GRAFOS Aula 08 Árvore Geradora Mínima: Algoritmos de Kruskal e Prim-Jarnik Max Pereira

Transcrição

1 Ciência da Computação GRAFOS Aula 08 Árvore Geradora Mínima: Algoritmos de Kruskal e Prim-Jarnik Max Pereira

2 Árvore Geradora (spanning tree) É um subconjunto de um grafo G que possui todos os vértices cobertos por um número mínimo possível de arestas. Dessa forma, uma árvore geradora não tem ciclos e não pode ser desconexa. Por essa definição podemos chegar a conclusão de que todos os grafos conexos e não dirigidos têm pelo menos uma árvore geradora.

3 Árvore Geradora (spanning tree) Um grafo completo não dirigido pode ter no máximo n n-2 árvores geradoras, onde n é o número de vértices.

4 Árvore Geradora (spanning tree) Propriedades: Um grafo conexo G pode ter mais de uma árvore geradora; Todas as árvores possíveis do grafo G têm o mesmo número de arestas e vértices; A árvore geradora não possui qualquer ciclo (loops); A remoção de uma aresta em uma árvore geradora fará com que o grafo fique desconexo (a árvore geradora é minimamente conexa); A adição de uma aresta em uma árvore geradora criará um ciclo ou loop (a árvore geradora é maximamente acíclica).

5 Árvore Geradora (spanning tree) Propriedades matemáticas: Uma árvore geradora tem n-1 arestas, onde n é o número de vértices; A partir de um grafo completo, removendo-se o máximo e n + 1 arestas, podemos construir uma árvore geradora; Um grafo completo pode ter mo máximo n n-2 árvores geradoras.

6 Árvore Geradora Mínima (minimum spanning tree) Em um grafo valorado, uma árvore geradora minima é uma árvore geradora que possui o menor custo entre todas as árvores possíveis no mesmo grafo. O custo de uma árvore geradora é a soma dos pesos de todas as arestas na árvore.

7 Árvore Geradora Mínima (minimum spanning tree) Como encontrar a árvore geradora de custo mínimo?

8 Algoritmo de Kruskal Author: Joseph B. Kruskal Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 48-50

9 Algoritmo de Kruskal Procedimento: 1. Ordenar todas as arestas em ordem crescente de valores (pesos) 2. Selecionar a menor aresta. Verificar se ela forma um ciclo na árvore geradora. Se não for formado um ciclo, incluir a aresta. Caso contrário, descartá-la. 3. Repetir o passo 2 até obter (V 1) arestas na árvore geradora.

10 Algoritmo de Kruskal O grafo contém 9 vértices e 14 arestas. Dessa forma, a árvore geradora mínima terá (9 1) = 8 arestas.

11 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Depois da ordenação:

12 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (7, 6): Sem ciclo, inclui.

13 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (8, 2): Sem ciclo, inclui.

14 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (6, 5): Sem ciclo, inclui.

15 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (0, 1): Sem ciclo, inclui.

16 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (2, 5): Sem ciclo, inclui.

17 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (8, 6): Ciclo! Descarta.

18 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (2, 3): Sem ciclo, inclui.

19 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (7, 8): Ciclo! Descarta.

20 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (0, 7): Sem ciclo, inclui.

21 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (1, 2): Ciclo! Descarta.

22 Algoritmo de Kruskal Valor Org Dst Selecione a aresta (3, 4): Sem ciclo, inclui. Arestas = (V 1) Para!

23 Algoritmo de Kruskal

24 Algoritmo de Prim-Jarnik On a certain problem of minimization

25 Algoritmo de Prim-Jarnik

26 Algoritmo de Prim-Jarnik Procedimento: 1. Criar um conjunto arvconj para manter os vértices já incluídos na árvore geradora mínima. 2. Atribuir valores para todos os vértices no grafo. Inicializar todos os valores como infinito. Atribuir um valor zero para o primeiro vértice. 3. Enquanto o conjunto arvconj não estiver completo (todos os vértices) a) Selecionar um vértice u que não esteja no conjunto e tenha o menor valor. b) Incluir o vértice u no conjunto arvconj c) Alterar o valor de todos os vértices adjacentes a u. Para cada vértice adjacente v, se o valor da aresta u-v for menor do que o valor anterior de v, alterar o valor do vértice para o valor da aresta u-v.

27 Algoritmo de Prim-Jarnik O conjunto arvconj inicialmente está vazio e os valores atribuídos aos vértices são {0,,,,,,, }

28 Algoritmo de Prim-Jarnik Selecione o vértice com o menor valor e inclua no conjunto arvconj. Depois de incluir o vértice altere os valores dos vértices adjacentes 1 e 7. Os valores dos vertices são alterados para 4 e 8 respectivamente. arvconj = {0}

29 Algoritmo de Prim-Jarnik Escolha o vértice com o menor valor e que ainda não esteja no conjunto arvconj. O vértice 1 será escolhido e adicionado ao conjunto. Altere os valores dos vertices adjacentes ao vértice 1. O valor do vértice 2 torna-se 8. arvconj = {0, 1}

30 Algoritmo de Prim-Jarnik Aqui podemos escolher o vértice 7 ou o vértice 2. Vamos escolher o vértice 7. Altere os valores dos vértices adjacentes ao vértice 7. Os valores dos vértices 6 e 8 tornam-se 7 e 1 respectivamente. arvconj = {0, 1, 7}

31 Algoritmo de Prim-Jarnik O vértice 6 será escolhido (menor valor e ainda não está no conjunto arvconj). Altera-se os valores dos adjacentes ao vértice 6. Os valores dos vertices 5 e 8 serão alterados. arvconj = {0, 1, 7, 6}

32 Algoritmo de Prim-Jarnik Continuamos repetindo os passos até que todos os vértices estejam incluídos no conjunto arvconj. Finalmente teremos o seguinte grafo.

33 Algoritmo de Prim-Jarnik

34 Trabalho 3 Resolução do problema da árvore geradora mínima: Entrada: Tipo de grafo: não-orientado Valorado - somente arestas Conjunto V Conjunto E Saída: As arestas do subgrafo (árvore geradora mínima) e o custo. Implementar os dois algoritmos: Kruskal e Prim-Jarnik