Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Transcrição

1 Edson Prestes

2 Dígrafos Dado um dígrafo G, podemos definir uma função multívoca vértices de G entre os Se G possui os arcos (x,y) e (x,w), então sabemos que G possui duas arestas que saem de x e alcançam y e w, portanto temos Esta função possui inversa denomidada por. Neste caso para um vértice y, esta função indica de quais vértices partem arcos que chegam a y. Considerando o exemplo anterior, temos. e A generalização da função é a função, o que consiste em

3 Dígrafos Dado o dígrafo G abaixo calcule as funções e para cada vértice de G

4 Dígrafos Baseado nisto podemos definir a função fechamento transitivo de um vértice x, denotada por,, onde A função de fechamento transitivo inversa é definida como Ou seja, um dígrafo G=(V,A) é fortemente conexo se ˆ{x} = V x V

5 Dígrafos Dado o dígrafo abaixo, calcule e

6 Dígrafos - Componentes Fortes Determine os componentes fortemente conexos maximais do dígrafo abaixo Inicialmente pegamos um vértice e calculamos e Finalmente, calculamos. Este último resultado nos fornece os vértices V que compõe o subgrafo fortemente conexo maximal ao qual x pertence. Em seguida, realizamos o mesmo processo para até que

7 Dígrafos - Componentes Fortes Inicialmente iremos pegar o vértice A. Temos O primeiro subgrafo é formado pelos vértices V'={a,d} e pelos arcos que os conectam. O segundo subgrafo é determinado a partir de V-V'={b,c,e}. Escolhendo o vértice c, temos O segundo subgrafo portanto é aquele formado pelos vértices {b,c} e pelos arcos que os interligam.

8 Dígrafos - Componentes Fortes Observe que restou apenas o vértice e do conjunto de vértices original. Portanto ele é seu próprio subgrafo conexo maximal. Os subgrafos fortemente conexos maximais são destacados abaixo

9 Dígrafos - Componentes Fortes Determine os componentes fortemente conexos maximais do grafo abaixo

10 Dígrafos Componentes Fortes

11 Dígrafos Contagem de Caminhos/Passeios Considere o dígrafo abaixo e sua matriz de adjacência M Matriz de adjacência M Determine a quantidade de passeios de comprimento 1, 2, 3 e 4.

12 Dígrafos Contagem de Caminhos/Passeios Note que a matriz M já indica a quantidade de passeios de comprimento 1. A quantidade de passeios de comprimento 2 é obtida calculando M 2 =M.M. M 2 =

13 Dígrafos Contagem de Caminhos/Passeios A quantidade de passeios de comprimento 3 é obtida calculando M 3 =M 2.M. M= M 2 = M 3 =

14 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Relembrando, dado um grafo G=(V,A), um conjunto S é independente se S não contiver vértices adjacentes entre si e for maximal. Uma cobertura de vértices de G é um subconjunto C de vértices de G que contém no mínimo um vértice de cada aresta de G. A relação entre cobertura e conjunto independente é a seguinte. Dado um grafo G=(V,A), o conjunto independente maximal I associado a uma cobertura minimal C, é obtido através de I=V-C. Para enumerar coberturas e conjuntos independentes será utilizado um método proposto por Maghout.

15 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Considere o dígrafo abaixo Este método atua sobre em cima da matriz de adjacência de um grafo ou dígrafo sem loops. Portanto, se o dígrafo/grafo em questão possuir laços devemos omití-los em sua matriz de adjacência. Para cada vértice devemos criar uma variável lógica e para cada aresta devemos criar a seguinte soma.

16 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Em seguida devemos calcular o seguinte produtório Para o dígrafo ao lado, temos o seguinte produto Devemos lembrar que a expressão x+xy, onde x e y são duas variáveis lógicas, pode ser simplificada da seguinte maneira x+xy = x(1+y) = x onde 1 corresponde ao valor true.

17 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Analisando a multiplicação dos últimos três termos temos, Observamos que para x e a i, variáveis lógica, temos Usando esta informação no produto inicial, temos

18 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Após este processo, encontramos 4 termos que representam 4 coberturas minimais. As coberturas são obtidas a partir das varíaveis associadas a cada termo. Logo, temos {b,c,d},{b,c,e},{b,a,d} e {a,e,d} como coberturas minimais.

19 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Tendo as coberturas minimais {b,c,d},{b,c,e},{b,a,d} e {a,e,d}, encontramos os conjuntos independentes a partir de cada cobertura da seguinte forma. Para cada cobertura C, o conjunto independente maximal correspondente é V-C, i.e., o conjunto independente é formado por todos os vértices de G que não aparecem na cobertura Logo, temos os seguintes conjuntos independentes. {a,e},{a,d},{c,e},{b,c}

20 Dígrafos Cobertura e Conjunto Independente Calcule as coberturas minimais e os conjuntos independentes de vértices do dígrafo abaixo

21 Trabalho Use o método de Mahgout para calcular os matching maximais do grafo abaixo. Note que você precisa da definição de grafo linha!