Análise e Síntese de Algoritmos. Algoritmos em Grafos CLRS, Cap. 22

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1 Análise e Síntese de Algoritmos Algoritmos em Grafos CLRS, Cap. 22

2 Mudança no Horário Aulas Teóricas de 4ª feira 10:30 12:00 Sala: FA1 12:00 13:30 Sala: FA1 Deixa de haver aula teórica às 9:00 por troca com Modelação 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 2

3 Contexto Revisões [CLRS, Cap. 1-10] Algoritmos em Grafos [CLRS, Cap ] Algoritmos elementares; Árvores abrangentes; Caminhos mais curtos; Fluxos máximos Programação Linear [CLRS, Cap. 29] Técnicas de Síntese de Algoritmos [CLRS, Cap ] Programação dinâmica Algoritmos greedy Tópicos Adicionais [CLRS, Cap ] Emparelhamento de Cadeias de Caracteres Complexidade Computacional Algoritmos de Aproximação 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 3

4 Resumo Algoritmos elementares em grafos Representação de grafos Procura em Largura Primeiro Breadth-First Search (BFS) Propriedades da BFS Procura em Profundidade Primeiro Depth-First Search (DFS) Propriedades da DFS Ordenação Topológica Componentes Fortemente Ligados Strongly Connected Components (SCCs) Exemplos 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 4

5 Grafos Definição e Representação Grafo definido por um conjunto V de vértices e um conjunto E de arcos, G = (V, E) Arcos representam ligações entre pares de vértices E V V Grafo esparso: E << V V Representação dos arcos Matriz de adjacências: arcos representados por matriz Para grafos densos Listas de adjacências: arcos representados por listas Para grafos esparsos Grafos podem ser dirigidos ou não dirigidos Existência (ou não) da noção de direcção nos arcos 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 5

6 Grafos Definição e Representação Listas vs. Matriz de adjacências Não Dirigido: / / 3 2 / / Dirigido: / 2 3 / 3 / /2008 Análise e Síntese de Algoritmos 6

7 Grafos Definição e Representação Listas de adjacências: Grafos não dirigidos Tamanho das listas é 2 E Grafos dirigidos Tamanho das listas é E Tamanho total das listas de adjacências é O(V+E) 2 Matriz de adjacências: Θ( V ) para qualquer grafo Grafos pesados: Função de pesos: w: E R Permite associar um peso a cada arco 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 7

8 Procura em Largura Primeiro (BFS) Dados G = (V, E) e vértice fonte s, BFS explora sistematicamente vértices de G para descobrir todos os vértices atingíveis a partir de s Cálculo da distância: menor número de arcos de s para cada vértice atingível Identificação de árvore BF: caminho mais curto de s para cada vértice atingível v Fronteira entre nós descobertos e não descobertos é expandida uniformemente Nós à distância k descobertos antes de qualquer nó à distância k /2008 Análise e Síntese de Algoritmos 8

9 Procura em Largura Primeiro (BFS) Implementação: color[v]: cor do vértice v, branco, cinzento e preto π[v]: predecessor de v na árvore BF d[v]: tempo de descoberta de v Outras definições: δ(s,v): menor distância de s a v menor número de arcos em qualquer caminho de s para v 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 9

10 Procura em Largura Primeiro (BFS) ciclo principal Algoritmo: function BFS(G,s) for each vertex u in V[G] - { s } color[u] = white; d[u] = ; π[u] = NIL color[s] = gray; d[s] = 0; π[s] = NIL Q = { s } while Q inicializações u = Dequeue (Q) for each v Adj[u] if color[v] = white then color[v] = gray; d[v] = d[u] + 1; π[v] = u Enqueue (Q, v) color[u] = black 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 10

11 Procura em Largura Primeiro (BFS) Tempo de execução: O(V + E) Inicialização: O(V) Para cada vértice Colocado na fila apenas 1 vez: Lista de adjacências visitada 1 vez: O(V) O(E) Exemplo 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 11

12 Procura em Largura Primeiro (BFS) Resultado: Para qualquer arco (u,v): δ s,v δ s,u + Se u atingível, então v atingível caminho mais curto para v não pode ser superior a caminho mais curto para u mais arco (u,v) Se u não atingível, então resultado é válido (independentemente de v ser atingível) No final da BFS: ( ) ( ) 1 d[u] = δ(s,u), para todo o vértice u de V 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 12

13 Procura em Largura Primeiro (BFS) Árvores BF: (sub-grafo de G) Vértices atingíveis a partir de s Arcos que definem a relação predecessor da BFS G π = ( V, E ) π π V π = { v V : π[ v] NIL} { s} E = π π {( π[ v], v) E : v V { s}} 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 13

14 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Grafo pesquisado dando prioridade aos arcos dos vértices mais recentemente visitados Resultado da procura: Floresta DF: G = ( V, E π π ) E = {( π[ v], v) : v V π[ v] NIL} π Floresta DF composta por várias árvores DF Implementação: color[u]: cor do vértice (branco, cinzento, preto) d[u]: tempo de início (de visita do vértice) f[u]: tempo de fim (de visita do vértice) 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 14

15 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Algoritmo: function DFS(G) for each vertex u V[G] color[u] = white π[u] = NIL time = 1 for each vertex u V[G] if color[u] = white DFS-Visit(u) function DFS-Visit(u) color[u] = gray d[u] = time time = time + 1 for each v Adj[u] if color[v] = white π[v] = u DFS-Visit(v) color[u] = black f[u] = time time = time /2008 Análise e Síntese de Algoritmos 15

16 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Tempo de execução: O(V+E) Inicialização: O(V) Chamadas a DFS-Visit dentro de DFS: O(V) Arcos analisados em DFS-Visit: Θ(E) Chamadas a DFS-Visit dentro de DFS-Visit: O(V) Mas v V Adj [ v] = Θ( E) Exemplo 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 16

17 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Resultado: Numa DFS de G = (V, E), para cada par de vértices u e v apenas um dos 3 casos seguintes é verdade: Os intervalos [d[u], f[u]] e [d[v], f[v]] são disjuntos d[u] f[u] d[v] f[v] [d[u], f[u]] está contido em [d[v], f[v]] e u é descendente de v na árvore DF [d[v], f[v]] está contido em [d[u], f[u]] e v é descendente de u na árvore DF d[u] d[v] f[v] f[u] d[u] d[v] f[u] f[v] X 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 17

18 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Classificação de arcos (u,v): Arcos de árvore: (tree edges) arcos na floresta DF, G π (u,v) é arco de árvore se v foi visitado devido ao arco (u,v) ser visitado Arcos para trás: (back edges) ligam vértice u a vértice v antecessor na mesma árvore DF Arcos para a frente: (forward edges) ligam vértice v a vértice descendente na mesma árvore DF Arcos de cruzamento: (cross edges) Na mesma árvore DF, se u (ou v) não antecessor de v (ou u) Entre árvores DF diferentes 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 18

19 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Classificação de cada arco (u,v): Arco de árvore: d[u] < d[v] < f[v] < f[u] ; color[v] = white; visita v a partir de u Arco para trás: d[v] < d[u] < f[u] < f[v] ; color[v] = gray Arco para a frente: d[u] < d[v] < f[v] < f[u] ; color[v] = black Arco de cruzamento: d[v] < f[v] < d[u] < f[u] ; color[v] = black 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 19

20 Procura Profundidade Primeiro (DFS) Dado G = (V, E), não dirigido, cada arco é arco de árvore ou arco para trás i.e., não existem arcos para a frente e de cruzamento Numa floresta DFS, v é descendente de u se e só se quando u é descoberto existe um caminho de vértices brancos de u para v v descendente de u existe caminho de vértices brancos de u para v Qualquer vértice w descendente de u verifica [d[w], f[w]] [d[u], f[u]], pelo que w é branco quando u é descoberto 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 20

21 Recapitular Representação de grafos Listas de adjacências Matrizes de adjacências Procuras em grafos BFS Tempos de descoberta (d[]) DFS Tempos de início (d[]) e de fim (f[]) 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 21

22 Definições Dado grafo G = (V, E), um caminho p é uma sequência <v 0,v 1,,v k > tal que para todo o i, 0 i k-1, (v i,v i+1 ) E Se existe um caminho p de u para v,então v diz-se atingível a partir de u via p Um ciclo num grafo G = (V,E) é um caminho <v 0,v 1,,v k >, tal que v 0 = v k Um grafo dirigido G = (V,E) diz-se acíclico se não tem ciclos Directed acyclic graph (DAG) 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 22

23 Ordenação Topológica Uma ordenação topológica de um DAG G=(V,E) é uma ordenação de todos os vértices tal que se (u,v) E então u aparece antes de v na ordenação Algoritmos: Eliminação de vértices Utilizando informação de DFS 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 23

24 Ordenação Topológica (Cont.) Algoritmo: Colocar vértices em L O(V+E) function Topological-Sort-1(G) L = Q = // Lista de vértices // Fila de vértices for each v G if v sem arcos de entrada (w,v) Enqueue(Q,v) while Q u = Head(Q) Eliminar todos os arcos (u,v) if v sem arcos de entrada (w,v) Enqueue(Q,v) Dequeue(Q) Colocar u no fim da lista L Inicialização O(V) 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 24

25 Ordenação Topológica (Cont.) Algoritmo: function Topological-Sort-2(G) Executar DFS(G) para cálculo do tempo de fim f[v] para cada v Para cada vértice terminado, inserir no princípio de lista ligada return lista ligada de vértices Tempo de execução DFS: O(V+E) Exemplo 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 25

26 Ordenação Topológica (Cont.) Intuição: Na DFS: Tempo de fim de 3 é sempre > Tempo de fim de 4 Tempo de fim de 2 é sempre > Tempo de fim de 4 Tempo de fim de 1 é sempre > Tempo de fim de 2,4 Sem ciclos, se existe caminho de u para v, verifica-se sempre f[u] > f[v]! 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 26

27 Componentes Fortemente Ligados Definição: Dado grafo dirigido G = (V,E) um componente fortemente ligado (SCC) é um conjunto máximo de vértices U V, tal que para u,v U, u é atingível a partir de v, e v é atingível a partir de u Obs: vértice simples é SCC Outras definições: Grafo transposto de G = (V,E) G T = (V, E T ) tal que: E T = {( u,v ): ( v,u) E} OBS: G e G T têm os mesmos SCCs 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 27

28 Componentes Fortemente Ligados Algoritmo: function SCCs(G) Executar DFS(G) para cálculo do tempo de fim f[v] para cada v Representar G T Executar DFS(G T ) (no ciclo principal de DFS considerar os vértices por ordem decrescente de tempo de fim de DFS(G)) Cada árvore de DFS encontrada corresponde a novo SCC Tempo de execução: O(V+E) Exemplo 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 28

29 Componentes Fortemente Ligados Intuição: Em G: SCC 1 SCC 2 SCC 3 maior f > maior f > maior f Em G T : SCC 1 SCC 2 SCC 3 árvore DFS árvore DFS árvore DFS 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 29

30 Componentes Fortemente Ligados G: f[] = 24 4 max f > max f 8 max f > max f 12 G T : /2008 Análise e Síntese de Algoritmos 30

31 Problemas Algoritmo eficiente para determinar se grafo G = (V, E) é bipartido? Grafo G é bipartido se V pode ser dividido em L e R, tal que todos os arcos de G incidentes em 1 vértice de L e 1 vértice de R Algoritmo eficiente para calcular o diâmetro de uma árvore T = (V, E)? Diâmetro: max δ( u,v ) u,v V Solução: Duas BFSs 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 31

32 Outro Problema Algoritmo eficiente para determinar se um grafo G=(V, E) é semi-ligado Um grafo dirigido G = (V,E) diz-se semi-ligado se para qualquer par de vértices (u,v), u atingível a partir de v ou v atingível a partir de u 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 32

33 Revisão Algoritmos elementares em grafos Representação de grafos BFS; DFS Algoritmos Propriedades Aplicações: Ordenação topológica Componentes fortemente ligados A seguir: Estruturas de dados para conjuntos disjuntos (CLRS, Cap. 21) Árvores abrangentes de menor custo (CLRS, Cap. 23) 2007/2008 Análise e Síntese de Algoritmos 33