Algoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos

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1 Algoritmos em Grafos - Aula 02 Introdução à Teoria dos Grafos Prof a. Laura Silva de Assis PPCIC - Programa de Pós-graduação em Ciência da Computação CEFET/RJ - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Maracanã

2 Grafo 1 Grafo Dentre diversos problemas existentes na computação é comum se deparar com problemas de conexão entre elementos. Esses problemas podem ser representados pela teoria dos grafos. Definição É um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos.

3 Grafo 2 O que é um grafo? É um conjunto de pontos chamados vértices (nós) não vazio...

4 Grafo 3 O que é um grafo? É um conjunto de pontos chamados nós (vértices)... Que são conectados por um conjunto de linhas chamadas arestas (arcos).

5 Grafo 4 O que é um grafo? Exemplo:

6 Grafo 5 O que é um grafo? Exemplo: Facebook 1,65 bilhões de usuários em 2016.

7 Grafo O que é um grafo? Exemplo: Hierarquia empresarial. 6

8 Grafo 7 O que é um grafo? Exemplo:

9 Grafo 8 O que é um grafo? Exemplo:

10 Histórico 9 Breve histórico Grafo Um grafo é uma estrutura de abstração muito útil na representação e solução de problemas computacionais, por representarem relações de interdependência entre elementos de um conjunto. O primeiro registro de uso data de 1736, por Euler.

11 Conceitos b asicos Hist orico Breve hist orico A Teoria dos Grafos teve sua origem com o problema das pontes de K onigsberg (1735). Esse problema foi resolvido por Leonhard Euler em

12 Histórico 11 Breve histórico No século 18 havia na cidade de Königsberg um conjunto de sete pontes que cruzavam o rio Pregel (ou Pregolya, Pregola), hoje atual Kaliningrado, na Rússia. As sete pontes conectavam duas ilhas entre si e as ilhas com as margens. Por muito tempo os habitantes daquela cidade perguntavam-se se era possível cruzar as sete pontes numa caminhada contínua sem passar duas vezes por qualquer uma delas. Essa dúvida ficou no ar até que Leonard Euler, em 1736, resolveu esse problema inaugurando um novo ramo da matemática: a Teoria dos Grafos.

13 Histórico 12 Breve histórico Problema: encontrar um caminho circular por Königsberg usando cada uma das pontes sobre o rio Pregel exatamente uma vez.

14 Histórico 13 Breve histórico Pergunta: Começando o caminho a partir de uma das margens, pode-se encontrar um percurso que passe somente uma vez em cada ponte e retorne ao ponto de partida?

15 Histórico 14 Breve histórico Para solucionar o problema, Euler criou um desenho que esboçasse a cidade. Para tanto, ele representou as pontes por linhas e as porções de terra (ilhas e margens) por pontos.

16 Histórico 15 Breve histórico Euler, ao propôr a solução para este problema, se preocupou em descobrir em que tipos de grafos se pode fazer esse caminho (passando por todas as arestas uma única vez). Após chamar cada linha de aresta e cada ponto de vértice, Euler passou a analisar o número de arestas que incide em cada vértice. Esse número é chamado de Grau de um vértice e é escrito como g(v), onde v é o vértice analisado. O que se procurava, era o que hoje chamamos de caminho euleriano fechado (no qual os pontos inicial e final coincidem). Determinamos um caminho desse tipo por meio do Teorema que diz que um grafo conexo admite caminho euleriano fechado se, e somente se, todos os vértices têm grau par.

17 Histórico 16 Breve histórico Representação por Euler: pontes como linhas e as porções de terra (ilhas e margens) por pontos.

18 Histórico Breve histórico Desde a demonstração de Euler, até o fim do século XIX (+150 anos) sugiram poucos trabalhos nessa área. Em 1847 Kirchhoff utilizou modelos de grafos no estudo de circuitos elétricos para caracterizar conjuntos de ciclos independentes, ao fazê-lo criou a teoria das árvores. Em 1857 Cayley seguiu na mesma trilha para outras aplicações, destacando a enumeração dos isômeros dos hidrocarbonetos alifáticos saturados (química orgânica). Em 1859 Hamilton desenvolveu um jogo (Around the World) que consistia na busca por um percurso fechado envolvendo todos os vértices de um dodecaedro regular. Temas originalmente teóricos, os problemas de Hamilton e Euler encontraram aplicação um e dois séculos mais tarde, respectivamente. 17

19 Histórico 18 Breve histórico Grafo que representa o jogo, uma solução e um ciclo hamiltoniano

20 Histórico 19 Breve histórico Kemp em 1879 procurou, sem sucesso, demonstrar a conjectura das 4 cores. Todo mapa desenhado em um plano e dividido em um número qualquer de regiões pode se colorido em um número máximo de 4 cores sem que duas regiões de fronteira possuam a mesma cor. Em 1890 Heawood mostrou que a prova de Kemp estava errada, obtendo no processo uma prova válida para 5 cores. A prova de 4 cores só foi obtida em 1976.

21 Definições Definição Muitas situações do mundo real podem ser descritas por diagramas consistindo em um conjunto de pontos e linhas ligando pares desses pontos. Grafos: É um modelo matemático utilizado para representar relações entre objetos. Utilizado na definição e/ou resolução de problemas em diversas áreas. Em computação É uma forma de solucionar problemas computáveis. Buscam o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes. Exemplo: Qual a melhor rota da minha casa até um restaurante? Duas pessoas em uma mesma rede, tem um amigo em comum? 20

22 Definições 21 Definição Um grafo G é um par ordenado G(V, E), sendo V o conjunto de vértices (nós) e E o conjunto de arestas (arcos). Conjunto V com n vértices {v 1, v 2,, v n }. Conjunto E com m arestas {e 1, e 2,, e m }. Uma aresta e E é um par de vértices. Ex.: e = (u, v) V. Juntamente com uma função de incidência ψ G que associa uma aresta com um par de vértices de G não ordenado e não necessariamente distintos. n e m são respectivamente a ordem e o tamanho do grafo.

23 Definições 22 Definição Vértice É uma das entidades representadas em um grafo. Depende da natureza do problema: podem ser pessoas, casas, esquinas, etc. Dois vértices ligados por uma aresta são denominados adjacentes. G(V, E) V = {1, 2, 3, 4}

24 Definições 23 Definição Arestas É uma das entidades representadas em um grafo. Está associada a dois vértices (v 1,v 2). Conecta os dois vértices (informa seu relacionamento). G(V, E) V = {1, 2, 3, 4} E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

25 Definições 24 Representação geométrica A representação geométrica de grafos é feita marcando pontos distintos no plano para representar os vértices, e uma linha ligando dois pontos para representar as arestas. Os vértices podem ou não possuir nomes, quando possuem geralmente são números ou letras. Quando os vértices recebem nomes de letras é necessário fazer um mapeamento de cada vértice para um número correspondente i, sendo 1 i n n N. Exemplos:

26 Definições Representação matemática G(V, E) V = {u, v, w, x, y} E = {a, b, c, d, e, f, g, h} ψ G é definido como: ψ G (a) = {u, v} ψ G (b) = {u, u} ψ G (c) = {u, w} ψ G (d) = {w, x} ψ G (e) = {u, x} ψ G (f ) = {w, x} ψ G (g) = {u, x} ψ G (h) = {x, y} 25

27 Definições Representação matemática H(V, E) V = {v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5} E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10} ψ H é definido como: ψ H (e 1) = {v 1, v 2} ψ H (e 2) = {v 2, v 3} ψ H (e 3) = {v 3, v 4} ψ H (e 4) = {v 4, v 5} ψ H (e 5) = {v 5, v 1} ψ H (e 6) = {v 0, v 1} ψ H (e 7) = {v 0, v 2} ψ H (e 8) = {v 0, v 3} ψ H (e 9) = {v 0, v 4} ψ H (e 10) = {v 0, v 5} 26

28 Definições 27 Terminologia Extremidade: A extremidade de uma aresta é o vértice da aresta. Arestas múltiplas: Quando existe mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices. Também conhecidas como arestas paralelas. Um grafo que possui arestas paralelas é denominado de multigrafo. Laço: É possível encontrar em um grafo arestas como e = (u, u). Também conhecidos como loop é uma aresta que possui as duas extremidades iguais.

29 Definições 28 Terminologia Figure: Multigrafo Figure: Laço/Loop

30 Definições 29 Terminologia Vértices adjacentes Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta unindo-os. Arestas adjacentes Duas arestas são adjacentes se elas tem pelo menos um vértice em comum.

31 Definições 30 Terminologia

32 Definições 31 Terminologia Ordem: A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices, ou seja, pelo número de vértices de G. Vértices isolados: Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado. Grafo trivial e simples: Um grafo com apenas um vértice é chamado de grafo trivial. Um grafo G é chamado de grafo simples se não possui laços ou arestas múltiplas. Grafo finito: Um grafo é dito finito se ambos conjuntos V e E são finitos.

33 Definições Terminologia Exemplos: Figure: Grafos simples Figure: Grafo trivial Figure: Grafos não-simples 32

34 Definições 33 Terminologia Grau: O grau g(i) de um vértice i em um grafo não direcionado é dado pelo número de arestas incidentes a i. G 1 : g(4) = 3 g(1) = 4 g(6) = 1

35 Definições 34 Terminologia Grau: O grau de um vértice i em um grafo direcionado é determinado em duas etapas: Grau de entrada g (i): o grau de entrada de um vértice i em um grafo direcionado corresponde ao número de arestas que chegam em i. G 2 : Grau de saída g + (i): o grau de saída de um vértice i em um grafo direcionado corresponde ao número de arestas que partem de i.

36 Definições 35 Terminologia Grau: O grau de um vértice i em um grafo direcionado é determinado em duas etapas: g (1) = 1 g + (1) = 2 g (4) = 2 g + (4) = 1 G 1 :

37 Definições 36 Conceito O grau total de um grafo G(V, E) não orientado é a soma dos graus de todos os seus vértices. Teorema do aperto de mãos (Handshaking) A soma dos graus de todos os vértices de um grafo não direcionado G é duas vezes o número de arestas de G. n g(i) = 2m i=1 O grau total de um grafo não orientado sempre é um número par. Teorema O número de vértices de grau ímpar em um grafo não direcionado é par.

38 Definições 37 Conceitos introdutórios O grau máximo de um grafo G é definido por: (G) = max{g(v) v V (G)} O grau mínimo de um grafo G é definido por: δ(g) = min{g(v) v V (G)}

39 Definições 38 Terminologia Fonte: é um vértice com grau de entrada 0 e grau de sáida maior ou igual a 1. Semidouro: é um vértice com grau de saída 0 e grau de entrada maior ou igual a 1. Exemplo: vértice 1 é um vértice fonte e vértice 6 é um vértice semidouro.

40 Definições Terminologia Grafo nulo Um grafo G = (V, E) que não possui arestas, isto é E = { }, é chamado de nulo e seus vértices isolados. Vértice Pendente Vértice i com g(i) = 1. Vértice isolado Vértice com nenhuma aresta incidente. Figure: Grafo nulo. 39

41 Definições 40 Terminologia Complemento de um grafo: Seja G(V, E) um grafo simples direcionado ou não, o complemento de G representado por G é um grafo formado da forma: O conjutno de vértices de G são todos os vértices de G. As arestas de G são exatamente as arestas que faltam em G para formarmos um grafo completo, ou seja (i, j) G se (i, j) / G

42 Definições 41 Terminologia Complemento de um grafo: Figure: Grafos G e G.

43 Definições 42 Terminologia Grafo direcionado Um grafo direcionado G(V, E) (dígrafo) possui um conjunto não vazio de vértices e um conjunto de arestas tal que para toda aresta (u, v) E existe uma única direção de u para v. Figure: Grafos direcionado.

44 Definições Terminologia Grafo Ponderado Um grafo ponderado é aquele que possui peso nas arestas. Em um grafo ponderado, um peso ou um conjunto de pesos é associado a cada aresta, representado da forma w(i, j), ou seja w(a, B) é o peso associado a aresta que une os nós A e B. Esses pesos podem representar custo, distâncias, etc. Figure: Grafos ponderado. 43

45 Definições 44 Terminologia Grafo com atributos Um grafo com atributos possui valores associados aos vértices do grafo. Figure: Grafo com atributos.

46 Definições 45 Terminologia Árvore Um grafo é denomidado uma árvore quando é conexo e sem ciclos. (a) Árvore. (b) Árvore.

47 Definições 46 Caminho Dado um grafo G(V, E) uma sequência de vértices v 1, v 2,, v j tal que (vi, v i+1 ) E sendo que 1 i j 1 recebe o nome de caminho de v 1 a v j. O caminho é uma sequência de vértices, onde um vértice e seu sucessor na sequência possuem uma aresta ligando-os. Dois nós v 1 e v 2 são conectados se existe ao menos um caminho entre v 1 e v 2. Um caminho onde v 1 = v n é chamado de ciclo.

48 Definições 47 Caminho A quantidade de arestas de um caminho determina o seu comprimento e um caminho de comprimento k é denotado por P k. Se todos os vértices do caminho forem distintos, então temos um caminho simples (elementar), se todas as arestas forem distintas então é chamado de trajeto. É chamado de caminho hamiltoniano, o caminho simples entre todos os vértices do grafo. É chamado de caminho euleriano, o trajeto que contém todas as arestas do grafo.

49 Definições Caminho Exemplos Figure: Caminhos. 48

50 Definições 49 Caminho Exemplos Figure: Caminho hamiltoniano.

51 Definições 50 Caminho Exemplos Figure: Ciclo hamiltoniano.

52 Definições 51 Caminho Caminho simples: v 1, v 2, v 6, v 3, v 7, v 8 é formado pelo trajeto P 5 = a 2, a 12, a 8, a 6, a 7

53 Definições 52 Caminho Caminhos independentes Dois ou mais caminhos são independentes se nenhum deles contém ao menos um vértice interno do outro.

54 Definições 53 Ciclo Um ciclo (ou circuito) é um caminho que inicia e termina em um mesmo vértice. Exemplo: caminho: v 1, v 5, v 3, v 6, v 2, v 1 forma um ciclo. Se todos os vértices do ciclo forem distintos dizemos que o ciclo é simples (elementar).

55 Definições 54 Terminologia Grafo Conexo Um grafo G é dito conexo sse existir um caminho entre todos os pares de vértices de G. Grafo Desconexo Se algum vértice de G não tiver um caminho com algum outro vértice de G, então o grafo G é desconexo. Consiste de 2 ou mais grafos conexos, chamados de componentes.

56 Definições 55 Terminologia Exemplos Figure: Grafo Conexo. Figure: Grafo Desconexo.

57 Definições 56 Terminologia Exemplos Figure: Grafo Conexo. Figure: Grafo Desconexo.

58 Tipos de grafos 57 Grafos Completos Um grafo G é chamado grafo completo se, é um grafo simples e para quaisquer u, v V, temos (u, v) E, ou seja, existe uma aresta para cada par de vértices distinto de V. Um grafo completo com n vértices é denominado por K n, ou seja, n é a ordem do grafo. (a) K 1. (b) K 2. (c) K 3. (d) K 4. Figure: Ex.: Grafos K n

59 Tipos de grafos 58 Grafos Completos Pode-se ter desenhos diferentes para representar o mesmo grafo. (a) K4. (b) K4. Figure: Ex.: Grafos K 4

60 Tipos de grafos 59 Grafo Regular Quando todos os vértices de um grafo G(V, E) possuem o mesmo grau ele é chamado grafo regular de grau r. (a) Grafo de Petersen. (b) Grafo de Frucht. (c) Grafo de Shrikhande. Figure: Ex.: Grafos Regulares

61 Tipos de grafos 60 Grafo Regular e Completo Regular X Completo Todo grafo completo é um grafo Regular, porém nem todo grafo Regular é Completo!

62 Tipos de grafos 61 Isomorfismo Dois grafos não orientados G 1 (V 1, E 1 ) e G 2 (V 2, E 2 ) são isomorfos se existir uma correspondência um-para-um entre seus vértices e entre suas arestas, de maneira que as relações de incidência são preservadas. Um isomorfismo entre dois grafos G 1 (V 1, E 1 ) e G 2 (V 2, E 2 ) é uma função f de V G1 em V G2 que faça o mapeamento de vértices e arestas de modo que os dois grafos se tornem coincidentes. Em outras palavras é uma bijeção f tal que dois vértices v e w são adjacentes em G 1 sse f (v) e f (w) são adjacentes em G 2. Uma bijeção é uma função f de um conjunto A em um conjunto B tal que: f (a) f (a ) sempre que a a. Para todo b B existe a A tal que f (a) = b.

63 Tipos de grafos 62 Isomorfismo Dois grafos G 1 e G 2 são isomorfos (G 1 = G2 ) se existe um isomorfismo entre eles. Em outras palavras, dois grafos são isomorfos se é possível alterar os nomes dos vértices de um deles de tal modo que os dois grafos fiquem iguais. Figure: Grafos isomorfos.

64 Tipos de grafos 63 Isomorfismo

65 Tipos de grafos 64 Isomorfismo f (a) = 1 f (g) = 5 f (b) = 6 f (h) = 2 f (c) = 8 f (i) = 4 f (d) = 3 f (j) = 7

66 Tipos de grafos 65 Isomorfismo

67 Tipos de grafos Isomorfismo f (1) = a f (2) = e f (3) = b f (4) = f f (5) = g f (6) = c f (7) = h f (8) = d 66

68 Tipos de grafos 67 Isomorfismo Condições necessárias mas não suficientes para que G 1 e G 2 sejam isomorfos: mesmo número de vértices mesmo número de arestas mesmo número de componentes mesmo número de vértices com o mesmo grau.

69 Tipos de grafos 68 Isomorfismo Note que respeitar as condições citadas não é suficiente para que dois grafos sejam isomorfos. Condições necessárias, mas não suficientes!!!

70 Tipos de grafos 69 Isomorfismo Mesmo se ambos grafos são regulares de grau K, as condições citadas não são suficientes para concluir que eles são isomorfos. É muito fácil ver que eles não são isomorfos apesar de que os dois são regulares de grau 3.

71 Tipos de grafos 70 Isomorfismo Para decidir se dois grafos G 1 e G 2 são isomorfos, basta examinar todas as bijeções de V G1 em V G2. Se cada um dos grafos tem n vértices, esse algoritmo consome tempo proporcional a n!. Como n! cresce explosivamente de acordo com o valor de n, esse algoritmo é decididamente insatisfatório na prática.

72 Tipos de grafos 71 Isomorfismo Se os grafos que estão sendo testados forem isomorfos (com sorte) o isomorfismo será encontrado rapidamente. Porém se não forem isomorfos precisamos verificar todas as n! bijeções para afirmar o fato. Mesmo para grafos de tamanhos relativamente pequenos (n=100) o número de bijeções (n!) é incontrolavelmente grande. Logo, algoritmos de força bruta não são viáveis! Algoritmo Não existem algoritmos eficientes para determinar se dois grafos são isomorfos.

73 Tipos de grafos 72 Isomorfismo Qual grafo é diferente dos demais?

74 Tipos de grafos 73 Automorfismo Um automorfismo de um grafo é um isomorfismo do grafo com ele mesmo. Em um grafo simples, um automorfismo é apenas uma permutação α de seu conjunto de vértice que preserva a adjacência. Se uv é uma aresta então α(u)α(v) também. O automorfismo de um grafo reflete sua simetria. Exemplo: Se u e v são dois vértices de um grafo simples e existe um automorfismo, α que mapeia u para v então u e v são vértices parecidos no grafo e são referidos como vértices semelhantes. Grafos nos quais todos os vértices são similares, tal como grafo completo K n, são chamados de vértice transitivo.

75 Tipos de grafos 74 Automorfismo Alguns desenhos de grafos podem ser usados para mostrar sua simetria. Exemplo: Grafo de Petersen. São realmente desenhos de um mesmo grafo. A primeira figura, mostra que os 5 vértices do pentágono externo são similares (sob simetria rotacional), assim como os 5 vértices do pnetágono interno.

76 Tipos de grafos 75 Automorfismo Grafo de Petersen Figure: Nove desenhos do grafo de Petersen com 15 nós.

77 Tipos de grafos 76 Bipartidos É um grafo cujos vértices podem ser dividios em dois conjuntos. As arestas conectam vétices que estão em conjuntos distintos, nunca conectam elementos do mesmo conjunto.

78 Tipos de grafos 77 Formando pares N Rapazes. Cada rapaz declara interesse por uma moça. N Moças. Cada moça declara interesse por um rapaz.

79 Tipos de grafos 78 Formando pares N Rapazes. Cada rapaz declara interesse por uma moça. N Moças. Cada moça declara interesse por um rapaz. Um casal pode sair junto (formar um par) se existe interesse mútuo.

80 Tipos de grafos 79 Formando pares Problema 1: Dadas as escolhas dos rapazes e moças, é possível formar n casais? Problema 2: Qual o número máximo de pares que podem ser formados?

81 Tipos de grafos 80 Formando pares Como abstrair o problema usando grafos? Objetos: Rapazes e moças. Relacionamento: Interesse mútuo em sair.

82 Tipos de grafos 81 Formando pares Como abstrair o problema usando grafos? Objetos: Rapazes e moças. Relacionamento: Interesse mútuo em sair.

83 Tipos de grafos 82 Formando pares Como abstrair o problema usando grafos? Objetos: Rapazes e moças. Relacionamento: Interesse mútuo em sair.

84 Tipos de grafos 83 Formando pares Como abstrair o problema usando grafos? Objetos: Rapazes e moças. Relacionamento: Interesse mútuo em sair.

85 Tipos de grafos 84 Alocação de professores N professores. M disciplinas (M < N) Regra: Cada professor leciona uma ou mais disciplinas.

86 Tipos de grafos 85 Alocação de professores N professores. M disciplinas (M < N) Regra: Cada professor leciona uma ou mais disciplinas. Problema 1: Dado o que cada professor pode lecionar, é possível que todas as disciplinas sejam oferecidas simultaneamente? Problema 2: Qual o maior número de disciplinas que podem ser oferecidas?

87 Tipos de grafos 86 Alocação de professores Como abstrair o problema usando grafos? Mesma abstração.

88 Tipos de grafos 87 Grafos Bipartidos Um grafo G é bipartido se existe uma bipartição {V 1, V 2 } de V, tal que toda aresta de G une um vértice de V 1 a outro de V 2. Uma bipartição de um conjunto V é um par {V 1, V 2 } de conjuntos não vazios tal que V 1 V 2 = V e V 1 V 2 =. Um grafo é bipartido se seu conjunto de vértices V pode ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2 tal que todas as arestas do grafo são incidentes a um vértice de V 1 e a um vértice de V 2.

89 Tipos de grafos 88 Grafos Bipartidos Exemplo: Figure: Grafos Bipartidos.

90 Tipos de grafos 89 Grafos Bipartidos Exemplo: Figure: Grafos Bipartidos.

91 Tipos de grafos 90 Grafos Bipartidos Teorema: Um grafo G é bipartido sse todo ciclo de G possuir comprimento par. Ida: G é bipartido se todo ciclo de G possuir comprimento par. Prova: Seja V 1 e V 2 as duas partições de G. Todo caminho em G alterna um vértice de V 1 com um vértice de V 2. Supondo que um ciclo contém um vértice v i em uma das duas partições. Para voltar a esse vértice, é preciso ir na outra partição e voltar um número par de vezes.

92 Tipos de grafos 91 Grafos Bipartidos Teorema: Um grafo G é bipartido sse todo ciclo de G possuir comprimento par. Volta: Se todo ciclo de G possuir comprimento par então G é bipartido. Prova: Seja G um grafo onde todo ciclo é de comprimento par. Seja um vértice v i de G. Colocamos num conjunto V 1 o vértice v i e todos os outros que são a uma distância par de v i. Os outros vértices formam o conjunto V 2. Se não tiver nenhuma aresta ligando dois vértices de V 1 ou dois vértices de V 2, as condições para que o grafo seja bipartido é respeitada. Suponhamos agora que existe uma outra aresta entre dois vértices a e b de V 1 (ou V 2). Já temos um caminho par entre a e b. Acrescentando a nova aresta, obteríamos um ciclo de comprimento ímpar, o que contradiz a hipótese. Portanto, não pode existir outra aresta entre qualquer par de vértice que já está em V 1 (igualmente para V 2) e o grafo ser bipartido.

93 Tipos de grafos 92 Grafos Bipartidos A noção de grafo completo pode ser estendido aos grafos bipartidos. Um grafo é bipartido completo se todos os vértices da partição V 1 são adjacentes a todos os vértices da partição V 2 e vice-versa. Seja m e n o número de vértices em V 1 e V 2, respectivamente, o grafo bipartido completo será denotado K m,n e o número de arestas m n.

94 Tipos de grafos 93 Grafos Bipartidos Exemplo: Figure: Grafos Bipartidos Completos - K 1,3 e K 2,3.

95 Tipos de grafos 94 Grafos Bipartidos Exemplos: Figure: Grafos Bipartidos Completos - K 3,2 e K 2,3.

96 Tipos de grafos 95 Grafos Bipartidos Exemplos: Figure: Grafos Bipartidos Completos - K 4,3

97 Tipos de grafos 96 Problema da designação Aplicações: schedule Problemas de atribuição (tarefas/pessoas).