Disciplina: Matemática Discreta Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa

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1 Disciplina: Matemática Discreta Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa Aula -Grafos Uma figura vale por mil palavras A representação de dados e ou informações utilizando de recursos visuais é, em muitos casos, uma poderosa ferramenta para a compreensão. O problema das pontes de Könisberg (atual Prússia) foi resolvido por Euler que foi o primeiro a apresentar o que denominamos como grafo. O problema consistia em descobrir um caminho que passasse por todas as pontes retornando ao ponto de partida passando uma única vez por cada ponte. Pontes de Könesberg Representação do problema Grafo É uma tripla ordenada (N, A, g) para: N= conjunto de vértices (nós ou nodos) A= conjunto de arestas (ou arcos) g= função que associa os extremos (vértices) da aresta (ou arco) Arco é o par ordenado (A,B), ou seja, tem o sentido de A para B; Aresta é o par (A,B) ou (B,A), neste caso a ligação também não tem sentido.

2 Tipos de Grafos Orientado Não orientado Misto Terminologias Vértices adjacentes: são os extremos do mesmo arco ou aresta; Incidência: uma aresta é incidente em v1 e v2, se v1 e v2 são extremos da aresta; Laço: é o arco ou aresta com extremo a-a, ou seja, tem como extremos um único vértice; Arestas paralelas: são Arestas com os mesmos extremos Grafo simples: é o grafo que não contém laços ou arestas paralelas Vértice isolado: não é adjacente a nenhum outro vértice Grau do vértice: é o número arestas que o vértice é extremo (para um laço o grau é 2); Grafo completo: todos os vértices distintos são adjacentes (entende-se que por considerar os vértices distintos então não há laços); Subgrafo: é o conjunto de vértices e arestas que são subconjuntos de vértices e arestas de um grafo original; Passeio de v1 a vn: é o conjunto formado pela sequência de vértices e arestas adjacentes que tem como extremo v1 e vn; Trajeto de v1 a vn: é o conjunto formado pela sequência de vértices e arestas adjacentes que tem como extremo v1 e vn, SEM repetição de arestas; Caminho de v1 a vn: é o conjunto formado pela sequência de vértices e arestas adjacentes que tem como extremo v1 e vn, SEM repetição de vértices ou arestas; Comprimento de um caminho (passeio,trajeto): é o número de arestas que compõem um caminho, uma aresta deve ser contada tantas quantas vezes a mesma for utilizada; Grafo conexo: é o grafo que para qualquer 2 vértices, há um caminho;

3 Ciclo: é um caminho de vn a vn, de maneira que não haja repetição de nenhum vértice utilizado no caminho; Trajeto Grafo Acíclico: é o grafo sem ciclos. Grafos Isomórfos Dois grafos (N1,A1,g1) e (N2,A2,g2) são isomorfos se existirem as bijeções f1:n1->n2 e f2:a1->a2 tais que para cada aresta ( ) se, e somente se [ ( )] ( ) ( ), ou seja, existe a uma função f1 e f2 que estabelecem uma equivalência entre quaisquer vértices e aresta de G1 com G2. Isso se dá pela possibilidade de representação gráfica diferenciada de um mesmo grafo. f1: f2: 1->c a1->e1 2->e a2->e4 3->d a3->e2 4->b. 5->a. Para determinar se 2 grafos são isomorfos, é necessário estabelecer f1 e f2, mas para determinar que eles não são, basta que uma dessas condições aconteça: 1. Um grafo tem mais vértices que o outro; 2. Um grafo tem mais Aretas que o outro; 3. Um grafo tem mais arestas paralelas que ou outro; 4. Um grafo tem mais laços que o outro; 5. Um grafo tem um vértice com grau k que o outro não tem; 6. Um grafo é conexo e o outro não; 7. Um grafo tem um ciclo que o outro não tem.

4 Grafos ponderados Grafos ponderados são grafos que associam um valor numérico à aresta ou arco associado. É comumente utilizado para representar o custo da função que associa os vértices. Ex: mapas rodoviários são grafos com distâncias associadas às arestas (rodovias) Árvores Árvore é um grafo acíclico conexo com um vértice (nós) denominado como raiz da árvore. Terminologias: Profundidade de um vértice: é o comprimento do caminho entre a raiz e o vértice; Altura da árvore: é a maior profundidade existente considerando qualquer vértice; Folha: é um vértice sem filhos; Vértices internos: são os vértices que não são folhas; Árvore binária: é a denominação dada para a árvore onde cada vértice tem no máximo e 2 filhos, o filho a esquerda e o filho a direita; Árvore binária completa; é a árvore que todos os nós internos tem 2 filhos e todas as folhas tem a mesma profundidade. Árvore Árvore binária Árvore binária completa Número das arestas de uma árvore Uma árvore com n vértices tem n-1 arestas.

5 Representação computacional de grafos A representação computacional de grafos é feita por uma lista de adjacência ou por uma matriz de adjacência. Matriz de adjacência: Matriz de adjacência Lista de adjacência [ ] [ ] [ ] Matriz é quadrada (n x n), para n p número de vértices; O valor da (l) x (c) é o número de incidências entre os v(l) e v(c); Grafos com poucas arestas geram matrizes esparsas (muitos 0). Matrizes de adjacência tem um custo computacional de posições de memória. Listas de adjacências: A lista de adjacência contém um vetor de elementos com ponteiros, um para cada vértice; O ponteiro de vn aponta para um vértice adjacente que aponta para o outro vértice adjacente de vn; O ponto indica que não há mais apontamentos As listas de adjacência tem um custo computacional da soma dos vértices e dos graus de todos os vértices (observe os laços).

6 Representação de grafos simples ponderadas Matriz de adjacência Lista de adjacência Matriz de adjacência: O valor da (l) x (c) é o custo entre os v(l) e v(c); Listas de adjacências: A lista de adjacência contém um vetor de elementos com ponteiros, um para cada vértice; O ponteiro de vn aponta para uma posição que contém o custo do vértice adjacente e aponta para o outro vértice adjacente de vn. Representação de árvore binária vértice Filho esq Filho dir Grafos orientado e Relações binárias É possível estabeler releção entre os grafos orientado e as propriedades de relações binárias. A propriedade reflexiva das relações binárias ocorre se todos os vértices têm laços; A propriedade simétrica das relações binárias ocorre se para todo arco (vn,vm) existe o arco (vm,vn);

7 Matriz booleana de adjacência (grafos orientado) A matriz booleana de adjacência representa um grafo direcionado valorando ( ) ( ) para o arco existente no grafo. Matriz boolena de adjacência Exercício 1. Para um grafo com 4 vértices: a. represente uma matriz booleana de adjacência somente com a propriedade simétrica; b. represente uma matriz booleana de adjacência somente com a propriedade reflexiva; c. represente uma matriz booleana de adjacência somente com a propriedade anti simétrica; Alcançabilidade Em um grafo direcionado, o vértice vm é alcançável a partir de vn se existir um caminho de vn a vm. A matriz booleana de adjacência representa matriz de alcançabilidade de comprimento 1 denotada como A. Para verificarmos a alcançabilidade de comprimentos maiores que 1 executa-se a multiplicação ordinária de matrizes, ou seja, para a alcançabilidade de comprimento 2 fazemos. Para um grafo de n vértices o maior ciclo terá comprimento n, logo não há a necessidade de verificar alcançabilidades maiores que n.

8 A matriz de alcançabilidade R é dada por