Redes Complexas. Renato Vicente. Complex Systems EACH USP

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1 Redes Complexas Renato Vicente Complex Systems EACH USP

2 Grafos Grafos são definidos por seus vértices e arestas G=(V,E). Para o grafo G acima: V={u,v,w,x,y} e E={a,b,c,d,e,f,g,h}. As arestas conectam dois vértices adjacentes. O número de vértices v(g)=5 é a ordem do grafo. O número de arestas e(g)=8 é o tamanho do grafo.

3 Grafos Se todos os vértices são adjacentes o grafo é completo (a). Se o conjunto de vértices puder ser dividido em duas partes de forma que cada aresta iniciando em uma parte termine na outra parte o grafo é bipartite (b). Se o gráfico é bipartite e cada vértice em uma parte é adjacente a cada vértice na outra parte o grafo é bipartite completo. Uma estrela é um grafo bipartite completo com um elemento apenas em uma de suas partes (c).

4 Grafos Num caminho (a) dois vértices são adjacentes se estão em sequência. Um caminho fechado é um ciclo (b). O comprimento de um caminho é o número de arestas entre os dois vértices extremos ou, no caso do ciclo, o número de arestas até que o vértice se repita.

5 Grafos Um grafo é conexo se para qualquer partição de seus vértices em dois conjuntos existe uma aresta com um final em um conjunto e o outro no outro conjunto (a), caso contrário, o grafo é disconexo (b).

6 Grafos Um grafo pode ser representado por sua matriz de incidência M, listando os pares de vértices e arestas que são conectados. Outra opção é representar o grafo por sua matriz de adjacência A, listando vértices adjacentes.

7 Grafos Dois grafos são isomórficos se a matriz de adjacência puder ser feita idêntica através de um mapeamento de vértices. Por exemplo, no grafo acima:

8 Grafos Um grafo infinito é uma rede. Acima, da esquerda para a direita: rede quadrada, rede triangular e rede hexagonal.

9 Digrafos Um grafo dirigido ou digrafo é especificado pelo par G=(V,A), onde V é o conjunto de vértices e A é o conjunto de pares ordenados denominados arcos. Orientações de um grafo completo como o da figura acima são denominadas torneios.

10 Medidas de Centralidade Qual é a importância de um dado vértice? Centralidade de grau Betweenness Closeness Autovetor

11 Centralidade de grau Percentual de vértices do grafo que estão conectados ao vértice em questão. Se o grafo é dirigido definem-se duas centralidades de grau: de saída e de entrada. No grafo acima o vértice v=11 tem centralidade de grau de entrada in out C (11) 2 e C (11) 3. D D

12 Centralidade de grau A centralidade de grau pode ser medida para um grafo inteiro definindo Aqui v* representa o vértice com maior centralidade de grau. A centralidade máxima é igual a 1 e é atingida quando o grafo é uma estrela. Um grafo regular tem centralidade 0. O grafo acima tem centralidade igual a 0.5

13 Centralidade de betweenness Um vértice que ocorre em muitos caminhos mais curtos entre outros dois vértices tem maior betweenness. Aqui σ st (v) é o número de caminhos mais curtos começando em s e terminando em t que passam por v. σ st é o número total de caminhos mais curtos entre s e t. Na figura os vértices em azul tem maior centralidade de betweenness seguidos pelos em verde, amarelo, laranja e vermelho.

14 Centralidade de closeness (proximidade) A centralidade de closeness mede a distância geodésica (menor distância) média entre um vértice os outros vértices do grafo. Neste caso quanto maior a centralidade maior a distância média dos outros vértices em relação ao vértice em consideração. Uma alternativa mais consistente é Neste caso quanto menor a distância média maior a centralidade de proximidade.

15 Centralidade de closeness (proximidade) A centralidade de closeness mede a distância geodésica (menor distância) média entre um vértice os outros vértices do grafo.

16 Centralidade de autovalor A centralidade de autovalor (e.g. PageRank do Google) mede a importância de um vértice na rede considerando cada aresta como um voto. Os votos são ponderados pelo número de votos recebidos por cada vértice adjacente. Vértices mais votados tendo peso proporcional a seu número de votos. Se x i representar o score do vértice i teremos:

17 Centralidade de autovalor A centralidade de autovalor do twitter de Obama é maior que a de McCain pois é citado por usuários mais citados. Authors: Shamma, D.A.; Kennedy, L.; Churchill, E.F. Source: ACM Multimedia, ACM, Beijing, China (2009)

18 Assortividade O coeficiente de assortatividade é a correlação entre graus de vértices adjacentes.

19 Assortividade

20 Coeficiente de Clustering O coeficiente de clustering de um vértice é a razão entre as arestas existentes e as arestas possíveis entre vizinhos de um dado vértice. Para digrafos temos: Para grafos não dirigidos: O coeficiente de clustering do grafo é a média dos coeficientes locais

21 Redes de Mundo Pequeno

22 Coeficiente de Clustering

23 Distribuição de graus: Redes Livre de Escala

24 Distribuição de graus

25 Conexão Preferencial

26 Comunidades

27 Comunidades

28

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