TGR BCC Representação Computacional de Grafos. Prof. Ricardo José Pfitscher

Transcrição

1 TGR BCC Representação Computacional de Grafos Prof. Ricardo José Pfitscher

2 Cronograma Representação Matriz de djacências Lista de djacências Matriz de Incidências

3 Representação Como podemos representar um grafo? través de diagramas: Fácil visualização de alguns aspectos restas, conexões, direções, percursos O uso de diagramas pode facilitar ou dificultar as percepções de propriedades, depende do tamanho e da complexidade Isomorfismo, planaridade representação visual não é adequada para armazenamento computacional Como armazenar a estrutura de um grafo?

4 Representação Precisamos armazenar os dados essenciais da definição de grafos djacências entre vértices, vértices, arestas, etc... Como podemos armazenar? Matriz de adjacências Lista de adjacências Matriz de incidências Nestas estruturas são descritas as relações entre os vértices

5 Matriz de djacência Conceito de adjacência: a é adjacente a b, se a está conectado a b matriz de adjacência deve possuir um valor que represente este conceito Dado um grafo G, a matriz de adjacências r=(r ij ) é uma matriz nxn onde: n é o número de vértices r ij 1, se i é adjacente a j 0, em caso contrário Em outras palavras, em uma matriz quadrada, cada espaço é marcado como 1 se os dois vértices representados tem conexão, caso não tenha, marca 0

6 Matriz de djacência populando a matriz n = 4 X B C D B C D r ij 1, se i é adjacente a j 0, em caso contrário

7 Matriz de djacência Podemos representar dígrafos (grafos direcionados) usando matriz de adjacência? X B C D B C D X B C D B C D

8 Matriz de djacência Podemos representar grafos com arestas laço usando matriz de adjacência? X B C D X B C D B B D B C D C D C

9 Matriz de djacência Podemos representar grafos com arestas valoradas usando matriz de adjacência? X B C D B X B C D B D 3 2 B C D C D C

10 Matriz de djacência Podemos representar dígrafos com arestas valoradas usando matriz de adjacência? X B C D B X B C D B D 3 2 B C D C D C

11 Matriz de djacência Podemos representar grafos com arestas paralelas usando matriz de adjacência? X B C D X B C D B 0? 0 1 B? D B C D C D C

12 Matriz de djacência Vantagens Fácil visualização para vértices adjacentes Útil em algoritmos que precisamos de rapidez para saber se existe conexão entre dois vértices Cálculo do grau do nó Grafos não direcionados: Soma dos números de uma linha Grafos direcionados: Soma da linha: grau de saída Soma da coluna: grau de entrada Desvantages: Requer muito espaço para armazenamento Mais utilizado em grafos densos

13 Lista de djacências Para obter remodelagem de um grafo em tempo de execução, é necessário fazer a alocação dinâmica de sua representação Representação das adjacências entre vértices é feita através de listas lineares

14 Lista de djacências Constituição: Formar um índice de vértices: Vetor dinâmico Lista encadeada Para cada elemento do índice: Lista encadeada, descreve os elementos adjacentes conectados

15 Lista de djacências Definição: Há um vetor de N posições, onde cada um aponta para uma lista, a posição i do vetor aponta para um número j, tal que (V i,v j ) pertence a E B D Null D B B C D Null Null C D C Null

16 Lista de djacências Podemos representar dígrafos (grafos direcionados) usando lista de adjacências?

17 Lista de djacências Podemos representar grafos com arestas laço usando lista de adjacências? D B C

18 Lista de djacências Podemos representar grafos com arestas valoradas usando lista de adjacências? 3 2 D B 5 C

19 Lista de djacências Podemos representar grafos com arestas paralelas usando lista de adjacências? D B C

20 Lista de djacências Exercício:

21 Lista de djacências lista é formada por nós que contém: o dado do vértice (letra) Ponteiro para o vértice adjacente ao indicado no índice lguns casos obrigam algumas alterações nos nós: Inserção de campos Visita ao vértice Valor de chegada Dados para processamento de seqüência do grafo Etc.

22 Lista de djacências Forma mais flexível para representar grafos plicações específicas podem exigir outras formas de representação Podemos descrever grafos através de suas arestas, o que pode indicar o uso de uma matriz

23 Lista de djacências Vantagens: Menor espaço para armazenamento Mais utilizada em grafos esparsos Verificação de grau: Não direcionais: Quantidade de nós em uma linha Direcionais: Desvantagens: Soma da linha: Grau de saída Grau de entrada? O acesso é mais lento

24 Matriz de Incidência Outra representação matricial Baseada em vértices e arestas O grafo é representado a partir das arestas Dado um grafo G, a matriz de incidência b=(b ij ) é uma matriz nxm onde: n é o número de vértices m é o número de arestas b ij 1, se aresta j incide no vértice 0, em caso contrário Em outras palavras, se a aresta surge ou chega no vértice marca como 1, se não, marca 0 i

25 Matriz de Incidência Suponha o grafo e2 e1 D B X e1 e2 e B C D b ij e3 C 1, se aresta j incide no vértice 0, em caso contrário i

26 Matriz de Incidência Propriedades Como cada aresta é incidente a dois vértices, cada coluna terá exatamente dois 1 O número de 1 em cada linha é igual ao grau do vértice correspondente Uma linha que contém somente 0 representa um vértice isolado restas paralelas resultam em duas colunas idênticas

27 Matriz de Incidência Podemos representar dígrafos usando matriz de incidência? b ij 1, se aresta j tem como origem o vértice i 1, se aresta j tem como destino o vértice 0, caso contrário i e2 e1 X e1 e2 e3 X e1 e2 e3 D B B C B C e3 C D D 0-1 1

28 Matriz de Incidência Podemos representar grafos ou dígrafos valorados usando matriz de incidência? b ij valordaaresta, se aresta 0, em caso contrário j incide no vértice i e2-3 e1-2 X e1 e2 e3 B C D X e1 e2 e B C D D e3-5 C B

29 Matriz de Incidência Na maioria das vezes, exige a alocação de uma matriz maior que a de adjacências, então, não é tão utilizada

30 Conclusão tualização de lista dinâmica exige mais tempo que manipulação de tabela Na lista, a adição de novos elementos pode demorar mais, mas ocupa menos espaço

31 Exercício Dado o grafo G: Elaborar a matriz de adjacências Elaborar a lista de adjacências Elaborar a matriz de incidências

32 Árvores e grafos

33 Árvores e grafos Árvore: Grafo não direcionado, acíclico e conectado Existe um caminho entre a raiz e todos os vértices da árvore Como a árvore é acíclica este caminho é único

34 Árvores e grafos Definições: Profundidade de um vértice em uma árvore: É o caminho entre a raiz e o vértice raiz de uma árvore tem profundidade 0 ltura (profundidade) da árvore é a maior profundidade entre os vértices Comprimento do maior caminho entre a raiz e um vértice

35 Árvores e grafos Definições: Um vértice sem filho é chamado de folha Vértices que não são folhas, são chamados de vértices internos Floresta: Qualquer grafo acíclico Coleção de árvores separadas

36 Árvores e grafos Definições: Árvores binárias: Cada nó tem no máximo dois filhos Cada filho é designado como filho a esquerda ou filho a direita Árvore binária completa: Todos os nós internos tem dois filhos Todas as folhas tem a mesma profundidade

37 Árvores e grafos Exemplos: Árvore Binária Árvore Binária Completa

38 Árvores e grafos Expressões algébricas com árvores Operações binárias podem ser representadas com árvores binárias rotuladas Folhas são operandos, vértices internos são operações binárias (2+x)-(y*3) Exercício: ((2+x)-(y*3))+((3*x)-5)

39 Árvores e grafos Propriedades de Árvores: Seja G(V,E) um grafo não orientado. Podemos fazer as seguintes declarações: 1. G é um grafo acíclico não orientado e conectado 2. Dois vértices quaisquer em G estão conectados por um caminho simples e único 3. G é conectado, mas se qualquer aresta for retirada de E, o grafo resultante será desconectado 4. G é acíclico mas se qualquer aresta for adicionada a E, o grafo resultante conterá um ciclo Validar estas proposições no grapthing

40 Árvores e grafos Representar grafos em estruturas de dados árvores: É possível em situações onde os Grafos sejam árvores B * * C D * * E * *

41 Matriz de lcançabilidade

42 Matriz de lcançabilidade Utilizada em grafos direcionados Verificar se existe caminho de um vértice a outro Definição: Em um grafo direcionado, o vértice Vi é alcançável por um vértice Vj se existe caminho entre de Vi até Vj

43 Matriz de lcançabilidade matriz de adjacência de um grafo indica se um vértice possui alcançabilidade a outro com uma rota de um salto Utilizamos a potência a N de uma matriz para identificar a alcançabilidade de um vértice para N saltos N deve ser menor ou igual ao número de vértices Potência 2, dois saltos Potência 3, três saltos...

44 Matriz de lcançabilidade potência booleana de uma matriz é dada por: ( 2) [ i, j] k ( a Resultado, para cada 1 na matriz, existe um caminho com dois saltos do vértice i para o vértice j Se fizermos uma nova potência, teremos a alcançabilidade para 3 saltos e assim sucessivamente n 1 ik a kj )

45 Matriz de lcançabilidade Exemplo, dado o grafo, elaborar a matriz de adjacências e a de alcançabilidade para 2 saltos

46 Matriz de lcançabilidade Para identificarmos se um vértice é alcançável a partir de um caminho de qualquer tamanho, fazemos uma soma booleana entre as N matrizes de alcançabilidade R (2) (3)... ( N) Se a posição for igual a 1 indica que existe um caminho entre o vértice i e o vértice j.

47 Matriz de lcançabilidade Exemplo, dado o grafo, elaborar a matriz de alcançabilidade para N saltos

48 Matriz de lcançabilidade Implementação deste algoritmo, quanto trabalho é necessário para executar? 1. Elaborar as N matrizes de alcançabilidade 2. Realizar as operações N de soma entre as potências Uso de algoritmo mais eficiente para computar esta matriz lgoritmo de Warshall

49 Matriz de lcançabilidade Pseudocódigo matriz é atualizada a cada passo, o que indica menor espaço para armazenamento Exercício: Implementar o algoritmo

50 Bibliografia GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Rio de Janeiro. 3ª Ed. Editora. Complementar: Outras aulas disponíveis na web