Matemática discreta e Lógica Matemática

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1 AULA - Prof. Dr. Hércules A. Oliveira UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática

2 Definição 1 Um Grafo G = (V, E) consiste em V, um conjunto não vazio de vértices (ou nós), e E, um conjunto de arestas. Cada aresta tem um ou dois vértices associados a ela, chamados de suas extremidades. Dizemos que uma aresta liga ou conecta suas extremidades. OBS: O conjunto de vértices V de G pode ser infinito. Este é chamado de Grafo infinito. Caso contrário é um Grafo finito.

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4 Definição 2 Um Grafo orientado (ou dígrafo)(v, E) consiste em V, um conjunto não vazio de vértices (ou nós), e E, um conjunto de arestas. E cada aresta orientada está associada a um par ordenado de vértices. É dito que aresta orientada associada ao par ordenado(u, v) começa em u e termina em v.

5 Tipos Grafo Simples: cada aresta conecta dois vértices diferentes{u, v}. Multigrafos: arestas multiplas: várias arestas conectadas ao mesmo vértices. Multiplicidade m. Laços: Arestas que conectam um vértices a sí mesmo.

6 Exemplos 1 de Relacionamento; 2 de Colaboração; 3 de chamadas; 4 da Web; 5 Mapa Rodoviário.

7 Exemplos 1 de Relacionamento; 2 de Colaboração; 3 de chamadas; 4 da Web; 5 Mapa Rodoviário.

8 Terminologia Definição 1 1 Dois vértices u e v em um grafo não orientado G são ditos adjacentes (ou vizinhos) em G se u e v são extremidades de uma aresta de G. 2 Se e estiver a associado a{u, v}, a aresta e é dita incidente aos vértices u e v. Diz-se também que a aresta e conecta u e v. 3 Os vértices u e v são chamados de extremidades de uma aresta associada a{u, v}.

9 Terminologia Definição 1 1 Dois vértices u e v em um grafo não orientado G são ditos adjacentes (ou vizinhos) em G se u e v são extremidades de uma aresta de G. 2 Se e estiver a associado a{u, v}, a aresta e é dita incidente aos vértices u e v. Diz-se também que a aresta e conecta u e v. 3 Os vértices u e v são chamados de extremidades de uma aresta associada a{u, v}.

10 Terminologia Definição 2 1 O grau de um vértice de um grafo não orientado é o número de arestas incidentes a ele, exceto que um laço em um vértice contribui duas vezes ao grau daquele vértice. 2 O grau de um vértice v é indicado por gr(v). Exemplo 1 Quais são os graus dos vértices nos grafos G e H da figura? S: Em G: gr(a) = 2, gr(b) = gr(c) = gr(f) = 4, gr(d) = 1, gr(e) = 3, gr(g) = 0. Em H: gr(a) = 4, gr(b) = gr(e) = 6, gr(c) = 1, gr(d) = 5.

11 Terminologia Definição 2 1 O grau de um vértice de um grafo não orientado é o número de arestas incidentes a ele, exceto que um laço em um vértice contribui duas vezes ao grau daquele vértice. 2 O grau de um vértice v é indicado por gr(v). Exemplo 1 Quais são os graus dos vértices nos grafos G e H da figura? S: Em G: gr(a) = 2, gr(b) = gr(c) = gr(f) = 4, gr(d) = 1, gr(e) = 3, gr(g) = 0. Em H: gr(a) = 4, gr(b) = gr(e) = 6, gr(c) = 1, gr(d) = 5.

12 Terminologia Obs 1 Um vértice com grau zero é dito isolado. 2 Um vértice com grau um é dito pendente.

13 Terminologia Obs 1 Um vértice com grau zero é dito isolado. 2 Um vértice com grau um é dito pendente.

14 Teorema do aperto de mãos Teorema 1 1 Seja G = (V, E) um grafo não orientado com e arestas. Então 2e = gr(v). (1) v V 2 Observe que isto se aplica mesmo que arestas múltiplas e laços estejam presentes. Exemplo 2 Quantas arestas existem num grafo com 10 vértices, cada um de grau 6? S: Como a soma dos graus dos vértices é(6)(10) = 60, segue que 2e = v V gr(v), 2e = 60. (2)

15 Teorema do aperto de mãos Teorema 1 1 Seja G = (V, E) um grafo não orientado com e arestas. Então 2e = gr(v). (1) v V 2 Observe que isto se aplica mesmo que arestas múltiplas e laços estejam presentes. Exemplo 2 Quantas arestas existem num grafo com 10 vértices, cada um de grau 6? S: Como a soma dos graus dos vértices é(6)(10) = 60, segue que 2e = v V gr(v), 2e = 60. (2)

16 Teorema do aperto de mãos Teorema 1 1 Seja G = (V, E) um grafo não orientado com e arestas. Então 2e = gr(v). (1) v V 2 Observe que isto se aplica mesmo que arestas múltiplas e laços estejam presentes. Exemplo 2 Quantas arestas existem num grafo com 10 vértices, cada um de grau 6? S: Como a soma dos graus dos vértices é(6)(10) = 60, segue que 2e = v V gr(v), 2e = 60. (2)

17 Teorema do aperto de mãos Teorema 2 Um grafo não orientado tem um número par de vértices de grau ímpar. Definição 3 Quando(u, v) for uma aresta de um grafo G com arestas orientadas, dizemos que u é adjacente para v e v é adjacente a partir de u. Definição 3 O vértice u é dito vértice inicial de(u, v), e v é dito vértice final de (u, v). Os vértice final e inicial de um laço são os mesmos.

18 Teorema do aperto de mãos Teorema 2 Um grafo não orientado tem um número par de vértices de grau ímpar. Definição 3 Quando(u, v) for uma aresta de um grafo G com arestas orientadas, dizemos que u é adjacente para v e v é adjacente a partir de u. Definição 3 O vértice u é dito vértice inicial de(u, v), e v é dito vértice final de (u, v). Os vértice final e inicial de um laço são os mesmos.

19 Teorema do aperto de mãos Teorema 2 Um grafo não orientado tem um número par de vértices de grau ímpar. Definição 3 Quando(u, v) for uma aresta de um grafo G com arestas orientadas, dizemos que u é adjacente para v e v é adjacente a partir de u. Definição 3 O vértice u é dito vértice inicial de(u, v), e v é dito vértice final de (u, v). Os vértice final e inicial de um laço são os mesmos.

20 Definição 4 Em um grafo com arestas orientadas, o grau de entrada de um vértices v, indicado por gr (v), é o número de arestas que tem v como seu vértice final. Definição 4 O grau de saída de v, indicado por gr + (v), é o número de arestas que tem v como seu vértice inicial.

21 Definição 4 Em um grafo com arestas orientadas, o grau de entrada de um vértices v, indicado por gr (v), é o número de arestas que tem v como seu vértice final. Definição 4 O grau de saída de v, indicado por gr + (v), é o número de arestas que tem v como seu vértice inicial.

22 Exemplo Encontre o grau de entrada e o grau de saída de cada vértice no grafo G com arestas orientadas mostrado na figura. Solução: Entrada gr (a) = 2, gr (b) = 2, gr (c) = 3, gr (d) = 2 gr (e) = 3, gr (f) = 0. Solução: saída gr + (a) = 4, gr + (b) = 1, gr + (c) = 2, gr + (d) = 2 gr + (e) = 3, gr + (f) = 0.

23 Exemplo Encontre o grau de entrada e o grau de saída de cada vértice no grafo G com arestas orientadas mostrado na figura. Solução: Entrada gr (a) = 2, gr (b) = 2, gr (c) = 3, gr (d) = 2 gr (e) = 3, gr (f) = 0. Solução: saída gr + (a) = 4, gr + (b) = 1, gr + (c) = 2, gr + (d) = 2 gr + (e) = 3, gr + (f) = 0.

24 Teorema Teorema 3 Seja G = (V, E) um grafo com arestas orientadas. Então gr (v) = gr + (v) = E. (3) v V v V

25 Especiais Simples Completos completos de n vértices indicado por K n é o grafo simples que contém exatamente uma aresta entre cada par de vértices distintos.

26 Especiais Simples Ciclos O Ciclo C n, para n 3 consiste em n vértices v 1, v 2,, v n e arestas {v 1, v 2 },{v 2, v 3 },,{v n 1, v n },{v n, v 1 }.

27 Especiais Simples n-cubo Roda W n, quando adicionamos mais um vértices ao Ciclo C n para n 3. n-cubo O n-cubo Q n. O hipercubo de dimensão n ou n-cubo, é o grafo que tem vértices que representa as 2 n sequências de bit de comprimento n.

28 Bipartidos Definição 5 Um grafo simples G é dito bipartido se o seu conjunto V de vértices pode ser dividido em dois conjuntos disjuntos V 1 e V 2 tal que cada aresta do grafo conecta um vértice em V 1 e um vértice em V 2. - Quando esta condição é válida, chamamos por(v 1, V 2 ) de bipartição do conjunto de vértices V de G. Exemplo C 6 é bipartido, pois seu conjunto de vértices pode ser dividido em V 1 = {v 1, v 3, v 5 } e V 2 = {v 2, v 4, v 6 }. Cada aresta conecta em vértice em V 1 e um em V 2. K 3 não é bipartido.

29 Bipartidos Definição 5 Um grafo simples G é dito bipartido se o seu conjunto V de vértices pode ser dividido em dois conjuntos disjuntos V 1 e V 2 tal que cada aresta do grafo conecta um vértice em V 1 e um vértice em V 2. - Quando esta condição é válida, chamamos por(v 1, V 2 ) de bipartição do conjunto de vértices V de G. Exemplo C 6 é bipartido, pois seu conjunto de vértices pode ser dividido em V 1 = {v 1, v 3, v 5 } e V 2 = {v 2, v 4, v 6 }. Cada aresta conecta em vértice em V 1 e um em V 2. K 3 não é bipartido.

30 Bipartidos Exemplo G e H são bipartidos? G sim, pois {a, b, d} e {c, e, f, g}. - H não é.

31 Bipartidos Exemplo G e H são bipartidos? G sim, pois {a, b, d} e {c, e, f, g}. - H não é.

32 FIM

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CONCEITOS BÁSICOS EM GRAFOS Um grafo (simples) G é formado por um conjunto de vértices, denotado por V(G), e um conjunto de arestas, denotado por E(G). Cada aresta é um par (não ordenado) de vértices distintos. Se xy é uma aresta,

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