MAPEAMENTO DE SÉRIES FINANCEIRAS EM REDES COMPLEXAS

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1 MAPEAMENTO DE SÉRIES FINANCEIRAS EM REDES COMPLEXAS Amanda Leite de Camargo Marcio Eisencraft Universidade Federal do ABC Universidade de São Paulo 27 de outubro de / 31

2 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 2 / 31

3 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 3 / 31

4 Introdução Aplicações no estudo de sistemas complexos como: Comunidades virtuais da atualidade Redes de distribuição de energia, em que geradores e transformadores são vértices e as linhas de transmissão, as arestas Rede econômica, em que os países constituem vértices e as relações comerciais entre eles, arestas 4 / 31

5 Introdução Últimas décadas: utilização de redes complexas na análise de séries temporais. Idéia: mapear uma série temporal em rede complexa e avaliar suas características topológicas extraindo propriedades da série. Digitalização da série em um número de quantis Análise da correlação entre os ciclos do sinal Reconstrução do espaço de fase do sinal 5 / 31

6 Objetivo Objetivo Trata-se de um trabalho inicial que tem por objetivo estudar o mapeamento por quantis na análise de séries temporais provindas do mercado financeiro. A partir das propriedades topológicas dessas redes espera-se tirar conclusões a respeito das séries 6 / 31

7 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 7 / 31

8 Redes Complexas Um grafo G é uma representação matemática que possui três elementos um conjunto V (G) com N vértices, aqui representados por {i, j, k,..., n} um conjunto E(G) que possui M arestas. Uma aresta entre i e j é representada como l ij relações que associam a cada aresta dois vértices Uma rede complexa é representadas por meio de uma matriz de adjacências A, definida de maneira que: a ij = 1 se os vértices i e j estão conectados a ij = 0, caso contrário 8 / 31

9 Métricas Comprimento do Menor Caminho Um caminho entre os vértices i e j de uma rede é uma sequência ordenada de arestas com início em i e fim em j O caminho com o menor número de arestas L ij é o menor caminho Se i e j estão desconectados, L ij = O comprimento médio do menor caminho L é L = N 1 2 N(N 1) N i=1 j=i+1 L ij. 9 / 31

10 Métricas Grau de Conectividade O grau de conectividade K i para um vértice i em uma rede é igual ao número de arestas que partem ou terminam em i. N K i = a ij = j=1 O grau de conectividade médio K é N a ij. i=1 K = 1 N N K i = 2M N. i=1 A distribuição de graus de conectividade P (K) de uma rede é uma função que para cada K retorna a fração de graus K existentes. 10 / 31

11 Métricas Coeficiente de Agrupamento O coeficiente de agrupamento C i para um vértice i é dado pela razão entre: número de arestas existentes entre os vizinhos de i número de arestas possíveis entre os vizinhos de i O coeficiente de agrupamento médio C é C = 1 N N C i. i=1 11 / 31

12 Redes Aleatórias Uma rede aleatória pode ser construída da seguinte forma: 1 Dados N vértices e 0 p 1, existem N(N 1)/2 arestas definidas a partir dos pares desses vértices 2 Para cada par é sorteado um w de uma distribuição uniforme entre zero e um 3 Se w < p, a aresta é adicionada à rede conectando os vértices associados a ela 12 / 31

13 Redes Aleatórias Para uma rede aleatória são válidos: Comprimento médio do menor caminho L log N log K Grau de conectividade médio K = 2 MN = 2pN(N 1) 2N = p(n 1) pn Coeficiente de agrupamento médio C = p 13 / 31

14 Redes Small World Uma rede small world pode ser construída da seguinte forma: 1 Parte-se de uma rede circular com N vértices com m vizinhos à direita e à esquerda e M = m N arestas 2 A aresta que conecta cada vértice ao seu primeiro vizinho mais próximo no sentido horário é reconectada com probabilidade p a outro vértice escolhido aleatoriamente. 3 Repete-se para as arestas que conectam os vértices a seus segundos vizinhos e assim por diante 14 / 31

15 Redes Small World Para uma rede small world são válidos: Comprimento médio do menor caminho L aleat < L sw < L reg Grau de conectividade médio K = V = 2m Coeficiente de agrupamento médio C aleat < C sw < C reg 15 / 31

16 Redes Livres de Escala Uma rede livre de escala pode ser construída da seguinte forma: 1 inicia-se com uma rede constituída por N 0 vértices, ligados por M 0 arestas. Esses vértices devem possuir o mesmo grau de conectividade 2 a cada passo de tempo, um novo vértice é adicionado e conectado a outros V vértices existentes na rede, sendo que cada vértice tem probabilidade p de ser escolhido. A probabilidade p é proporcional ao grau de cada vértice Representação das redes dinâmicas do mundo real devido às características: hubs crescimento ligação preferencial 16 / 31

17 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 17 / 31

18 Mapeamento por Quantis Quantil Quantil q(m) de uma série temporal: amplitude da amostra tal que 100m% das amostras da série sejam menores do que q(m) w(n) n 18 / 31

19 Mapeamento por Quantis 1 Dada uma série temporal x(n) com N p amostras, obtém-se seu histograma 2 A partir do histograma, divide-se x(n) em Q quantis {q 1, q 2,..., q Q } tais que q i = q(i/q). O número de amostras presente entre os quantis é N p /Q 3 Cria-se uma rede com Q vértices {v 1, v 2,..., v Q } que representam esses quantis 4 Os vértices da rede são conectados dois a dois por arestas l ij, cujos pesos são determinados pelo número de vezes que uma amostra x(n) pertencente a um quantil q i é seguida por outra amostra x(n + 1), pertencente a um quantil q j 5 É aplicado um limiar à rede retirando-se arestas cujo peso w ij é inferior ao limiar 19 / 31

20 Mapeamento por Quantis Propriedades do mapeamento por quantis: Baseia-se na relação entre amostras consecutivas presentes na série Dependente do período de amostragem da série Não é necessário existir ciclos bem definidos na série analisada Mostra-se que é reversível 20 / 31

21 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 21 / 31

22 Série de Preços Considerou-se a série de preços da ação P ET R4 no período de 26/10/2010 a 09/04/2015. Início de 2011: preço oscila entre 23 e 27 reais Final de 2011 até metade de 2014: queda no preço, que oscila entre 12 e 23 reais Final de 2014 até abril de 2015: alta seguida de queda acentuada 30 Série de Preços x(n) n 22 / 31

23 Série de Preços 30 Série de Preços x(n) n Conexões entre vértices próximos: amostras consecutivas na série localizadas no mesmo quantil ou em quantis adjacentes Conexões entre vértices distantes: amostras consecutivas na série localizadas em quantis não adjacentes, associadas às suas maiores variações (queda acentuada em 2015). Tendência de alta e queda nos preços podem ser inferidas pela direção das arestas na rede. 23 / 31

24 Série de Preços < L > elevado em relação ao número de vértices N da rede < K > não aproxima-se da moda da distribuição de graus de conectividade < C > não próximo de zero Série N < L > < K > < C > x(n) Infere-se que a rede em questão exibe características próprias, porém as conexões estabelecidas entre os vértices e o valor obtido para < C > são característicos de redes regulares. Tendo em vista a rede em questão, infere-se que a série de preços da ação P ET R4 possui amostras consecutivas de certa forma correlacionadas. 24 / 31

25 Série de Retornos Considerou-se a série de retornos da ação P ET R4 durante o mesmo período de tempo, calculados a partir da diferença relativa entre seus preços. O retorno simples e o retorno logaritmico são dados respectivamente por: r(n) = x(n) x(n 1) 1 l(n) = ln(x(n)) ln(x(n 1)) r(n) l(n) n n 25 / 31

26 Série de Retornos 0.15 Série de Retornos r(n) n Conexões entre vértices distantes: a maioria das amostras consecutivas na série encontram-se em quantis não adjacentes Tendências de elevação e queda nos retornos podem ser inferidas pela ordem dos quantis 26 / 31

27 Série de Retornos < L > baixo em relação ao número de vértices N da rede < K > próximo da moda da distribuição de graus de conectividade < C > mais próximo de zero Série N < L > < K > < C > r(n) A rede em questão pode ser classificada como aleatória devido aos valores obtidos para < L > e < K > e às conexões estabelecidas entre seus vértices. Tendo em vista as características dessa rede, infere-se que a série de retornos varia de forma semelhante a uma série de ruído, possuindo amostras consecutivas não correlacionadas. 27 / 31

28 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 28 / 31

29 Conclusões Conversão de duas séries provenientes do mercado financeiro em redes complexas por meio de quantis Classificação das redes associadas às séries financeiras por meio das suas propriedades Tendo em vista que esse artigo consistiu em uma análise inicial, estão sendo estudados métodos para: Detectar características das séries financeiras estudadas Estudar a influência da propriedade modularidade das redes na caracterização das séries 29 / 31

30 Sumário 1 Introdução 2 Redes Complexas e Métricas 3 Mapeamento de Séries Temporais em Redes Complexas 4 Aplicação a Séries de Mercado Financeiro 5 Conclusões 30 / 31

31 Agradecimentos 31 / 31