mas são isomorfos.

3 47 Isomorfismo Dois grafos G e H são idênticos (G = H) se V(G) = V(H) e E(G) = E(H). Dois grafos G e H são isomorfos (G H) se existir uma função f bijetora de V(G) V(H) e uma função g, também bijetora, de E(G) E(H), tal que se a aresta uv E(G), então f(u)f(v) E(H) para todo par de arestas de G e H. Um grafo é completo se existir uma aresta para cada par de seus vértices. A menos dos isomorfos, existe um único grafo completo para n vértices. Um grafo é bipartite se o seu conjunto de vértices puder ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tenha uma extremidade em X e a outra em Y. Um grafo é bipartite completo se todos os vértices de X são ligados a todos os vértices de Y. Exemplos: Grafo Completo - K 4 (Representação K n ) a g f a c e f g X b d b d Y c e Grafo Bipartite X Y Grafo Bipartite Completo - K 3,2

4 48 Representação por matriz de incidência Seja G um grafo com n vértices e m arestas. I n m é a matriz de incidência de G tal que cada elemento (i,j) de I denota o número de vezes que v i e e j são incidentes. Exemplo: e v e 2 v 2 e 5 e 7 e 3 v 4 e 4 v 3 v v 2 v 3 e e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 6 v 4 2 Representação por matriz de adjacência Seja G um grafo com n vértices e m arestas. A n n é a matriz de adjacência de G tal que cada elemento (i,j) de A denota o número de arestas que unem v i e v j. Exemplo: e v e 2 v 2 e 5 e 7 e 3 v 4 e 4 v 3 v v 2 v 3 v v 2 v 3 v e 6 v 4

5 49 B.. Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). O grafo H é chamado de subgrafo próprio se H G. O grafo H é chamado de subgrafo gerador se V(H) = V(G). O grau de um vértice v de G, denotado por d G (v), é o número de arestas incidentes a v. Teorema : d G vv ( G) ( v) 2n n n o de arestas Prova: Cada aresta contribui com dois graus (um em cada vértice que ela liga). Teorema 2: Em todo grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. Prova: ( v) d par( v) par G d par par ímpar( v d ) Um passeio em G é a seqüência de vértices v,..., v n tal que v V(G) e v i é incidente a v i - e a v i +. Se todas as arestas de um passeio são diferentes, ele é chamado de trilha. Se todos os vértices de uma trilha são diferentes, ela é chamada de caminho. e d c a d e c d e c b a d e c d b a b c e é um passeio é uma trilha é um caminho a b Dois vértices u e v são ditos conectados se existir um caminho de u para v (ou vice-versa). Pode-se, então, particionar o conjunto de vértices V em subconjuntos V, V 2,..., V k, tal que dois vértices u e v conectados pertencem ao mesmo subconjunto V i. Os subgrafos G[V ], G[V 2 ],..., G[V k ] são chamados de

6 5 componentes conexas de G. O número de componentes conexas é denotado por (G). Se (G) =, então G é dito conexo, caso contrário, G é dito desconexo. Um passeio é fechado se sua origem e término são o mesmo vértice. Uma trilha fechada cujos vértices internos são distintos é chamada de ciclo. Um ciclo de comprimento K, chamado de K-ciclo, contém K arestas. Um K- ciclo é par ou ímpar se K for, respectivamente, par ou ímpar. c b d a b d c b a b c d b não é um ciclo é uma ciclo; 3-ciclo; ciclo ímpar a e Teorema 3: Um grafo é bipartite se e somente se não contém ciclos ímpares. Prova: se e somente se () Um grafo é bipartite, então não contém ciclos ímpares. Seja G bipartite (X,Y). Se c é um ciclo G dado por v X, v Y,..., v k, v X. O valor de K é um número par, pois define um intervalo de pares. () Um grafo que não contém ciclos ímpares é bipartite. O intervalo v X, v Y,..., v k X ou Y define um grafo acíclico, já o intervalo v X, v Y,..., v ky, v X define um ciclo com um número par de vértices distintos. B.2 Árvores Uma árvore é um grafo conexo e acíclico. Teorema 4: Em uma árvore, quaisquer dois vértices são conectados por um caminho único.

7 5 Prova: Esta prova será feita por contradição. Se G é uma árvore que contém dois caminhos diferentes (c e c 2 ) de a a b. Logo, constata-se que G não pode ter dois caminhos diferentes ligando dois nós, porque estaria-se definindo um ciclo e uma árvore é acíclica. Teorema 5: Se G é uma árvore então m arestas = n vértices. Teorema 6: Toda árvore com n 2 nós possui pelo menos dois vértices de grau. Um nó folha é um vértice de grau. A distância entre dois vértices v e w (d(v,w)) de um grafo G conexo é o comprimento do menor caminho entre eles. 2 v w d(v,w) = 2 3 Se G não é conexo e v e w pertencem a componentes distintos de G, então d(v,w) =. A excentricidade de um vértice v de G conexo é a maior distância a partir de v e denota-se e(v). e(v) = máx{d(v,w) w V(G)} x v e(v) = 4 w O diâmetro de um grafo G é o valor da sua maior excentricidade. No exemplo anterior, o diâmetro seria igual a 5. O centro de um grafo G é o conjunto de vértices de excentricidade mínima. No exemplo anterior, o centro de G seria o conjunto unitário {x}.

8 52 Arestas de Corte (pontes) Uma aresta de corte de um grafo G é uma aresta e E(G) tal que (G - e) > (G). i g b e a c d j f h Arestas de Corte -> d; j; e Teorema 7: Uma aresta e é uma ponte se e somente se não existe ciclo contendo e. Prova: se e somente se Se e não for uma aresta de corte, significa que existe outro caminho entre os seus vértices, logo, ela faz parte de um ciclo. () Suponha e uma aresta de corte de G e suponha que e c (c é um ciclo de G). Se e é uma aresta de corte, então (G - e) > (G). Logo, há um par de vértices (v,w) tal que d(v,w) =. Porém se e c, então haverá outro caminho de v a w em c e. Logo, (G - e) = (G), uma contradição. () Suponha que e não pertença a nenhum ciclo e, suponha que e não é uma aresta de corte. Se e não é uma aresta de corte então (G - e) = (G). Suponha x e y as extremidades de uma aresta a. Se a retirada de e não desconecta o grafo, então G e contém um caminho de x a y. Se G e contém um caminho de x a y, então é porque G((G e) + e) é um ciclo. Dado que a inclusão de e, gera mais um caminho de x a y. Teorema 8: Um grafo G conexo é uma árvore se e somente se cada aresta de G é uma aresta de corte. Prova: se e somente se

9 53 () Seja G uma árvore e seja e uma aresta de G. Uma vez que G é acíclico, e não pertence a ciclo algum de G, logo, pelo teorema 7, e é uma ponte de G. () Suponha que G é conexo, mas não é uma árvore, então G contém um ciclo c. Pelo teorema 7, nenhuma aresta de c pode ser aresta de corte de G. Árvores Geradoras Seja G um grafo, a árvore geradora T de G é um subgrafo gerador de G tal que T é uma árvore. Corolário : Todo grafo conexo possui uma árvore geradora. Prova: Seja G um grafo conexo e T o menor subgrafo conexo gerador de G. Por definição, (T) = e (T e) > para cada aresta e de T. Segue-se que cada aresta de T é uma ponte e, portanto, pelo teorema 8 se T é conexo, então T é uma árvore. Corolário 2: Se G é um grafo conexo, então m arestas n vértices. Teorema 9: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja e uma aresta de G T, então T + e contém um único ciclo. Prova: Uma vez que T é acíclico, cada ciclo de T + e contém e. Além disso, c é um ciclo de T + e se e somente se c e é um caminho de T conectando as extremidades de e. Pelo teorema 4, T tem apenas esse único caminho (conectando as extremidades de e), portanto T + e contém um único ciclo. Cortes e Limites Dados dois subconjuntos S e S de V, denota-se [S,S ] o conjunto de arestas com uma extremidade em S e a outra extremidade em S. Um corte de G é um subconjunto de E da forma [S, S ], em que S é um subconjunto não vazio próprio de V e S = V S. Um corte mínimo não vazio de G é chamado de limite. Cada aresta de corte e de G é um limite de G. Se G é conexo, então um limite B de G é um subconjunto mínimo de E tal que G B é desconexo.

10 54 Um Corte Um Limite Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H, é o subgrafo G E(H). Se G é conexo, um subgrafo da forma T, onde T é uma árvore geradora, é chamado de co-árvore de G. Teorema : Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G, e seja e uma aresta de T, então (i) a co-árvore T não contém limite de G; (ii) T + e contém um único limite de G. Vértices de Corte Um vértice v de G é um vértice de corte se E pode ser particionado em dois subconjuntos não vazios E e E 2 tal que G[E ] e G[E 2 ] têm somente o vértice v em comum. Se G não possui loops e não é trivial, então v é um vértice de corte de G se e somente se (G v) > (G). vértice de corte Teorema : Um vértice v de uma árvore G é um vértice de G se e somente se d(v) >. Corolário 3: Cada grafo conexo G, sem loops e não trivial tem, no mínimo, dois vértices que não são vértices de corte.

11 55 Prova: Pelo corolário, G possui uma árvore geradora T. Pelo teorema 6 e pelo teorema, T tem, no mínimo, dois vértices que não são vértices de corte. Se v é um desses vértices, então (T v) =. Uma vez que T é um subgrafo gerador de G, T v é um subgrafo gerador de G v e, portanto, (G v) (T v). Segue-se que (G v) =, e logo, v não é vértice de corte de G. Já que T possui, no mínimo, dois vértices que não são vértices de corte, a prova está completa. B.3 Conectividade Um corte de vértice de um grafo G é um subconjunto V de V tal que G V é desconexo. Um k-corte de vértice é um corte de vértice de k elementos. Um grafo completo não tem corte de vértice. Se G tem no mínimo um par de vértices não adjacentes distintos, a conectividade k(g) é o mínimo k para o qual G tem um k-corte de vértice, senão k(g) = n vértices. Se G é um grafo trivial ou é desconexo, k(g) =. Diz-se que G é k-conexo se k(g) k. Todos os grafos conexos não triviais são -conexos. Um k-corte (de arestas) é um corte de k elementos. Se G é um grafo não trivial e E é um corte de G, então G E é desconexo. A conectividade de aresta k (G) é o valor mínimo de k para o qual G tem um k-corte. Se G é um grafo trivial, então define-se k (G) como zero, logo k (G) = se G é trivial ou desconexo e, k (G) = se G é um grafo conexo com uma aresta de corte. Diz-se que G é k-aresta-conexo se k (G) k. Todos os grafos conexos não triviais são -aresta-conexo. k(g ) = k(g 2 ) = k (G ) = k (G 2 ) = 2 k(g 3 ) = 3 k(g 4 ) = 4 k (G 3 ) = 3 k (G 4 ) = 4 Teorema 2: Se é o grau mínimo de um grafo G, então vale a seguinte desigualdade k k.

12 56 Blocos Um grafo conexo que não possui vértices de corte é chamado de bloco. Cada bloco com, no mínimo, três vértices é 2-conexo. Um bloco de um grafo é um subgrafo que é um bloco e é máximo com relação a esta propriedade. Cada grafo é a união de seus blocos. Um família de caminhos em G é internamente disjunta se nenhum vértice de G é um vértice interno de mais do que um caminho da família. Teorema 3: Um grafo G com n vértices 3 é 2-conexo se e somente se quaisquer dois vértices de G são conectados por pelo menos dois caminhos internamente disjuntos. Corolário 4: Se G é 2-conexo, então quaisquer dois vértices de G estão em um ciclo comum. Teorema 4: Um grafo G com n vértices k + é k-conexo se e somente se dois vértices distintos de G são conectados por pelo menos k caminhos internamente disjuntos. B.4 Passeio de Euler e Ciclos de Hamilton Passeio de Euler Um passeio euleriano em um grafo G é um passeio fechado que contém todas as arestas de G, uma de cada vez. Teorema 5: Um grafo G conexo admite passeio euleriano se e somente se todos os seus vértices forem de grau par. Prova: se e somente se

13 57 () Seja G um grafo euleriano, então existe um passeio P que compreende todas as arestas de G (e todos os vértices também). Em P os vértices que não são as extremidades (vértices internos) aparecem sempre com grau 2, portanto esses vértices têm grau 2K (onde K é o número de vezes que o vértice aparece em P). O vértice da extremidade também aparece em P com grau 2. () Dado G com todos os vértices de grau par, é possível dividir G em um conjunto c,..., c K de ciclos distintos. Como os vértices têm grau par, não há intersecção de arestas. O passeio de Euler então pode ser formado percorrendo-se cada ciclo do grafo. Teorema 6: Um grafo G conexo admite passeio de Euler aberto se e somente se existirem dois vértices de grau ímpar (parte de um vértice mas não chega no mesmo vértice). Ciclos de Hamilton Um ciclo hamiltoniano é um ciclo do grafo que contém todos os vértices e cada vértice aparece exatamente um vez. Um grafo é dito hamiltoniano se ele possui ciclo hamiltoniano. Teorema 7: Se G é um grafo hamiltoniano então para todo subconjunto próprio não vazio S de V(G), vale (G S) S. Este teorema é uma condição necessária para o grafo ser hamiltoniano. Grafo hamiltoniano Grafo não hamiltoniano Teorema 8: Se G é um grafo simples com n vértices 3 e n vértices /2, então G é hamiltoniano. Este teorema é uma condição suficiente para o grafo ser hamiltoniano.

14 58 Grafo de Petersen (não hamiltoniano) B.5 Grafos Planares Um grafo é embutido no plano ou planar se ele pode ser desenhado em um plano de tal forma que suas arestas só interceptem seus extremos. O estudo dos grafos planares envolvem necessariamente a topologia do plano. Um aspecto relevante dentro do estudo da topologia do plano para a definição de grafos planares é a chamada curva de Jordan. Uma curva de Jordan é uma curva que não se intercepta e cuja origem e destino são coincidentes. A união das arestas em um ciclo de um grafo plano é uma curva de Jordan. Seja J uma curva de Jordan em um plano, então o resto do plano é dividido em dois conjuntos disjuntos abertos chamados de interior e exterior de J. O interior e o exterior de J serão denotados, respectivamente, por in J e ext J e os seus fechamentos por Int J e Ext J. Claramente, Int J Ext J = J. O teorema de Jordan declara que qualquer linha que liga um ponto em int J a um ponto em ext J deve encontrar J em algum ponto.

15 59 Teorema 9: O grafo K 5 não é planar. Prova: Por contradição. Se possível, seja G um grafo plano correspondendo a K 5. Seja v, v 2, v 3, v 4 e v 5 os vértices de G. Uma vez que G é completo, quaisquer dois de seus vértices são ligados por uma aresta. Agora o ciclo C = v v 2 v 3 v é uma curva de Jordan no plano e o ponto v 4 deve recair ou em int C ou em ext C. Suponha que v 4 int C (o caso oposto pode ser analisado de forma similar), então as arestas v 4 v, v 4 v 2 e v 4 v 3 dividem int C em três regiões int C, int C 2 e int C 3, onde C = v v 2 v 3 v, C = v v 2 v 3 v e C = v v 2 v 3 v. int C v v 2 v 4 int C 3 int C 2 ext C v 3 Agora v 5 deve recair em uma das quatro regiões ext C, int C, int C 2 e int C 3. Se v 5 ext C e como v 4 int C, então, pelo teorema da curva de Jordan, a aresta v 4 v 5 deve encontrar C em algum ponto. Todavia, isso contradiz a suposição de que G é um grafo plano. Os casos de v 5 int C i, i =, 2, 3 podem ser analisados de forma semelhante. Um argumento similar ao caso do grafo K 5 pode ser usado para provar que o grafo K 3,3 também não é planar. Um grafo G é dito embutido em uma superfície S se ele pode ser desenhado em S de tal forma que suas arestas se interceptem somente nas suas extremidades. Tal desenho (se existir) é chamado de embutido de G em S. Nem todo grafo pode ser embutido no plano e isso também é verdade para outras superfícies. Pode ser mostrado que, para cada superfície S, existe grafos que não são embutidos em S. Todavia, cada grafo pode ser embutido no espaço R 3.

16 6 Teorema 2: Um grafo G é embutido no plano se e somente se for também embutido em uma esfera. Prova: Suponha que G tenha um grafo embutido G sobre a esfera. Seja um ponto z da esfera, mas fora de G. A imagem de G sob a projeção estereográfica de z é um embutido de G no plano. O caminho oposto do teorema é provado de forma similar. B.6 Grafos Direcionados Um grafo direcionado ou digrafo D é um conjunto finito V(D) de elementos denominados vértices, juntamente com um conjunto E(D) de pares ordenados de V(D) chamados arestas. O grafo subjacente do digrafo D é o grafo não direcionado obtido a partir de D, ignorando-se a orientação e eliminando-se possíveis arestas paralelas. Se e = (u,v) E(D), então diz-se que a aresta e está orientada de u para v. Além disso, e é divergente de u e convergente para v. O grau de saída de um vértice v é o número de arestas divergentes de v. Enquanto que o grau de entrada de v é o número de arestas que convergem para v. O grau de saída é denotado por d + (v), enquanto o grau de entrada é denotado por d - (v). Um vértice v é fonte se d - (v) = e v é sumidouro se d + (v) =.

17 6 Digrafo Grafo subjacente (sem direção e sem arestas pararlelas), u v Divergente a u e convergente a v u v Grau de saída de u = 4 Se D contém um caminho do vértice u para o vértice v, então u alcança v e v é alcançável a partir de u. Um digrafo D é fortemente conexo se para todo par de vértices (u,v), u alcança v e v alcança u. Um digrafo é unilateralmente conexo se para todo par de vértices (u,v), u alcança v ou v alcança u. Um digrafo é conexo quando o seu grafo subjacente o for. Se um digrafo D for obtido a partir da atribuição de uma orientação a cada aresta de seu grafo subjacente, então diz-se que D é uma orientação de G. Um torneio é uma orientação de um grafo não direcionado completo.

18 62 Torneio u v Não há caminho de u para v. u v Fortemente conexo u v ou v u Unilateralmente conexo