Aula 2 Definições, Conceitos Básicos e Representação Interna de Grafos. Teoria dos Grafos Prof.

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1 Teoria dos Grafos Aula 2 Definições, Conceitos Básicos e Representação Interna de Grafos Jorge Figueiredo Aula 2-1

2 Definições Dois tipos de elementos: Vértices ou nós. Arestas. v3 v1 v2 v4 v5 v6 Jorge Figueiredo Aula 2-2

3 Grafo Simples G = (V, E) V é um conjunto finito não-vazio de vértices. E é um conjunto finito de arestas. Se e Є E, é um conjunto da forma: e = { v, w} = vw = wv, onde v,w Є V. e é incidente a v e w. v e w são adjacentes ou vizinhos. Jorge Figueiredo Aula 2-3

4 Grafo Simples v3 v1 v2 v4 V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} e1 v5 v6 E = {v1v2, v1v3, v2v3, v2v4, v2v5, v3v4} e1 é incidente a v2 e v5 v1, v3, v4 e v5 são adjacentes a v2 Jorge Figueiredo Aula 2-4

5 Graus de Vértices Grau de um vértice v (deg(v)) é o número de arestas que incidem em v. Vértice ímpar. Vértice par. Vértice isolado. Um grafo é regular (k-regular) se todos os seus vértices tem o mesmo grau (k). Seqüência de graus de um grafo consiste em escrever em ordem crescente os graus de seus vértices. Jorge Figueiredo Aula 2-5

6 Graus de Vértices v3 v1 v2 v4 v6 é um vértice isolado. deg(v6) = 0 e1 v5 v6 v2 é um vértice par. deg(v2) = 4 v5 é um vértice ímpar. deg(v5) = 1 Seqüência de graus = 0, 1, 2, 2, 3, 4 Jorge Figueiredo Aula 2-6

7 Pseudo-grafos: Multigrafos. Grafos com auto-laços. Outros Tipos de Grafos Grafos dirigidos. Não existe terminologia padronizada. Vamos usar o termo grafo para representar grafos finitos, não dirigidos, com auto-laços e múltiplas arestas. Jorge Figueiredo Aula 2-7

8 v3 v1 v2 v4 Auto-laço e1 v5 v6 deg(v4) = 4 deg(v3) = 5 Multigrafo Jorge Figueiredo Aula 2-8

9 Proposições Importantes A partir do conceito de adjacência e graus de vértices. Prova é intuitiva. Como conseqüência: número de vértices ímpares é par. Proposição de Euler: n i=1 deg vi =2 E Jorge Figueiredo Aula 2-9

10 v3 v1 v2 v4 de vértices ímpares = 2 = v3 e v5 v5 v6 Σ deg(vi) = = 12 = 2 x 6 Jorge Figueiredo Aula 2-10

11 Isomorfismo de Grafos Dois grafos são isomórficos: São essencialmente iguais. Correspondência entre os vértices e arestas. Sejam G1= (V1, E1) e G2 = (V2, E2): G1 G2, se existir uma bijeção f: V1 V2: Se vw é uma aresta de E1, então f(v)f(w) é aresta de E2. Toda aresta em E2 tem a forma de f(v)f(w) para alguma aresta vw єe1. Jorge Figueiredo Aula 2-11

12 Isomorfismo de Grafos u v w x y z Jorge Figueiredo Aula 2-12

13 Isomorfismo de Grafos u v w x y z f(u) = azul, f(v) = roxo, f(w) = vermelho f(x) = verde, f(y) = amarelo, f(z) = rosa Jorge Figueiredo Aula 2-13

14 Isomorfismo de Grafos Isomorfismo preserva: Simetria: G1 G2 G2 G1. Reflexividade: G G. Transitividade: G1 G2 e G2 G3 G1 G3. Proposições válidas se G1 G2: G1 e G2 têm o mesmo número de vértices. G1 e G2 têm a mesma seqüência de graus. G1 e G2 têm o mesmo número de arestas. Jorge Figueiredo Aula 2-14

15 Subgrafos G1 = (V1, E1) é subgrafo de G2 = (V2, E2) sss: V1 é subconjunto de V2; e, E1 é subconjunto de E2. Subgrafos podem ser obtidos através da remoção de arestas e vértices. Jorge Figueiredo Aula 2-15

16 Subgrafos u v w u v w u w x y z x y z x y z G1 G2 G3 G2 = G1 \ {uz} G3 = G1 \ {v} Jorge Figueiredo Aula 2-16

17 Grafos Completos e nulos Grafo nulo é aquele em que E = Ø. Um grafo simples é completo se qualquer par de vértices distintos é adjacente. Grafo completo de n vértices é dito Kn. K4 K3 K5 Jorge Figueiredo Aula 2-17

18 Grafos Bipartidos Grafo bipartido é aquele em que V pode ser dividido em dois subconjuntos disjuntos não vazios V1 e V2. Cada aresta conecta um vértice de V1 e um vértice de V2. Grafo bipartido completo: cada um dos elementos de V1 é adjacente a cada um dos elementos de V2. Jorge Figueiredo Aula 2-18

19 Grafos Bipartidos u v w V1 = {u, v, w} V2 = {x, y, z} x y z K3,3 Jorge Figueiredo Aula 2-19

20 Complemento de um Grafo Seja G um grafo simples: G é complemento de G se: V = V; e, Dois vértices são adjacentes em G se e somente se eles não são adjacentes em G. Jorge Figueiredo Aula 2-20

21 Representação de Grafos Representação gráfica: Útil na prática. Não é adequada para representar internamente (em um computador) dados sobre a estrutura de grafos. Várias formas de representar um grafo: 1) Listas de Adjacência. 2) Matriz de Adjacência. 3) Matriz de Incidência. Jorge Figueiredo Aula 2-21

22 Listas de Adjacência Consiste de um array Adj de V listas, um para cada vértice de V. Para cada u em V, Adj[u] consiste de todos os vértices de G adjacentes a u. Vértices armazenados de forma arbitrária na lista. Também pode ser utilizada no caso de grafos dirigidos. Jorge Figueiredo Aula 2-22

23 Exemplo Jorge Figueiredo Aula 2-23

24 Exemplo Jorge Figueiredo Aula 2-24

25 Lista de Adjacência Forma compacta de representar grafos esparsos. Se G é um grafo dirigido, a soma dos tamanhos de todas as listas de adjacências é V. O(V + E). Utilizada com outras tipos de grafos. Ineficiente para determinar se vw está no grafo. Jorge Figueiredo Aula 2-25

26 Matriz de Adjacência Requer que os vértices sejam numerados arbietrariamente de 1, 2,..., V. Matriz A= (a ij ), de ordem V x V : a ij = 1, se (i, j) Є E a ij = 0, caso contrário Jorge Figueiredo Aula 2-26

27 Exemplo Jorge Figueiredo Aula 2-27

28 Exemplo Jorge Figueiredo Aula 2-28

29 Matriz de Adjacência Preferível em grafos pequenos. Requer apenas um bit por entrada. Válido também com outros tipos de grafos. Exemplo: grafos ponderados. O(V 2 ). Jorge Figueiredo Aula 2-29

30 Matriz de Incidência Matriz B= (b ij ), de ordem V x E : b ij = 1, se vértice v i e aresta e j forem incidentes b ij = 0, caso contrário e1 1 5 e3 e2 e4 e5 2 4 e6 e Jorge Figueiredo Aula 2-30

31 Matriz de Incidência No caso de grafos dirigidos: e e1 4 e3 e5 e4 e6 e7 5 6 e Jorge Figueiredo Aula 2-31

32 Verificando Isomorfismo Teorema: Dois Grafos são isomórficos sss seus vértices podem ser rotulados de tal forma que as correspondentes matrizes de adjacências são iguais. Sejam A 1 e A 2 as matrizes de adjacência de G 1 e G 2. Se G 1 e G 2 são isomórficos: PA 2 P T = A 1 P é uma matriz de permutação. Jorge Figueiredo Aula 2-32

33 Exemplo v1 v4 u1 u3 v2 v3 u2 u4 G1 G2 A 1 = A 2 = Jorge Figueiredo Aula 2-33

34 Exemplo Se fizermos: u 1 v 1 ; u 2 v 3 ; u 3 v 4 ; u 4 v 2. P = Teorema: Dois Grafos rotulados G 1 e G 2, com respectivas matrizes A 1 e A 2, são isomórficos sss A 2 = PA 1 P T, para alguma matriz de permutação P. Jorge Figueiredo Aula 2-34