Grafos: conceitos básicos e métricas

Transcrição

1 Grafos: conceitos básicos e métricas

2 Principais Propriedades em Redes Complexas Definição de termos básicos em um grafo qualquer, nos quais as propriedades estruturais de redes complexas são baseadas

3 Rede Abstração que permite codificar um relacionamento entre pares de objetos Como falar sobre Redes? Desenho da rede: figura vale por mil palavras Não funciona para redes grandes...

4 Então... Descrever sua estrutura! Matrizes de adjacência? Possui toda a informação, mas não é muito útil, pouco intuitivo

5 Resumos da Estrutura Características estruturais Dão idéia geral da topologia da rede Tamanho, densidades, graus, distâncias, clusterização, centralidade, etc.

6 Definição de Rede Abstração que permite codificar um relacionamento entre pares de objetos Uma rede é um conjunto de vértices ou nós, com conexões entre eles, chamadas arestas Uma rede é representada matematicamente através de um grafo

7 Grafos Um grafo é definido pelo par G = (V,E) V = conjunto de objetos chamaremos de nós ou vértices E = conjunto de pares não ordenados chamaremos de arestas Exemplo G = (V,E) V = {1,2,3,4} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4)}

8 Grafos Arestas direcionada: definida em uma única direção: Relacionamentos assimétricos Arestas direcionadas, chamadas em alguns casos de arcos, são representadas por setas que definem a sua orientação não direcionada: definida em ambas direções: Relacionamentos simétricos =

9 Grau Grau de um nó v: kv Número total de arestas conectadas a um nó Nos casos onde existe somente uma aresta entre cada par de nós, o grau é o número total de vizinhos Exemplo G = (V,E) V = {1,2,3,4} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4)} k2 = 2; k4 = 1

10 Distribuição do grau Distribuição do grau dos nós Empiricamente: frequência relativa do grau Fração de nós com grau k A distribuição do grau dos nós é uma das principais propriedades que caracteriza o modelo usado para representar redes complexas Ex: Binomial/Poisson (grafos aleatórios), power-law (scale-free)

11 Distribuição do grau

12 Caminho Caminho simples entre dois nós sequência de nós conectados por arestas, sem repetição de nós Ex. caminho entre 1 e 7 1,2,3,7 (1,2),(2,3),(3,7) Comprimento de um caminho número de arestas entre origem e destino

13 Caminho mínimo Também referenciado como distância Comprimento do menor caminho entre dois nós d(3,6) = 3d(1,7) = 2

14 Diâmetro da rede Maior caminho mínimo / Média dos caminhos mínimos entre todos os pares de nós menor diâmetro, maior interconectividade Exemplo: Diâmetro da WWW 19 cliques em média separam quaisquer páginas web (considerando 8x10 8 sítios) [Albert, Jeong & Barabási, Nature, vol. 401, 1999]

15 Componente gigante Componente gigante é um subgrafo conectado que contém a maioria do nós da rede

16 Clusterização ou transitividade Propriedade comum em redes sociais, que representa ciclos de amigos comuns ( meus amigos também são amigos ), onde todo membro conhece todos os outros membros. Medida a respeito de triângulos na rede Exemplo: Nó 2 Vizinhos: 1,4,6 Quantos estão ligados entre si?

17 Cálculo da Clusterização Duas métricas principais de clusterização na literatura (1) métrica local (Watts and Strogatz, 1998) (2) métrica global (Newman,2003)

18 Clusterização métrica (I) Fração de arestas entre vizinhos Definida localmente para cada nó da rede # arestas entre vizinhos do nó i grau do nó i Denominador considera a formação de um clique centrado no nó sendo considerado para o cálculo

19 Clusterização métrica (I) Nó 1 Vizinhos: 2,3,4 Nó 2 Vizinhos: 1,4,6

20 Clusterização métrica (I) Clusterização do grafo métrica (I) Média da clusterização local dos nós

21 Clusterização métrica (II) Fração entre número de triângulos no grafo (cliques de tamanho 3) e o número de triplas conectadas (um nó com arestas para um par não ordenado) Métrica global

22 Clusterização métrica (II)

23 Mixing patterns Tendência de um determinado tipo de nó se conectar (ou não) com um outro tipo de nó Nós podem ter preferência a se conectar com nós similares ou diferentes dele Presente em redes sociais Conceito global da rede 23

24 Mixing patterns Dois tipos: Assortative mixing: tendência de conexão entre nós que possuem característica similar (idade, raça, etnia, interesses,...) Disassortative mixing: tendência de conexão entre nós diferentes entre si 24

25 Mixing patterns \\\\\\ 25

26 Betweeness centrality Considere todos os caminhos mínimos do grafo Betweeness centrality para nó i: número de caminhos mínimos que passam pelo nó i (métrica local) Pode ser vista como medida de resiliência da rede ou seja, esta propriedade revela quantos caminhos serão mais longos, caso o nó i seja removido da rede. Exemplo: Roteadores na Internet propriedade importante para entender por exemplo impacto de re-roteamento em caso de falha / remoção 26

27 Betweeness centrality Cores indicam betweeness centrality i.e. quão central é cada nó? Vermelho = 0 Azul = máximo 27

28 Closeness centrality Métrica local: Valor representa o quão distante um nó está de todos os demais Mede quanto tempo é necessário para uma informação ser difundida a partir do nó i até todos os outros nós da rede. 28