Estruturas de Dados Grafos

Transcrição

1 Estruturas de Dados Grafos Prof. Eduardo Alchieri

2 (introdução) Grafo é um conjunto de pontos e linhas que conectam vários pontos Formalmente, um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: V - conjunto não vazio: os vértices do grafo; A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w V: as arestas do grafo. Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: V = {t t é um time de futebol} A = {(v,w) v é do mesmo estado de w} G1: Corintians São Paulo Santos Neste exemplo estamos considerando a relação v é do mesmo estado de w, que é uma relação simétrica Palmeiras

3 (conceitos) Digrafo (Grafo orientado) Considere o grafo definido a seguir: V = {t t é um time de futebol} A = {(v,w) v é melhor do que w} No caso de um digrado, as arestas são chamadas de arcos São Paulo Inter G2: Corintians Santos Palmeiras Neste exemplo estamos considerando a relação v é melhor do que w, que não é uma relação simétrica

4 G1: COR SPL SAN Grafos (conceitos) G2: COR SPL SAN PAL PAL Ordem: A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices, ou seja, pelo número de vértices de G. Ordem de (G1) = 4 Adjacência: em um grafo não orientado, dois vértices v e w são adjacentes se há uma aresta a = (v,w) em G. Esta aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. É o caso de SAN e PAL em G1. No caso de digrafos, a adjacência é dividida em: Sucessor: um vértice w é sucessor de v se há um arco de v para w. Em G2, COR é sucessor de SPL. Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um arco de v para w. Em G2, SPL é antecessor de COR.

5 G1: COR SPL PAL Grafos (conceitos) Grau: o grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Em G1, grau de SAN = 3 SAN No caso de digrafos, a noção de grau é dividida em: COR SPL Grau de emissão: corresponde ao número de arcos que partem de um vértice v Em G2, grau de emissão de COR = 1 Grau de recepção: corresponde ao número de arcos que chegam a um vértice v Em G2, grau de recepção de PAL = 2 Fonte: Um vértice v é uma fonte caso seu grau de recepção for zero. Exemplo, SPL em G2. Sumidouro: Um vértice v é um sumidouro caso seu grau de emissão for zero. Exemplo, PAL em G2. G2: PAL SAN

6 (conceitos) Grafo valorado: um grafo G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. Seja G(V,A) onde: V = {v v é uma cidade com aeroporto} A = {(v,w,t) <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de voo>}

7 (conceitos) Multigrafo: um grafo G(V,A) é dito ser um multigrafo quando existem múltiplas arestas entre pares de vértices de G. No grafo G8, por exemplo, há duas arestas entre os vértices A e C e entre os vértices A e B, caracterizando-o como um multigrafo Subgrafo: um grafo G s (V s, A s ) é dito ser subgrafo de um grafo G(V,A) quando V s subgrafo de G 8. V e A s A. O grafo G 9, por exemplo, é

8 (conceitos) Grafo conexo: um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices deste grafo G Grafo desconexo: um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia

9 (conceitos) Base: uma base de um grafo G(V,A) é um subconjunto B V, tal que: Dois vértices quaisquer de B não são ligados por nenhum caminho Todo vértice não pertencente a B pode ser atingido por um caminho partindo de B Anti-base: uma anti-base de um grafo G(V,A) é um subconjunto AB V, tal que: Dois vértices quaisquer de AB não são ligados por nenhum caminho De todo vértice não pertencente a AB pode ser atingir AB por um caminho

10 (conceitos) Raiz: se a base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, então esta base é a raiz de G Anti-raiz: se a anti-base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, então esta anti-base é a anti-raiz de G

11 (implementação) Matriz de Adjacência Cada posição na matriz é um arco Linha indica o nó de saida do arco Coluna indica o nó de chegada Valor da posição indica a existência ou não do arco (também pode indicar o peso associado ao arco) Deve ser utilizada para grafos densos, onde o número de arcos A é próximo do número de vértices ao quadrado V 2 Complexidade de espaço O(V 2 ) O tempo necessário para acessar um elemento é constante Ler ou examinar a matriz tem complexidade de tempo O(V 2 )

12 (implementação) Matriz de Adjacência

13 (implementação) Lista de Adjacência Os vértices de uma lista de adjacência são em geral armazenados em uma ordem arbitraria Possui uma complexidade de espaco O( V + A ) Indicada para grafos esparsos, onde A é muito menor do que V 2 É compacta e usualmente utilizada na maioria das aplicações Tempo O( V ) para determinar se existe uma aresta entre os vértices i e j, pois podem existir O( V ) vértices na lista de adjacentes do vertice i

14 (implementação) Lista de Adjacência

15 (aplicações) Muitos problemas reais podem ser reduzidos a problemas em grafos Vértices são cidades e arcos são estradas: os grafos auxiliam a tracar os caminhos e descobrir o caminho mais curto (ou mais longo) entre cidades Vértices são terminais de dispositivos eletrônicos e arcos representam as conexões entre esses terminais Vértices são tarefas em um projeto e arcos representam as dependências entre as tarefas

16 (busca) Busca: o objetivo de uma busca é explorar um grafo, i.e., obter um processo sistemático de como cominhar por seus vértices e arestas Raiz da busca: o vértice inicial da busca Existem basicamente dois tipos de busca Profundidade Largura Busca o mais profundo no grafo sempre que possível Busca primeiro nos vértices localizados a uma mesma distância da raiz de busca

17 (busca em profundidade) A estratégia é buscar o mais profundo no grafo sempre que possível Os arcos são exploradas a partir do vértice v mais recentemente descoberto que ainda possui arestas não exploradas saindo dele Quando todas as arestas adjacentes a v tiverem sido exploradas a busca anda para trás para explorar vértices que saem do vértice do qual v foi descoberto

18 (busca em profundidade - algoritmo) busca_profundidade (inicio, alvo, G) empilha(pilha, inicio); e marque inicio Enquanto!estaVazia(pilha) faça v = gettopo(pilha); Av = o conjunto de arestas\arcos de v ainda não exploradas em G Se (Av!= null) então retire um arco\aresta (v,w) de Av Se (w não está marcado) então Se (w == alvo) então retorne w; marque e empilhe w (empilhe(pilha,w)) Senão desempilhe(pilha); //retira v do topo da pilha retorne null;

19 (busca em profundidade - algoritmo) Execute o algoritmo com o seguinte digrafo G(V,A) V = {1,4,5,6,7,8} A = {(1,4), (4,5), (4,6), (1,7), (7,6), (7,8)} Considere o vértice inicial = 1 e o alvo = 8.

20 (busca em largura) Expande a fronteira entre vértices descobertos e não descobertos uniformemente através da largura da fronteira O algoritmo descobre todos os vertices a uma distância k do vértice de origem antes de descobrir qualquer vértice a uma distância k + 1

21 (busca em largura - algoritmo) busca_largura (inicio, alvo, G) enfileirar(fila,inicio); e marque inicio Enquanto!estaVazia(fila) faça v = desenfileirar(fila); Se (v == alvo) então retorne v; Av = o conjunto de arestas\arcos de v em G para cada (v,w) em Av tal que w não está marcado faça: marque e enfileire w (enfileirar(fila,w)) retorne null;

22 (busca em largura - algoritmo) Execute o algoritmo com o seguinte digrafo G(V,A) V = {1,4,5,6,7,8} A = {(1,4), (4,5), (4,6), (1,7), (7,6), (7,8)} Considere o vértice inicial = 1 e o alvo = 8.

23 (busca) Complexidade temporal de ambos os algoritmos de busca é O( V + A ) Complexidade espacial da busca em profundidade é O(h), onde h é o comprimento do mais longo caminho no grafo Complexidade espacial da busca em largura é O( V )

24 (Ordenamento Topológico) Uma ordenação topológica de um digrafo acíclico (DAG) é uma ordem linear de seus nós em que cada nó vem antes de todos nós para os quais este tenha arestas de saída Ordenaçao linear de todos os vértices, tal que se DAG contém uma aresta (u, v) então u aparece antes de v Pode ser vista como uma ordenação de seus vértices ao longo de uma linha horizontal de tal forma que todas as arestas estão direcionadas da esquerda para a direita Um grafo pode ter vários ordenamentos topológicos possíveis

25 (Ordenamento Topológico) Exemplo: Possíveis ordenações topológicas? 7, 5, 3, 11, 8, 2, 9, 10 3, 5, 7, 8, 11, 2, 9, 10 3, 7, 8, 5, 11, 10, 2, 9 5, 7, 3, 8, 11, 10, 9, 2 7, 5, 11, 3, 10, 8, 9, 2 7, 5, 11, 2, 3, 8, 9, 10

26 (Ordenamento Topológico) Algoritmo Simular no exemplo anterior!

27 (Ordenamento Topológico) Aplicações Programação de uma sequência de trabalhos ou tarefas Exemplo (escalonamento de tarefas):

28 (Caminho mais curto) Muitas das aplicações de grafos necessitam encontrar o caminho mais curto entre dois vertices de um grafo ponderado Para isso consideraremos um grafo com arestas ponderadas (valoradas), tanto direcionais como não direcionais, nos quais o peso se refere ao custo de atravessar a aresta (as unidades de custo dependem da aplicação) Exemplo: um grafo direcionado para representar uma rede de aeroportos Vértices representam os aeroportos Arestas representam os vôos disponíveis entre os aeroportos Custo das arestas podem representar: o tempo de vôo, o custo do vôo, a distância entre os aeroportos, etc.

29 (Caminho mais curto) Existem duas abordagens para se calcular o caminho mais curto Caminho mais curto a partir de uma única fonte Algoritmo de Djikstra Caminho mais curto entre todos os pares de vértices do grafo Algoritmo de Floyd

30 (Algoritmo de Djikstra) Escolhido um vértice como raiz da busca, este algoritmo calcula o custo mínimo deste vértice para todos os demais vértices do grafo O algoritmo pode ser usado sobre grafos orientados, ou não, e considera que todas as arestas possuem pesos não negativos (nulo é possível)

31 (Algoritmo de Djikstra) Seja G(V,A) um grafo direcionado e v um vértice de G: 1. Atribuição de distâncias: 0 ao vértice inicial v; aos demais. 2. Marcar todos os vértices como abertos (não visitados) e o inicial como atual 3. Para cada vértice aberto adjacente ao atual, atribua a distância estimada dele até o nó inicial. Se a distância for menor que a distância registrada, atualize o valor. 4. Depois de processar todos os nós abertos adjacentes ao atual, marque-o como fechado (visitado). Sua distância é final e mínima. 5. Escolha o nó aberto de menor distância como novo nó atual e vá para 3, termine se não houver.

32 (Algoritmo de Djikstra) Exemplo:

33 (Algoritmo de Djikstra) Aplicações Protocolos de roteamento dinâmicos (OSPF, IS-IS). Algoritmo de planejamento de rota. Análise de circuitos elétricos. Etc.

34 (Árvore Geradora de Custo Mínimo) Considere um grafo não direcionado e conectado; e que associada a cada arco há uma distância não negativa. O objetivo é encontrar o caminho mais curto de tal maneira que os arcos fornecam um caminho entre todos os pares de nós O subgrafo que conecta todos os vértices é uma árvore geradora. Essa árvore é uma árvore geradora mínima se o comprimento total é o menor possível Este subgrafo possui as seguintes propriedades Possui o mesmo conjunto de vértices do grafo É conexo É acíclico

35 (Árvore Geradora de Custo Mínimo) Podem haver várias árvores geradoras mínimas, com o mesmo comprimento Se cada arco tem um peso diferente, existe uma única árvore geradora mínima A árvore geradora mínima é o subgrafo de menor custo conectando todos os vértices

36 (Árvore Geradora de Custo Mínimo) Algoritmo de Prim: as arestas adicionadas ao subconjunto (árvore) devem ser as de mínimo peso que conectam a árvore a um vértice ainda não presente Entrada: um grafo G(V,A) conectado e ponderado (valorado) Inicialize V' = {u}, onde u é um nó arbitrário de V e A' = {} Repita até que V' = V: Escolha uma aresta (u, v) de A com o mínimo peso tal que u esteja em V' e v ainda não Adicione v a V' e (u, v) a A' Saída: subgrafo G'(V',A'), que é a árvore geradora mínima de G

37 (Árvore Geradora de Custo Mínimo) Exemplo:

38 (Árvore Geradora de Custo Mínimo) Exemplo de Aplicação: instalação de fíbras ópticas no campus de uma universidade Cada trecho de fíbra óptica entre os prédios possui um custo associado Um grafo fornece todas as conexões possíveis entre os prédios Uma árvore geradora fornece um modo de conectar todos os prédios sem redundância Uma árvore geradora mínima desse grafo nos daria uma árvore com o menor custo para fazer essa ligação