Redes de Computadores. Camada de Aplicação Teoria de Redes Complexas: Conceitos Básicos em Grafos

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1 Redes de Computadores Camada de Aplicação Teoria de Redes Complexas: Conceitos Básicos em Grafos

2 Introdução Como as coisas estão conectadas? Redes! A network is a set of vertices or nodes provided with some rule to connect them by edges Diferentes áreas, diferentes nomes Vértice, nó, ator,... Arco, enlace, ligação,...

3 Redes Complexas? Rede complexa é uma rede (grafo) com características topológicas não-triviais, com padrões de conectividade (espacial e temporal) entre seus elementos que não são nem puramente regulares nem puramente aleatórios Redes representativas? biológicas físicas sociais tecnológicas...

4 Co-autores Redes Sociais

5 Pessoas Conhecidas Redes Sociais

6 Redes Sociais Experimento small-world (Milgram, 1969) Análise do número de saltos em uma rede de pessoas conhecidas Idéia: pessoas deveriam selecionar um conhecido que poderia encaminhar uma carta ao destino final Muitas cartas se perderam 25% chegaram ao destino, após passar, em média por 6 pessoas - Six Degree of Separation

7 Redes Complexas e Redes de Computadores Aplicação redes sociais online, P2P, distribuição de informação Interconectividade topologia, mobilidade

8 Internet Topologia intra- e inter-domínio

9 Web

10 Redes de s padrão de conectividade: pode caracterizar comportamento anômalo (p.ex. spammer)?

11 P2P Redes para compartilhamento de arquivos streaming de áudio / vídeo

12 Redes Sociais on line Como usuários estão conectados? informação flui? detectar comunidades de interesse? detectar comportamentos específicos?

13 (Amostragem Redes Complexas) Um dos grandes desafios da área Como caracterizar um sistema, com alguns dados sem ser biased?

14 O que veremos... principais métricas relevantes para análise de redes complexas principais modelos para caracterização de redes complexas objetivo: compreensão da estrutura e impacto na funcionalidade

15 Grafos: conceitos básicos e métricas Definição de termos básicos em um grafo qualquer, nos quais as propriedades de redes complexas são baseadas

16 Definição de Rede Uma rede é um conjunto de vértices ou nós, com conexões entre eles, chamadas arestas Uma rede é representada matematicamente através de um grafo

17 Grafos Um grafo é definido pelo par G = (V,E) V = conjunto de objetos chamaremos de nós ou vértices E = conjunto de pares não ordenados chamaremos de arestas Exemplo G = (V,E) V = {1,2,3,4} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4)}

18 Grafos Arestas direcionada: definida em uma única direção Arestas direcionadas, chamadas em alguns casos de arcos, são representadas por setas que definem a sua orientação não direcionada: definida em ambas direções Um grafo é direcionado (ou digrafo) se todas as arestas são direcionadas =

19 Grau Grau de um nó v: kv Número total de arestas conectadas a um nó Nos casos onde existe somente uma aresta entre cada par de nós, o grau é o número total de vizinhos Exemplo G = (V,E) V = {1,2,3,4} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4)} k2 = 2; k4 = 1

20 Distribuição do grau Distribuição do grau dos nós frequência relativa do grau Fração de nós com grau k A distribuição do grau dos nós é uma das principais propriedades que caracteriza o modelo usado para representar redes complexas Ex: Binomial/Poisson (grafos aleatórios), power-law (scale-free)

21 Distribuição do grau Grafo Aleatório Scale-free Fonte: Linked: The New Science of Networks, A. Barabási, 2002

22 Grafo Completo Para cada par de nós, existe uma aresta conectando estes nós Notação para grafo completo Kn onde n é o número de nós do grafo

23 Caminho Caminho simples entre dois nós sequência de nós conectados por arestas, sem repetição de nós Ex. caminho entre 1 e 7 1,2,3,7 (1,2),(2,3),(3,7) Comprimento de um caminho número de arestas entre origem e destino

24 Caminho Mínimo Também referenciado como distância Comprimento do menor caminho entre dois nós d(3,6) = 3 d(1,7) = 2

25 Diâmetro da Rede Maior caminho mínimo / Média dos caminhos mínimos entre todos os pares de nós menor diâmetro, maior interconectividade Exemplo: Diâmetro da WWW 19 cliques em média separam quaisquer páginas web (considerando 8x10 8 sítios) [Albert, Jeong & Barabási, Nature, vol. 401, 1999]

26 Clique Em um grafo, clique é um subgrafo que também é um grafo completo Ou seja, para cada vértice do subgrafo, existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais vértices do subgrafo Ex: O grafo ao lado possui um único clique formado pelos nós 1, 2 e 5

27 Componente gigante Componente gigante é um subgrafo conectado que contém a maioria dos nós da rede

28 Clusterização ou transitividade Propriedade comum em redes sociais, que representa ciclos de amigos comuns ( meus amigos também são amigos ), onde todo membro conhece todos os outros membros. Medida a respeito de triângulos na rede Exemplo: Nó 2 Vizinhos: 1,4,6 Quantos estão ligados entre si?

29 Cálculo da Clusterização Duas métricas principais de clusterização na literatura (1) métrica local (Watts and Strogatz, 1998) (2) métrica global (Newman,2003)

30 Clusterização métrica (I) Fração de arestas entre vizinhos Definida localmente para cada nó da rede # arestas entre vizinhos do nó i grau do nó i Denominador considera a formação de um clique centrado no nó sendo considerado para o cálculo

31 Clusterização métrica (I) Exemplo: Nó 2 Vizinhos: 1,4,6

32 Clusterização métrica (I) Clusterização do grafo Média da clusterização local dos nós

33 Clusterização métrica (II) Fração entre número de triângulos no grafo (cliques de tamanho 3) e o número de triplas conectadas (um nó com arestas para um par não ordenado) Métrica global Probabilidade que dois vertices que sao vizinhos de um terceiro vertice sejam vizinhos entre si

34 Clusterização métrica (II)

35 Network Resilience Robustez da rede em eventos de remocao de nós Exemplos: conectividade, epidemiologia

36 Network Resilience Como a remocao de vertices pode afetar a topologia da Internet, considerando Sistemas Autonomos? Attack and error tolerance of complex networks Albert et al (2000)

37 Network Resilience

38 Mixing patterns Tendência de um determinado tipo de nó se conectar (ou não) com um outro tipo de nó Nós podem ter preferência a se conectar com nós similares ou diferentes dele Presente em redes sociais Conceito global da rede

39 Mixing patterns Por exemplo, no caso da Internet, Maslov et al ( Correlation profile of the Internet ) identificaram que a estrutura da rede reflete a existencia de tres categorias de nos: Provedores com grande conectividade (backbone) Consumidores que sao os usuarios finais E ISPs que ligam os dois anteriores

40 Mixing patterns Segundo os autores: Existem muitos links que ligam usuarios finais aos ISPs Existem muitos links entre ISPs e operadoras de backbones Poucos links entre ISPs ou entre operadores de backbones e usuarios finais

41 Mixing patterns Dois tipos: Assortative mixing: tendência de conexão entre nós que possuem característica similar (idade, raça, etnia, interesses,...) Disassortative mixing: tendência de conexão entre nós diferentes entre si

42 Comunidades Grupos de vértices que possuem alta densidade de arestas entre si, com menor número de arestas para os demais grupos Nem todas as redes possuem estruturas em comunidades. Muitos modelos, por exemplo, grafos aleatórios e o modelo Barabási Albert não possuem estruturas de comunidade.

43 Comunidades Comunidades são comuns em redes reais Redes Sociais Localização comum Interesses Ocupação Redes de citação Áreas de pesquisa Identificar as sub-estruturas dentro da rede pode prover insights em como a rede funciona e como a topologia de cada uma delas influencia na outra.

44 Identificando Comunidades Minimum-cut method Hierarchical clustering Girvan Newman algorithm Modularity maximization

45 Comunidades

46 Betweeness centrality Considere todos os caminhos mínimos do grafo Betweeness centrality para nó i: número de caminhos mínimos que passam pelo nó i (métrica local) Pode ser vista como medida de resiliência da rede ou seja, esta propriedade revela quantos caminhos serão mais longos, caso o nó i seja removido da rede. Exemplo: Roteadores na Internet propriedade importante para entender por exemplo impacto de re-roteamento em caso de falha / remoção

47 Betweeness centrality Cores indicam betweeness centrality i.e. quão central é cada nó? Vermelho = 0 Azul = máximo

48 Closeness centrality Métrica local: valor médio de todos os caminhos mínimos a partir de um nó i Mede quanto tempo é necessário para uma informação ser difundida a partir do nó i até todos os outros nós da rede. Valor representa o quão distante um nó está de todos os demais

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