GRAFOS E ALGORITMOS TEORIA DE GRAFOS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "GRAFOS E ALGORITMOS TEORIA DE GRAFOS"

Transcrição

1 GRAFOS E ALGORITMOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Prof. Ronaldo R. Goldschmidt rribeiro@univercidade.br ronaldo_goldschmidt@yahoo.com.br

2 ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO 2. FUNDAMENTOS 3. CONECTIVIDADE 4. GRAFOS EULERIANOS 5. GRAFOS HAMILTONIANOS 6. PLANARIDADE 7. DIGRAFOS

3 ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO 2. FUNDAMENTOS 3. CONECTIVIDADE 4. GRAFOS EULERIANOS 5. GRAFOS HAMILTONIANOS 6. PLANARIDADE 7. DIGRAFOS

4 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO Um grafo é um conjunto de pontos (vértices) e um conjunto de linhas (arestas) que ligam estes pontos. e 1 v 2 v 1 e 2 e 7 e 8 Exemplo: e 5 e 4 e 3 e 6

5 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO São muitas as aplicações de grafos em problemas práticos: Definição de Rotas

6 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO São muitas as aplicações de grafos em problemas práticos: Modelagem de Circuitos Lógicos

7 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO São muitas as aplicações de grafos em problemas práticos: Modelagem de Sistemas

8 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO São muitas as aplicações de grafos em problemas práticos: Planejamento e Gerenciamento de Projetos Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4

9 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO São muitas as aplicações de grafos em problemas práticos: Espeificação de Máquinas de Estados

10 ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO 2. FUNDAMENTOS 3. CONECTIVIDADE 4. GRAFOS EULERIANOS 5. GRAFOS HAMILTONIANOS 6. PLANARIDADE 7. DIGRAFOS

11 Def: Um grafo G é uma tripla (V(G), E(G), G ), onde V(G) conjunto não vazio de vértices, E(G) conjunto de arestas e G função de incidência que associa a cada aresta de G um par não ordenado de vértices de G. Exemplo: v1 e 1 e5 e4 v2 e2 e 7 e8 e3 v4 e6 V(G) = {v 1, v 2,,, } E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 }

12 Exemplo: v 1 e 1 e 5 e 4 v2 e 2 e 7 e8 e 3 v4 e6 V(G) = {v 1, v 2,,, } E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G (e 1 ) = v 1 v 2 ; G (e 2 ) = v 2 ; G (e 3 ) = ; G (e 4 ) = ; G (e 5 ) = v 2 ; G (e 6 ) = ; G (e 7 ) = v 2 ; G (e 8 ) = v 2.

13 Def: Um grafo G é planar se admite uma representação plana (não há cruzamento de arestas). Exemplo: Representação não planar, mas o grafo é planar.

14 Def: Uma aresta é incidente aos dois vértices em seus extremos. Exemplo: v 1 e 1 e 5 e 4 v2 e 2 e 7 e8 e 3 v4 e6 A aresta e 1 é incidente em v 1 e v 2

15 Def: Dois vértices incidentes a uma aresta comum são chamados de vértices adjacentes. Exemplo: v 1 e 1 e 5 e 4 v2 e 2 e 7 e8 e 3 v4 e6 Os vértices v 1 e v 2 são adjacentes pois possuem uma aresta comum: e 1

16 Def: Duas arestas incidentes a um vértice comum são chamadas de arestas adjacentes. Exemplo: v 1 e 1 e 5 e 4 v2 e 2 e 7 e8 e 3 v4 e6 As arestas e 1, e 5, e 2, e 7, e 8 são adjacentes pois possuem um vértice comum: v 2

17 Def: Uma aresta que liga um vértice a ele mesmo é chamada de loop. Exemplo: v 1 e 1 e 5 e 4 v2 e 2 e 7 e8 e 3 v4 e6 A aresta e 3 é um loop pois liga a ele mesmo.

18 Def: Duas arestas com vértices incidente idênticos são chamadas de arestas paralelas. Exemplo: v 1 e 1 e 5 e 4 v2 e 2 e 7 e8 e 3 v4 e6 As arestas e 7 e e 8 são arestas paralelas pois ambas incidem em v 2 e.

19 Def: Um grafo que não possui loops e nem arestas paralelas é chamado de grafo simples. v e 1 2 Exemplo: v 1 e 2 e e 7 5 e 4 v4 e6

20 Representação de Grafos Matriz de Incidência Seja G um grafo com n vértices e m arestas. I n m é a matriz de incidência de G tal que cada elemento (i,j) de I denota o número de vezes que v i e e j são incidentes. e 1 e v 2 1 v 2 e 5 e 7 e 3 v e 3 4 v 1 v 2 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e e 6

21 Representação de Grafos Matriz de Adjacência Seja G um grafo com n vértices e m arestas. A n n é a matriz de adjacência de G tal que cada elemento (i,j) de A denota o número de arestas que unem v i e v j. e 1 e v 2 1 v 2 e 5 e 7 e 3 v e 3 4 v 1 v 2 v 1 v e 6

22 Def: Um grafo é completo se para cada par de vértices, existir somente uma aresta que os una. Notação: K n Exemplo de grafo completo: K 4

23 Def: Um grafo é chamado bipartido (bipartite) se o seu conjunto de vértices puder ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tenha uma extremidade em X e a outra em Y. Exemplo de grafo bipartido:

24 Def: Um grafo é chamado bipartido completo se ele for bipartido e se todos os vértices de X estiverem ligados a todos os vértices de Y (por meio de uma única aresta para cada par de vértices). Notação: K n,m Exemplo de grafo bipartido completo: K 2,2

25 Verifique se os grafos abaixo são: a) bipartidos; b) completos Bipartido Completo: K 1,1 Bipartido não completo Bipartido Completo: K 2,3

26 Verifique se os grafos abaixo são: a) bipartidos; b) completos a g f a c e f g b d c e b d Bipartido Completo: K 2,5

27 Verifique se os grafos abaixo são: a) bipartidos; b) completos a g f b d c e Não é Bipartido

28 Vértice Nó Nodo Outras Definições: Aresta Arco Conexão Grafo Rotulado:

29 Def: Dois grafos G e H são idênticos (G=H) se V(G)=V(H) e E(G)=E(H) a G: H: a f g c e f g b d b d c e G e H são idênticos, embora possuam representações diferentes

30 Def: Dois grafos G e H são isomorfos (G H) se existirem duas funções f: V(G) V(H) e g: E(G) E(H), ambas bijetoras tais que: se a aresta uv E(G), então f(u)f(v) E(H) para todo par de vértices de G e H. G: H: v 2 b c d e v 1 a G e H não são idênticos (vértices diferentes). Eles são isomorfos?

31 G: v 2 2. FUNDAMENTOS H: b c d e v 1 a f( )=c f(v 2 )=d f( )=a f(v 1 )=e f( )=b g( )=f( )f( )=cc g(v 2 )=f(v 2 )f( )=da g(v 2 )=f(v 2 )f( )=dc g( )=f( )f( )=cb g( )=f( )f( )=ba g(v 1 v 2 )=f(v 1 )f(v 2 )=ed g(v 2 )=f(v 2 )f( )=db G e H são distintos (vértices diferentes), mas são isomorfos.

32 Def: Um grafo H é um subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). H é um subgrafo próprio de G se H for um subgrafo de G e H G. G: v 2 H: v 2 v 1 v 1 G e H são idênticos. H é subgrafo de G e G é subgrafo de H.

33 Def: Um grafo H é um subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). H é um subgrafo próprio de G se H for um subgrafo de G e H G. G: v 2 H: v 2 v 1 v 1 H é subgrafo próprio de G.

34 Def: Um grafo H é um subgrafo de G se V(H) V(G) e E(H) E(G). H é um subgrafo próprio de G se H for um subgrafo de G e H G. G: v 2 H: v 2 v 1 v 1 H não é subgrafo de G.

35 Def: Seja H um subgrafo de G. Se V(H) = V(G) então H é chamado subgrafo gerador de G. G: v 2 H: v 2 v 1 v 1 G e H são idênticos. H é subgrafo gerador de G e vice-versa.

36 Def: Seja H um subgrafo de G. Se V(H) = V(G) então H é chamado subgrafo gerador de G. G: v 2 H: v 2 v 1 v 1 H é subgrafo gerador de G.

37 Def: Seja H um subgrafo de G. Se V(H) = V(G) então H é chamado subgrafo gerador de G. G: v 2 H: v 2 v 1 H é subgrafo de G, mas H não é subgrafo gerador de G.

38 Def: Grau de um vértice v é o número de arestas incidentes em v. Notação: d G (v) G: v 2 v 1 d G (v 1 ) = 1; d G (v 2 ) = 5; d G ( ) = 4; d G ( ) = 3; d G ( ) = 3

39 Teorema: v V d ( G) G ( v) 2n Onde n é o número de arestas. G: v 2 v 1 n = 8 2n=16: d G (v 1 ) + d G (v 2 ) + d G ( ) + d G ( ) + d G ( ) = 16

40 Teorema: v V d ( G) G ( v) 2n Onde n é o número de arestas. Demonstração: Cada aresta contribui com grau 2 (um grau em cada vértice que ela une). Assim, o somatório dos graus do grafo é 2n.

41 Demonstração: 2. FUNDAMENTOS Teorema: Em todo grafo o número de vértices com grau ímpar é par.

42 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex1: Conhecendo a matriz de adjacência de um grafo (com n vértices), faça um algoritmo que verifique se este grafo possui loops. Função testa_loops() Para i variando de 1 até n faça se A G [i,i] = 1 então retorne Verdade; fim-se; fim-para retorna (Falso) Fim testa_loops

43 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex2: Conhecendo a matriz de adjacência de um grafo (com n vértices), faça um algoritmo que verifique se este grafo possui arestas paralelas. paralelas := não; para i:= 1 até n para j:= 1 até n se A G [i,j] 2 então paralelas := sim; i:=n; j:=n; fim-se; fim-para fim-para retorna (paralelas);

44 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex3: Conhecendo a matriz de adjacência de um grafo (com n vértices), faça um algoritmo que verifique se este é um grafo simples.

45 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex4: Conhecendo a matriz de incidência de um grafo (com n vértices e m arestas), faça um algoritmo que verifique se este grafo possui loops. loops := não; para i:= 1 até n para j:= 1 até m se I G [i,j] = 2 então loops := sim; i:=n; j:=n; fim-se; fim-para fim-para retorna (loops);

46 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex5: Conhecendo a matriz de incidência de um grafo (com n vértices e m arestas), faça um algoritmo que verifique se este grafo possui arestas paralelas.

47 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex6: Conhecendo a matriz de incidência de um grafo (com n vértices e m arestas), faça um algoritmo que verifique se este é um grafo simples.

48 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex7: Conhecendo as matrizes de adjacência de dois grafos G (com n vértices) e H (com m vértices), faça um algoritmo que verifique se estes grafos são idênticos.

49 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex8: Verifique se são isomorfos os grafos abaixo: a) v 1 v 2 v 2 v 1

50 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex8: Verifique se são isomorfos os grafos abaixo: b) v 1 v 2 b e a c d

51 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex8: Verifique se são isomorfos os grafos abaixo: c) v 1 v 2 b e a c d

52 EXERCÍCIOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Ex8: Verifique se são isomorfos os grafos abaixo: d) v 1 v 6 v 7 a c e f g v 2 b d

Definição e Conceitos Básicos

Definição e Conceitos Básicos Definição e Conceitos Básicos Grafos e Algoritmos Computacionais Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes fhcnunes@yahoo.com.br 1 Conceitos Básicos Em grafos ocorrem dois tipos de elementos: Vértices ou nós;

Leia mais

CAP4. ELEMENTOS DA TEORIA DE GRAFOS. Grafo [graph]. Estrutura que consiste num par ordenado de conjuntos, G ( V, E) , sendo:

CAP4. ELEMENTOS DA TEORIA DE GRAFOS. Grafo [graph]. Estrutura que consiste num par ordenado de conjuntos, G ( V, E) , sendo: Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap4. Elementos da Teoria de Grafos pg 1 CAP4. ELEMENTOS DA TEORIA DE GRAFOS Grafo [graph]. Estrutura que consiste num par ordenado de conjuntos, G ( V, E), sendo: Exemplos

Leia mais

CONCEITOS BÁSICOS EM GRAFOS

CONCEITOS BÁSICOS EM GRAFOS Um grafo (simples) G é formado por um conjunto de vértices, denotado por V(G), e um conjunto de arestas, denotado por E(G). Cada aresta é um par (não ordenado) de vértices distintos. Se xy é uma aresta,

Leia mais

Conceitos Básicos da Teoria de Grafos

Conceitos Básicos da Teoria de Grafos Conceitos Básicos da Teoria de Grafos Universidade Federal do Pampa - UNIPAMPA Engenharia da Computação Estrutura de Dados Profª Sandra Piovesan Grafos Uma noção simples, abstrata e intuitiva. Representa

Leia mais

Alg l ori r t i m t os e E str t u r tu t ra r s d e D ados I I Intr t o r duçã ç o ã a a Gr G a r f a o f s P of o a. M. C r C ist s ina n a /

Alg l ori r t i m t os e E str t u r tu t ra r s d e D ados I I Intr t o r duçã ç o ã a a Gr G a r f a o f s P of o a. M. C r C ist s ina n a / Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos Profa. M. Cristina / Profa. Rosane (2012) Baseado no material de aula original: Profª. Josiane M. Bueno Divisão do arquivo 1ª parte: Motivação Definição:

Leia mais

Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos. Divisão do arquivo

Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos. Divisão do arquivo Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Profa. M. Cristina / Profa. Rosane (2010/11) Baseado no material de aula original: Profª. Josiane M. Bueno Divisão do arquivo 1ª parte: Motivação Definição:

Leia mais

Teoria dos Grafos Aula 2

Teoria dos Grafos Aula 2 Teoria dos Grafos Aula 2 Aula passada Logística, regras Objetivos Grafos, o que são? Formando pares Encontrando caminhos Aula de hoje Outro problema real Definições importantes Algumas propriedades Grafo

Leia mais

GRAFOS. Prof. André Backes. Como representar um conjunto de objetos e as suas relações?

GRAFOS. Prof. André Backes. Como representar um conjunto de objetos e as suas relações? 8/0/06 GRAFOS Prof. André Backes Definição Como representar um conjunto de objetos e as suas relações? Diversos tipos de aplicações necessitam disso Um grafo é um modelo matemático que representa as relações

Leia mais

01/05/2016. Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc ROTEIRIZAÇÃO TEORIA DOS GRAFOS MOTIVAÇÃO

01/05/2016. Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc ROTEIRIZAÇÃO TEORIA DOS GRAFOS MOTIVAÇÃO ROTEIRIZAÇÃO Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc TEORIA DOS GRAFOS MOTIVAÇÃO 1 MOTIVAÇÃO Por que estudar grafos? Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento Utilizados

Leia mais

Doutorado em Ciência da Computação. Algoritmos e Grafos. Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UFBA

Doutorado em Ciência da Computação. Algoritmos e Grafos. Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UFBA Doutorado em Ciência da Computação Algoritmos e Grafos Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UFBA Grafo Completo Grafo simples cujos vértices são dois a dois adjacentes. Usa-se a notação K n para um grafo completo

Leia mais

Percursos em um grafo

Percursos em um grafo Percursos em um grafo Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira

Leia mais

Cap. 2 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos

Cap. 2 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos Teoria dos Grafos e Aplicações 8 Cap. 2 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos 2.1 Grafo É uma noção simples, abstrata e intuitiva, usada para representar a idéia de alguma espécie de relação entre os

Leia mais

IFRN. Introdução à Teoria dos Grafos. Prof. Edmilson Campos

IFRN. Introdução à Teoria dos Grafos. Prof. Edmilson Campos IFRN Introdução à Teoria dos Grafos Prof. Edmilson Campos Conteúdo Histórico Aplicações Definições Grafo Dígrafo Ordem, adjacência e grau Laço Tipos de grafos Representação de Grafos Matriz de adjacências

Leia mais

Grafos Planares. Grafos e Algoritmos Computacionais. Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes

Grafos Planares. Grafos e Algoritmos Computacionais. Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes Grafos Planares Grafos e Algoritmos Computacionais Prof. Flávio Humberto Cabral Nunes fhcnunes@yahoo.com.br 1 Introdução Os exemplos mais naturais de grafos são os que se referem à representação de mapas

Leia mais

Doutorado em Ciência da Computação. Algoritmos e Grafos. Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UFBA

Doutorado em Ciência da Computação. Algoritmos e Grafos. Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UFBA Doutorado em Ciência da Computação Algoritmos e Grafos Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UFBA Grafo Completo Grafo simples cujos vértices são dois a dois adjacentes. Usa-se a notação K n para um grafo completo

Leia mais

Definições Básicas para Grafos

Definições Básicas para Grafos Definições Básicas para rafos RAFO Um grafo (V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo; A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w V:

Leia mais

Conceito Básicos da Teoria de Grafos

Conceito Básicos da Teoria de Grafos 1 Conceito Básicos da Teoria de Grafos GRAFO Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo; A - conjunto de pares ordenados a=(v,w),

Leia mais

Teoria dos Grafos Aula 2

Teoria dos Grafos Aula 2 Teoria dos Grafos Aula 2 Aula passada Logística Objetivos Grafos, o que são? Formando pares Aula de hoje Mais problemas reais Definições importantes Algumas propriedades Objetivos da Disciplina Grafos

Leia mais

Grafos Orientados (digrafos)

Grafos Orientados (digrafos) Grafos Orientados (digrafos) Grafo Orientado ou digrafo Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v 1,, v n } é um conjunto de vértices e A = {a 1,, a k } é um conjunto de arcos tais que a k, k=1,,m é representado

Leia mais

Matemática Discreta. Aula nº 22 Francisco Restivo

Matemática Discreta. Aula nº 22 Francisco Restivo Matemática Discreta Aula nº 22 Francisco Restivo 2006-05-26 Definição: Um grafo cujos vértices são pontos no plano e cujos lados são linhas no plano que só se encontram nos vértices do grafo são grafos

Leia mais

Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II. Aula 10: Introdução aos Grafos

Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II. Aula 10: Introdução aos Grafos Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II Aula 10: Introdução aos Grafos História O assunto que se constitui no marco inicial da teoria de grafos é na realidade um problema algorítmico.

Leia mais

Grafos IFRN. Robinson Alves

Grafos IFRN. Robinson Alves Grafos IFRN Robinson Alves Introdução Problema das Pontes de Königsberg No século 18 havia na cidade de Königsberg(antiga Prússia) um conjunto de sete pontes (identificadas pelas letras de a até f nas

Leia mais

Matemática Discreta 10

Matemática Discreta 10 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta 10 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br - www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti 1 Muitas

Leia mais

TEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO. Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala

TEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO. Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala TEORIA DOS GRAFOS UMA APLICAÇÃO DE LOGÍSTICA PARA O ENSINO MÉDIO mmmoala@fafica.br Breve Histórico Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos Nascimento de abril de 77 / 8 de setembro

Leia mais

GRAFOS Conceitos Básicos (Parte 1)

GRAFOS Conceitos Básicos (Parte 1) ALGORITMOS E ESTRUTURAS DE DADOS II GRAFOS Conceitos Básicos (Parte 1) Gustavo Batista Profa. Elaine Parros Machado de Sousa alterações: Cris-na Dutra de Aguiar Ciferri Material baseado em aulas dos professores:

Leia mais

Oferta de Serviços. Grafo Planar. Notas. Teoria dos Grafos - BCC204, Planaridade. Notas

Oferta de Serviços. Grafo Planar. Notas. Teoria dos Grafos - BCC204, Planaridade. Notas Teoria dos Grafos - BCC204 Planaridade Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 29 de maio de 2011 1 / 23 Oferta de Serviços Gás Luz Água Podemos oferecer os demais serviços para

Leia mais

Introdução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo

Introdução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo Doutorado em Ciência da Computação lgoritmos e Grafos Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UF Introdução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo Definição Estrutura que consiste em dois conjuntos: um conjunto de vértices

Leia mais

TEORIA DOS GRAFOS TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS MATEMÁTICA DISCRETA II PROFº MARCOS NASCIMENTO

TEORIA DOS GRAFOS TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS MATEMÁTICA DISCRETA II PROFº MARCOS NASCIMENTO TEORIA DOS GRAFOS TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS MATEMÁTICA DISCRETA II PROFº MARCOS NASCIMENTO Por que estudar grafos? Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Introdução Representação Mostre que todo passeio de u até v contém um caminho de u até v. Considere um passeio de comprimento l de u até v. Se l = 0 então temos um passeio sem nenhuma aresta.

Leia mais

01 Grafos: parte 1 SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II

01 Grafos: parte 1 SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II 01 Grafos: parte 1 SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II Prof. Moacir Ponti Jr. www.icmc.usp.br/~moacir Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação USP 2011/1 Moacir Ponti Jr. (ICMCUSP) 01

Leia mais

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada. Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos direcionados (Digrafos) Preparado a partir do texto:

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes As arestas possuem a função de indicar o relacionamento(espacial, comportamental, temporal) entre os elementos de um grafo. Em diversas situações esta relação não é simétrica, ou seja, par

Leia mais

Algoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos

Algoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos Algoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos Prof a. Laura Silva de Assis PPCIC - Programa de Pós-graduação em Ciência da Computação CEFET/RJ - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Existem três companhias que devem abastecer com gás, eletricidade e água três prédios diferentes através de tubulações subterrâneas. Estas tubulações podem estar à mesma profundidade? Isto

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Árvores Algoritmo de Kruskal O algoritmo de Kruskal permite determinar a spanning tree de custo mínimo. Este custo corresponde à soma dos pesos (distância, tempo, qualidade,...) associados

Leia mais

Planaridade AULA. ... META Introduzir o problema da planaridade de grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:

Planaridade AULA. ... META Introduzir o problema da planaridade de grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Planaridade AULA META Introduzir o problema da planaridade de grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Distinguir grafo planar e plano; Determinar o dual de um grafo; Caracterizar

Leia mais

1.3 Isomorfismo 12 CAP. 1 CONCEITOS BÁSICOS

1.3 Isomorfismo 12 CAP. 1 CONCEITOS BÁSICOS 12 CAP. 1 CONCEITOS BÁSICOS I i I j. Essa relação de adjacência define um grafo com conjunto de vértices {I 1,...,I k }. Esse é um grafo de intervalos. Faça uma figura do grafo definido pelos intervalos

Leia mais

Introdução à Teoria dos Grafos. Isomorfismo

Introdução à Teoria dos Grafos. Isomorfismo Isomorfismo Um isomorfismo entre dois grafos G e H é uma bijeção f : V (G) V (H) tal que dois vértices v e w são adjacentes em G, se e somente se, f (v) e f (w) são adjacentes em H. Os grafos G e H são

Leia mais

Matemática Discreta - Exercícios de Grafos

Matemática Discreta - Exercícios de Grafos UALG - 0/0 1. Seja G o grafo cuja matriz de adjacência é: 1 8 9 1 8 9 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Leia mais

Introdução à Teoria dos Grafos (MAC-5770) IME-USP Depto CC Profa. Yoshiko. Capítulo 3

Introdução à Teoria dos Grafos (MAC-5770) IME-USP Depto CC Profa. Yoshiko. Capítulo 3 Introdução à Teoria dos Grafos (MAC-5770) IME-USP Depto CC Profa. Yoshiko Capítulo 3 Árvores Problema: Suponha que numa cidade haja n postos telefônicos. Para que seja sempre possível haver comunicação

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Introdução Automorfismo Um automorfismo de um grafo G é um isomorfismo de G para si próprio. Os automorfismos de G são as permutações de V(G) que podem ser aplicadas a ambas as linhas e colunas

Leia mais

CI065 CI755 Algoritmos e Teoria dos Grafos

CI065 CI755 Algoritmos e Teoria dos Grafos CI065 CI755 Algoritmos e Teoria dos Grafos Exercícios 11 de outubro de 2017 1 Fundamentos 1. Seja S = {S 1,..., S n } uma família de conjuntos. O grafo intercessão de S é o grafo G S cujo conjunto de vértices

Leia mais

Grafos AULA META. Introduzir noções elementares da teoria dos grafos. OBJETIVOS. Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:

Grafos AULA META. Introduzir noções elementares da teoria dos grafos. OBJETIVOS. Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Grafos META Introduzir noções elementares da teoria dos grafos. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Representar grafos por meio de matrizes e diagramas; Caracterizar uma árvore; Identificar

Leia mais

Tópicos de Matemática Finita Data: I II-1 II-2 II-3 II-4 III-1 III-2 III-3 III-4 IV-1 IV-2 IV-3 IV-4 Nota Final

Tópicos de Matemática Finita Data: I II-1 II-2 II-3 II-4 III-1 III-2 III-3 III-4 IV-1 IV-2 IV-3 IV-4 Nota Final Tópicos de Matemática Finita Data: 20-06-2003 1 a Época Correcção Código: 1B Nome: Número: Curso: O exame que vai realizar tem a duração de três horas. As respostas às perguntas do grupo I não necessitam

Leia mais

Teoria dos Grafos Aula 6

Teoria dos Grafos Aula 6 Teoria dos Grafos Aula 6 Aula passada Busca em grafos Busca em largura (BFS Breadth First Search) Propriedades Aula de hoje BFS implementação Complexidade Busca em profundidade (DFS) Conectividade, componentes

Leia mais

Ciência da Computação Engenharia de Computação Mestrado em Informática. Teoria dos Grafos. Maria Claudia Silva Boeres.

Ciência da Computação Engenharia de Computação Mestrado em Informática. Teoria dos Grafos. Maria Claudia Silva Boeres. Ciência da Computação Engenharia de Computação Mestrado em Informática Maria Claudia Silva Boeres boeres@inf.ufes.br Programa 1.Conceitos Básicos 2.Grafos Eulerianos e Hamiltonianos 3.Caminhos, Ciclos

Leia mais

APLICAÇÕES DA TEORIA DOS GRAFOS

APLICAÇÕES DA TEORIA DOS GRAFOS Universidade de Aveiro Departamento de Matemática 2013 Sandra Maria Pereira dos Santos APLICAÇÕES DA TEORIA DOS GRAFOS Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários

Leia mais

PERCURSOS. André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré

PERCURSOS. André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré PERCURSOS André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré Serra 2011 Índice 1...O que é caminho e circuito 1.1...Caminho 1.2...Circuito 1.3...Classificação 2...Caminhos Eulerianos 2.1...Definição

Leia mais

Teoria dos Grafos Introdu c ao

Teoria dos Grafos Introdu c ao Teoria dos Grafos Introdução Referências P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos, São Paulo, E. Blucher 001; R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New York, Dover Publications,

Leia mais

ANÁLISE COMBINATÓRIA

ANÁLISE COMBINATÓRIA Nome Nota ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) De quantas maneiras diferentes 11 homens e 8 mulheres podem se sentar em uma fila se os homens sentam juntos e as mulheres também? 2!*11!*8! 2) O controle de qualidade

Leia mais

Noções da Teoria dos Grafos. André Arbex Hallack

Noções da Teoria dos Grafos. André Arbex Hallack Noções da Teoria dos Grafos André Arbex Hallack Junho/2015 Índice 1 Introdução e definições básicas. Passeios eulerianos 1 1.1 Introdução histórica..................................... 1 1.2 Passeios

Leia mais

A resposta para este problema envolve a partição do conjunto de arestas de tal forma que arestas adjacentes não pertençam a um mesmo conjunto.

A resposta para este problema envolve a partição do conjunto de arestas de tal forma que arestas adjacentes não pertençam a um mesmo conjunto. 7 - Coloração de Arestas e Emparelhamentos Considere o seguinte problema: Problema - Ao final do ano acadêmico, cada estudante deve fazer um exame oral com seus professores. Suponha que existam 4 estudantes

Leia mais

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada. Teoria dos Grafos Valeriano A de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilceunespbr, socorro@ibilceunespbr Grafos Hamiltonianos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Introdução Um passeio entre os nós i e j é uma seqüência alternada de nós e arestas que começa no nó i e termina no nó j. G 1 G 2 Um exemplo de passeio entre os nós 1 e 4 do grafo G 1 é (1,(1,3),3,(2,3),2,(1,2),1,(1,4),4).

Leia mais

2 Relação entre soma dos graus e número de arestas

2 Relação entre soma dos graus e número de arestas Rio de Janeiro, 24 de Outubro de 2011. LISTA DE ESTRUTURAS DISCRETAS PROFESSOR: EDUARDO LABER OBSERVAÇÕES: Exercícios marcados com são mais complicados. 1 Isomorfismo 1. Seja G =(V,E) um grafo simples.

Leia mais

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada. Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro. Teoria do Grafos,

Leia mais

BCC204 - Teoria dos Grafos

BCC204 - Teoria dos Grafos BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal

Leia mais

A resposta para este problema envolve a partição do conjunto de arestas de tal forma que arestas adjacentes não pertençam a um mesmo conjunto.

A resposta para este problema envolve a partição do conjunto de arestas de tal forma que arestas adjacentes não pertençam a um mesmo conjunto. 6 - oloração de restas e Emparelhamentos onsidere o seguinte problema: Problema - o final do ano acadêmico, cada estudante deve fazer um exame oral com seus professores. Suponha que existam 4 estudantes

Leia mais

O grau de saída d + (v) de um vértice v é o número de arcos que tem

O grau de saída d + (v) de um vértice v é o número de arcos que tem Grafos Direcionados Definição (Grau de Entrada) O grau de entrada d (v) de um vértice v é o número de arcos que tem v como cabeça. Definição (Grau de Saída) O grau de saída d + (v) de um vértice v é o

Leia mais

Pesquisa Operacional II. Professor João Soares de Mello

Pesquisa Operacional II. Professor João Soares de Mello Pesquisa Operacional II Professor João Soares de Mello http://www.uff.br/decisao/notas.htm Ementa Teoria dos grafos (pré-requisitos: PO I, Álgebra Linear) Programação não linear (pré-requisitos: PO I,

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Introdução Grafo Estrela Um grafo estrela é um grafo bipartido de n vértices que possui um conjunto independente com um único vértice e o outro com n-1 vértices Quantos grafos estrelas podemos

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS

PESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS PESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS Um grafo G(V,A) pode ser conceituado como um par de conjuntos V e A, onde: V - conjunto não vazio cujos elementos são de denominados vértices ou nodos do grafo; A

Leia mais

Teoria dos Grafos. Teoria dos Grafos. Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG. agosto

Teoria dos Grafos. Teoria dos Grafos. Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG. agosto Teoria dos Grafos Introdução Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto - 2017 O que é Grafo? Definição formal Um grafo G = (V (G), E(G)) é uma estrutura matemática que consiste de dois conjuntos:

Leia mais

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.

Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada. Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos Eulerianos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro.

Leia mais

Programa. 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações. 1 Conjuntos. 4 Indução Matemática e Divisibilidade. 5 Congruências Lineares

Programa. 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações. 1 Conjuntos. 4 Indução Matemática e Divisibilidade. 5 Congruências Lineares Programa Matemática Discreta 2008/09 Jorge Manuel L. André FCT/UNL 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações 1 Conjuntos 2 Relações Binárias 3 Aplicações 4 Indução Matemática e Divisibilidade 5 Congruências Lineares

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Referências P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos, São Paulo, E. Blucher 2001; R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New York, Dover Publications, 1993; Kaufmann,

Leia mais

GRAFOS ORIENTADOS. PSfrag replacements. Figura 1: Exemplo de um grafo orientado.

GRAFOS ORIENTADOS. PSfrag replacements. Figura 1: Exemplo de um grafo orientado. Introdução à Teoria dos Grafos Bacharelado em Ciência da Computação UFMS, 2005 GRAFOS ORIENTAOS Resumo Existem ocasiões onde grafos não são apropriados para descrever certas situações. Por exemplo, um

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Complemento de Grafos Mostre que para qualquer Grafo G com 6 pontos, G ou possui um triângulo Considere um vértice v de V(G). Sem perda de generalidade, podemos assumir v é adjacente a outros

Leia mais

1.2 Grau de um vértice

1.2 Grau de um vértice 1.2 Grau de um vértice Seja G um grafo. Para um vértice v de V G, sua vizinhança N G (v) (ou N(v)) é definida por N(v) = {u V G vu E G }.. p.1/19 1.2 Grau de um vértice Seja G um grafo. Para um vértice

Leia mais

Redes Complexas. Renato Vicente. Complex Systems EACH USP

Redes Complexas. Renato Vicente. Complex Systems EACH USP Redes Complexas Renato Vicente Complex Systems EACH USP Grafos Grafos são definidos por seus vértices e arestas G=(V,E). Para o grafo G acima: V={u,v,w,x,y} e E={a,b,c,d,e,f,g,h}. As arestas conectam dois

Leia mais

Teoria dos Grafos. Motivação

Teoria dos Grafos. Motivação Teoria dos Grafos Aula 1 Primeiras Ideias Prof a. Alessandra Martins Coelho março/2013 Motivação Muitas aplicações em computação necessitam considerar conjunto de conexões entre pares de objetos: Existe

Leia mais

Teoria da Computação. Clique de um Grafo. Alexandre Renato Rodrigues de Souza 1

Teoria da Computação. Clique de um Grafo. Alexandre Renato Rodrigues de Souza 1 Teoria da Computação Clique de um Grafo Alexandre Renato Rodrigues de Souza 1 O que é um grafo? Definição 1: grafo é uma estruturas utilizada para representar relações entre elementos de um dado conjunto.

Leia mais

Produtos de Grafos Z m -bem-cobertos

Produtos de Grafos Z m -bem-cobertos TEMA Tend. Mat. Apl. Comput., 13, No. 1 (2012), 75-83. doi: 10.5540/tema.2012.013.01.0075 c Uma Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional. Produtos de Grafos Z m -bem-cobertos

Leia mais

Teoria dos Grafos. Cobertura, Coloração de Arestas, Emparelhamento

Teoria dos Grafos. Cobertura, Coloração de Arestas, Emparelhamento Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br, saraujo@ibilce.unesp.br Cobertura, Coloração

Leia mais

PCC173 - Otimização em Redes

PCC173 - Otimização em Redes PCC173 - Otimização em Redes Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 27 de abril de 2016 Marco Antonio M. Carvalho

Leia mais

Teoria dos Grafos. Componentes, Conj. Indep., Cliques

Teoria dos Grafos. Componentes, Conj. Indep., Cliques Teoria dos Grafos Componentes, Conj. Indep., Cliques Grafo Conexo/Desconexo Um grafo é conexo se existe um caminho entre qualquer par de nós, caso contrário ele é chamado desconexo. Basta que não exista

Leia mais

Teoria dos grafos. Caminho euleriano e Hamiltoniano. Prof. Jesuliana N. Ulysses

Teoria dos grafos. Caminho euleriano e Hamiltoniano. Prof. Jesuliana N. Ulysses 1 7 Teoria dos grafos Caminho euleriano e Hamiltoniano Grafo Euleriano Grafo onde é possível achar um caminho fechado (ciclo), passando em cada aresta uma única vez Quais são os grafos de Euler? Teorema:

Leia mais

Teoria dos Grafos. Aulas 3 e 4. Profa. Alessandra Martins Coelho

Teoria dos Grafos. Aulas 3 e 4. Profa. Alessandra Martins Coelho Teoria dos Grafos Aulas 3 e 4 Profa. Alessandra Martins Coelho fev/2014 Passeio ou percurso Um passeio ou percurso é uma sequência finita de vértices e arestas Exemplo Em (1) o passeio inicia pelo vértice

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Árvores Sabemos que com um ou dois vértices apenas uma árvore pode ser formada. Entretanto com três vértices podemos formar três árvores. Com quatro vértices temos quatro estrelas e doze

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO PLANO DE ENSINO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n Dois Irmãos 52171-900 Recife-PE Fone: 0xx-81-332060-40 proreitor@preg.ufrpe.br

Leia mais

Grafos: caminhos (matriz adjacência)

Grafos: caminhos (matriz adjacência) Grafos: caminhos (matriz adjacência) Algoritmos e Estruturas de Dados 2 Graça Nunes 1 O problema do menor caminho Um motorista deseja encontrar o caminho mais curto possível entre duas cidades do Brasil

Leia mais

GRAFOS E SAGE. CEP: , Santa Maria, RS, Brasil Alice de Jesus Kozakevicius - CEP: , Santa Maria, RS, Brasil

GRAFOS E SAGE. CEP: , Santa Maria, RS, Brasil Alice de Jesus Kozakevicius - CEP: , Santa Maria, RS, Brasil GRAFOS E SAGE Monique Rubenich Nascimento - monique.rn@gmail.com Universidade Federal de Santa Maria, Campus Sede, Av. Roraima n o 1000, Bairro Camobi, CEP: 97105-900, Santa Maria, RS, Brasil Vinicius

Leia mais

Cortes (cut sets) 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) CC/EC/UFES

Cortes (cut sets) 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) CC/EC/UFES Cortes (cut sets) (INF 5037/INF2781) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse

Leia mais

Roteamentos AULA ... META. Introduzir alguns problemas de roteamento. OBJETIVOS. Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de:

Roteamentos AULA ... META. Introduzir alguns problemas de roteamento. OBJETIVOS. Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Roteamentos AULA META Introduzir alguns problemas de roteamento. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Distinguir circuito euleriano e ciclo hamiltoniano; Obter um circuito euleriano

Leia mais

04 Grafos: caminhos e coloração SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II

04 Grafos: caminhos e coloração SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II 04 Grafos: caminhos e coloração SCC0503 Algoritmos e Estruturas de Dados II Prof. Moacir Ponti Jr. www.icmc.usp.br/~moacir Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação USP 2011/1 Moacir Ponti Jr.

Leia mais

Tópicos de Matemática Finita Data: I II-1 II-2 II-3 II-4 III-1 III-2 III-3 III-4 IV-1 IV-2 IV-3 Nota Final

Tópicos de Matemática Finita Data: I II-1 II-2 II-3 II-4 III-1 III-2 III-3 III-4 IV-1 IV-2 IV-3 Nota Final Tópicos de Matemática Finita Data: 15-07-2002 2 a Época Correcção Código: 3C Nome: Número: Curso: O exame que vai realizar tem a duração de três horas. As respostas às perguntas do grupo I não necessitam

Leia mais

14 Coloração de vértices Considere cada um dos grafos abaixo:

14 Coloração de vértices Considere cada um dos grafos abaixo: 14 Coloração de vértices Considere cada um dos grafos abaixo: a) Quantas cores são necessárias para colorir os vértices de um grafo de maneira que dois vértices adjacentes não recebam a mesma cor? b) Qual

Leia mais

TGR BCC Representação Computacional de Grafos. Prof. Ricardo José Pfitscher

TGR BCC Representação Computacional de Grafos. Prof. Ricardo José Pfitscher TGR BCC Representação Computacional de Grafos Prof. Ricardo José Pfitscher Cronograma Representação Matriz de djacências Lista de djacências Matriz de Incidências Representação Como podemos representar

Leia mais

Árvores UFES. Teoria dos Grafos. CC/EC/Mestrado

Árvores UFES. Teoria dos Grafos. CC/EC/Mestrado Árvores Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico Árvores Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo

Leia mais

Matemática discreta e Lógica Matemática

Matemática discreta e Lógica Matemática AULA - Prof. Dr. Hércules A. Oliveira UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática Definição 1 Um Grafo G = (V, E) consiste em V, um conjunto não

Leia mais

Universidade dos Açores Departamento de Matemática

Universidade dos Açores Departamento de Matemática Universidade dos Açores Departamento de Matemática Grafos, Problemas de Optimização Combinatória e Algoritmos Elaboração: Abel Carneiro Orientação: Armando Mendes Ponta Delgada Junho de 001 When I was

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 3 - Teoria dos Grafos Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção

Leia mais

Definição 1.1 : Uma árvore é um grafo simples conexo e sem ciclos.

Definição 1.1 : Uma árvore é um grafo simples conexo e sem ciclos. 1 Árvores Definição 1.1 : Uma árvore é um grafo simples conexo e sem ciclos. Um grafo simples sem ciclos mas não conexo (em que cada componente conexa é portanto uma árvore) chama-se uma floresta. Numa

Leia mais

Definição 1.1 : Uma árvore é um grafo simples conexo e sem ciclos.

Definição 1.1 : Uma árvore é um grafo simples conexo e sem ciclos. 1 Árvores Definição 1.1 : Uma árvore é um grafo simples conexo e sem ciclos. Um grafo simples sem ciclos mas não conexo (em que cada componente conexa é portanto uma árvore) chama-se uma floresta. Numa

Leia mais

CAL ( ) MIEIC/FEUP Grafos: Introdução (Março, 2011)

CAL ( ) MIEIC/FEUP Grafos: Introdução (Março, 2011) 1 Algoritmos em Grafos: Introdução R. Rossetti, A.P. Rocha, A. Pereira, P.B. Silva, T. Fernandes CAL, MIEIC, FEUP Março de 2011 Índice 2 Revisão de conceitos e definições Exemplificar aplicações Representação

Leia mais

Grafos e digrafos com o sagemath

Grafos e digrafos com o sagemath Grafos e digrafos com o sagemath Pedro Patrício Acção de Formação de Grafos, Maio/Junho de 2008 Conteúdo 1 Introdução 1 2 Conceitos iniciais 2 3 Representação com matrizes 3 4 Conexidade 10 5 Grafos orientáveis

Leia mais

Otimização em Grafos

Otimização em Grafos Otimização em Grafos Luidi G. Simonetti PESC/COPPE 2017 Luidi Simonetti (PESC) EEL857 2017 1 / 35 Teoria dos Grafos - Relembrando Árvore Um grafo G é uma árvore se é conexo e não possui ciclos (acíclico).

Leia mais

GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira

GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira Ciência da Computação GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira Um grafo é dito conexo se for possível visitar qualquer vértice, partindo de um outro qualquer, passando pelas suas arestas.

Leia mais

Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Teoria dos Grafos. Edson Prestes Edson Prestes Grafos Cliques Maximais Para determinar os cliques maximais de um grafo G podemos usar o método de Maghout em Dado o grafo abaixo, calcule Determine os conjuntos independentes maximais em

Leia mais

Teoria dos Grafos AULA 2

Teoria dos Grafos AULA 2 Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br AULA 2 Subgrafos, Operações com Grafos Preparado a partir

Leia mais