Conceitos Básicos Isomorfismo de Grafos Subgrafos Passeios em Grafos Conexidade

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1 Conteúdo 1 Teoria de Grafos Conceitos Básicos Isomorfismo de Grafos Subgrafos Passeios em Grafos Conexidade > Teoria de Grafos 0/22

2 Conceitos Básicos Inicialmente, estudaremos os grafos não direcionados. Um grafo é uma tripla ordenada (V (G), E(G), ψ G ), onde V (G) é um conjunto não vazio de vértices E(G) é um conjunto de arestas (possivelmente vazio) ψ G é uma função que associa cada aresta de G a um par não ordenado de vértices de G > Teoria de Grafos 1/22

3 Conceitos Básicos Exemplo Represente graficamente o grafo (V (G), E(G), ψ G ), onde V (G) = {a, b, c, d}, E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 } e ψ G (e 1 ) = ab, ψ G (e 2 ) = ab, ψ G (e 3 ) = bb, ψ G (e 4 ) = bc, ψ G (e 5 ) = ac, ψ G (e 6 ) = cd, > Teoria de Grafos 2/22

4 Conceitos Básicos Definição (extremidades) Se e é uma aresta de G e ψ G (e) = uv, então u e v são extremidades de e. Definição (vértices adjacentes) Se dois vértices são extremidades de uma mesma aresta, eles são ditos adjacentes. > Teoria de Grafos 3/22

5 Conceitos Básicos Definição (laço) aresta cujas duas extremidades são idênticas Definição (arestas paralelas) duas arestas distintas com extremidades idênticas. Definição (grafo simples) Um grafo é dito simples se não contém arestas paralelas nem laços. > Teoria de Grafos 4/22

6 Conceitos Básicos Definição (Grau de um vértice) O grau de um vértice v é o número de vezes que v é extremidade de uma aresta. Usualmente, utilizamos d(v) para denotar o grau de um vértice v. > Teoria de Grafos 5/22

7 Conceitos Básicos Teorema Seja G um grafo. Então, v V (G) d(v) = 2 E(G) > Teoria de Grafos 6/22

8 Conceitos Básicos Teorema Seja G um grafo. Então, v V (G) d(v) = 2 E(G) Corolário Em todo grafo, o número de vértices com grau ímpar é par. > Teoria de Grafos 7/22

9 Isomorfismo de Grafos Definição (Grafos Idênticos) Dois grafos G e H são idênticos se e somente se V (G) = V (H ), E(G) = E(H ) e ψ G = ψ H > Teoria de Grafos 8/22

10 Isomorfismo de Grafos Definição (Grafos Isomorfos) Dois grafos G e H são isomorfos se e somente se existem bijeções θ : V (G) V (H ) e φ : E(G) E(H ) tal que ψ G (e) = uv ψ H (φ(e)) = θ(u)θ(v). O par (θ, φ) é chamado de isomorfismo ente G e H > Teoria de Grafos 9/22

11 Isomorfismo de Grafos Como conseqüência da definição de grafos isomorfos, podemos afirmar que dois grafos simples são isomorfos caso exista uma bijeção θ : V (G) V (H ) tal que u e v são adjacentes em G se e somente se θ(u) e θ(v) são adjacentes em H. > Teoria de Grafos 10/22

12 Isomorfismo de Grafos Exemplo Encontre um isomorfismo entre os seguintes grafos: 1 2 > Teoria de Grafos 11/22

13 Isomorfismo de Grafos Exemplo Encontre um isomorfismo entre os seguintes grafos: 1 a 5 2 e b 4 3 d c > Teoria de Grafos 12/22

14 Isomorfismo de Grafos Exemplo Mostre que os grafos a seguir não são isomorfos a b c d e f > Teoria de Grafos 13/22

15 Subgrafos Definição (Subgrafo) Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V (H ) V (G), E(H ) E(G) e ψ H é a restrição de ψ G a E(H ) (aplica-se ψ G somente as arestas de H ) > Teoria de Grafos 14/22

16 Subgrafos Definição (Subgrafo Gerador) H é dito um subgrafo gerador de G se e somente se H G e V (H ) = V (G) > Teoria de Grafos 15/22

17 Subgrafos Definição (Subgrafo Induzido) Seja um grafo G e seja V V (G). O subgrafo de G com conjunto de vértices V e conjunto de arestas E, onde E = {uv u, v V e uv E(G)} é denominado de subgrafo de G induzido por V (G[V ]). Exemplo Seja G = (V, E), onde V = {a, b, c, d, e, f } e E = {ac, ae, bd, ce, cf }. Sendo V = {a, c, e, d}, temos que as aresta de G[V ] são {ac, ae, ce}. > Teoria de Grafos 16/22

18 Passeios em Grafos Definição (Passeio) Um passeio (walk) em um grafo G é uma sequência não nula W = v 0 e 1 v 1 e 2... e k v k, tal que para i = 1,..., k, as extremidades de e i são v i 1 e v i. O inteiro k é o comprimento do passeio W. > Teoria de Grafos 17/22

19 Passeios em Grafos Em um grafo simples, não é necessário indicar as arestas de W, já que um par de vértices identifica de forma única uma aresta. Definição (Trajeto) Um passeio onde todas as arestas são distintas. Definição (Caminho) Um passeio onde todos os vértices são distintos. > Teoria de Grafos 18/22

20 Passeios em Grafos Definição (Passeio Fechado) Um passeio com comprimento k > 0, onde v 0 = v k. Definição (Trajeto Fechado) Passeio fechado que é um trajeto Definição (Ciclo) Trajeto fechado em que os únicos vértices idênticos são o primeiro e o último. > Teoria de Grafos 19/22

21 Conexidade Definição (Vértices Conexos) Dois vértices u e v são conexos em G se e somente se existe um caminho entre u e v em G. Definição (Conjuntos Conexos) Um conjunto S V é dito conexo se e somente se u, v S, u e v são conexos Definição (Grafo Conexo) Um grafo G é conexo se e somente se V (G) é conexo. > Teoria de Grafos 20/22

22 Conexidade Definição (Componentes Conexas) Seja S um subconjunto dos vértices de um grafo G. Dizemos que S é uma componente conexa de G se e somente se (i) o conjunto S é conexo (ii) S, com S S, S não é conexo. > Teoria de Grafos 21/22

23 Conexidade Definição (Distância) A distância entre dois vértices u e v ( d(u, v) ) em um grafo G é o comprimento do menor caminho entre u e v em G. > Teoria de Grafos 22/22

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