Árvores Binárias e Busca. Jeane Melo

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1 Árvores Binárias e Busca Jeane Melo

2 Roteiro Parte 1 Árvores Relação hierárquica Definição Formal Terminologia Caminhamento em Árvores Binárias Exemplos Parte 2 Busca seqüencial Busca Binária

3 Grafos Conjunto de Vértices (V) e Arestas (E) G(V,E) V (Vértices) Conjunto finito não vazio E (Arestas) Conjunto de pares não ordenados de elementos distintos de V Pares não ordenados (Grafos simples) e E; e=(v, w) v e w, extremidades da aresta, são ditos vértices adjacentes

4 Árvores (T) Uma árvore T(V,E) é um grafo acíclico e conexo Uma árvore T(V,E) é um grafo(simples), conexo com n-1 arestas (onde n é o número de vértices). Floresta Conjunto de árvores

5 Árvore binária Conjunto finito de nós que Ou não contém nenhum nó Ou, é formada por três conjuntos disjuntos de nós Raiz Sub-árvore da esquerda Sub-árvore da direita Se tem apenas 1 filho indicar se é da direita ou da esquerda

6 Árvores Definição formal Conjunto finito de um ou mais nós, tais que: existe um nó denominado raiz os demais nós formam s 1, s 2,... s m, m >= 0, conjuntos disjuntos Cada um desses conjuntos (s 1, s 2,... s m ) também é uma árvore (sub-árvore)

7 Árvore Binária Nível Altura

8 Árvores Binárias Cada nó possui no máximo duas subárvores Sub-árvore da direita Sub-árvore da esquerda O grau de cada nó é menor ou igual a dois

9 Árvores Binárias Caminhamento Forma ordenada de percorrer todos os nós de uma árvore binária Passar por todos os nós Não repetir nenhum nó Consulta ou alteração dos valores dos nós

10 Árvores binárias + * / a b c + d e

11 Árvores Binárias Formas mais usuais de caminhamento Pré-fixado (RED) Central ou In-fixado (em ordem inorder) (ERD) Pós-fixado (EDR)

12 Pré-Fixado Visita a raiz Percorre sub-árvore da esquerda Percorre sub-árvore da direita C B A D E F G A B C D E F G

13 In-Fixado Percorre sub-árvore da esquerda Visita Raiz Percorre sub-árvore da direita

14 Pós-fixado Percorre a sub-árvore da esquerda Percorre a sub-árvore da direita Visita a raiz

15 Pré-fixado Prefix(A:árvore) se A <> nil visita(a) Prefix(Esq(A)) Prefix (Dir(A))

16 Central Central(A:árvore) se A <> nil Central(Esq(A)) visita(a) Central (Dir(A))

17 Pós-fixado Posfix(A:árvore) se A <> nil Posfix(Esq(A)) Posfix (Dir(A)) visita(a)

18 Exercício Execute os procedimento Central e Posfix para a árvore do exemplo 1.

19 Algoritmos de Busca Prof. Jeane Melo

20 Roteiro Introdução Pesquisa Seqüencial Pesquisa Binária Exercício

21 Introdução Busca ou Pesquisa de Dados Verificar se um dado elemento ocorre ou não em um determinado conjunto Caso o elemento ocorra é possível verificar quantas vezes o mesmo ocorre

22 Introdução Escolha do método Quantidade de dados envolvidos Modificações que o conjunto pode sofre: Inserções e retiradas de dados frequentemente Estável A busca (ou pesquisa) pode ser feita em um conjunto ordenado ou não.

23 Introdução Busca em conjuntos não ordenados Método exaustivo - consiste em percorrer todo o conjunto até encontrar o elemento ou concluir que o mesmo não pertence ao conjunto. Busca em conjuntos ordenados Pesquisa seqüencial Pesquisa binária

24 Pesquisa seqüencial Método de pesquisa mais simples que existe A partir do primeiro registro, pesquise sequencialmente até encontrar a chave procurada; então pare.

25 Pesquisa seqüencial /*Pesquisa exaustiva sem ordenação*/ /*Pesquisar o elemento Elem no vetor V de tamanho tam*/ k := -1 /*significa que Elem não foi encontrado em V*/ i :=0 Enquanto (i < tam) e (k = -1) Fazer Se (V[i] = Elem) então k := i senão i := i + 1 Se (k = -1) então Elem não se encontra em V senão Elem encontra-se na posição k

26 Pesquisa seqüencial /*Pesquisa exaustiva (em C)*/ int PesquisaExaustiva (int Elem, int V[], int tam) { int i = 0, k = -1; while ( (i < tam) && (k == -1) ) if (Elem == V[i]) k = i; else i = i + 1; if (k == -1) return (-1); else return (k); }

27 Pesquisa seqüencial /*Pesquisa seqüencial - algoritmo */ /*Considerando que o vetor V está ordenado*/ k := -1 // significa que Elem ainda não foi encontrado em V i := 0 // índice dos elementos do vector V Enquanto (i < tam) e (k = -1) Fazer Se (V[i] = Elem) então k := i senão Se (Elem > V[i]) então i := i + 1 senão k := -2; // significa que Elem não está em V Se (k 0) então Elem encontra-se na posição k senão Elem não se encontra em V

28 Pesquisa seqüencial /*Pesquisa sequencial (em C)*/ int PesquisaSequencial (int Elem, int V[], int tam) { int i = 0, k = -1; // k = posição onde se encontra Elem em V while ( (i < tam) && (k == -1) ) if (Elem == V[i]) k = i; else if (Elem < V[i]) i = i + 1; else k = -2; return (k); }

29 Pesquisa Binária Considera o vetor ordenado Três passos Verificar se o elemento está no meio do conjunto; senão está: Se o elemento é menor que aquele que está no meio, verifica se o elemento ocorre na primeira metade; Se o elemento é maior, verifique se ele ocorre na segunda metade da tabela. Repete o processo até encontrar a chave.

30 Pesquisa binária Pesquisa binária (algoritmo iterativo) Pesquisar o elemento Elem no vector V de tamanho tam inicio 0 fim tamanho - 1 k -1 // k recebe a posição de Elem (no início presume-se que não está) Enquanto ( (inicio fim) e (k = -1) ) Fazer meio (inicio + fim) / 2 Se (Elem = V[meio]) então k meio senão Se (Elem < V[meio]) então fim meio 1 senão inicio meio + 1 Se (k 0) então Elem encontra-se em V na posição k senão Elem não se encontra em V

31 Pesquisa binária Pesquisa binária (versão iterativa) int PesquisaBinaria (int Elem, int V[], int tam) { int inicio = 0, fim = tam 1, meio, k = -1; while ( (inicio <= fim) && (k == -1) ) { meio = (inicio + fim) / 2; if (Elem == V[meio]) k = meio; else if (Elem < V[meio]) fim = meio - 1; else inicio = meio + 1; } return (k); }

32 Exercício Escreva um outro algoritmo de busca exaustiva (diferente do apresentado em sala de aula). Escreva um outro algoritmo para pesquisa seqüencial (considerando o vetor ordenado) Verifique se os elementos 37, 43 e 13 ocorrem no vetor ordenado: (utilize o algoritmo de pesquisa binária)

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