INF 1010 Estruturas de Dados Avançadas

Transcrição

1 INF Estruturas de Dados Avançadas Grafos // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

2 Aplicações de grafos grafo vértices arestas Cronograma tarefas restrições de preferência Malha viária interseções de ruas ruas Rede de água (telefônica, ) Redes de computadores Edificações (telefones, ) computadores Canos (cabos, ) linhas Software funções chamadas de função Web páginas Web links Redes Sociais pessoas relacionamentos // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

3 Grafos... não são estruturas de dados, e sim estruturas matemáticas que implementamos com estruturas de dados // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

4 Grafo não dirigido Um grafo não dirigido é um par G = (V,E), onde V é um conjunto de nós ou vértices e E é um conjunto de arestas uma aresta é um conjunto de vértices Exemplos vértices: V = {,,,} arestas: E = {{,},{,},{,},{,},{,},{,}} vértices : V = {,,,,,,} arestas: E = {{,},{,},{,},{,},{,},{,}} // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

5 Grafo dirigido (orientado, ou Digrafo) Um grafo dirigido é um par G = (V,E), onde V é um conjunto de n nós ou vértices e E é um conjunto de m arcos um arco é um par ordenado de vértices Exemplo vértices: V = {,,} arcos: E = {(,), (,), (,)} // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

6 Grafo dirigido (orientado, ou digrafo) Exemplo - Digrafo com auto-arco vértices: V = {,,,} arcos: E = {(,), (,), (,), (,), (,)} // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

7 Grafo ponderado Um grafo ponderado é uma tripla G = (V,E,p), onde V é um conjunto de n nós ou vértices e E é um conjunto de m arcos p é uma função que atribui a cada arco um peso Exemplo // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7

8 Multigrafo Um multigrafo é um grafo onde dois nós podem estar conectados por mais de uma aresta Exemplo // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8

9 Vértices adjacentes Vértices conectados por arestas 7 e e e e e e e 7 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9

10 Subgrafo G alguns subgrafos de G // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

11 Subgrafo G alguns subgrafos de G // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

12 Grafo completo Um grafo não direcionado é completo sse cada vértice está conectado a cada um dos outros vértices por uma aresta Quantas arestas há em um grafo completo de n vértices? // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

13 Grafo completo Um grafo não direcionado é completo sse cada vértice está conectado a cada um dos outros vértices por uma aresta Quantas arestas há em um grafo completo de n vértices? n (n-)/ // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

14 Grafo conectado Um grafo não direcionado é conectado sse existe um caminho entre quaisquer dois vértices Componente conexa de um grafo G H H 7 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

15 Grau Um vértice possui grau n sse há exatamente n arestas incidentes ao vértice Exemplo: Exemplo: grau do vértice : grau de entrada do vértice : grau de saída do vértice : Problema das pontes de Königsberg G Só há solução se o grau de cada vértice for par // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

16 Caminhos e ciclos Caminho de comprimento entre A e C de comprimento entre B e G, passando por H de comprimento entre B e G, passando por F de comprimento de A a F H B G C E F A D // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

17 Ciclos Um ciclo é um caminho de um nó para ele mesmo exemplo: B-F-G-B H Grafo cíclico B G C contém um ou mais ciclos Grafo acíclico E F A D não contém ciclos // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7

18 Representações de grafo Matriz de adjacências Listas de adjacências (incidências) // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8

19 Matriz de adjacências mat[i][j] =, se houver uma aresta do nó i para o nó j, caso contrário G // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9

20 Matriz de adjacências G // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

21 Matriz de adjacências G // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

22 Matriz de adjacências G H H // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

23 Percursos em grafos em profundidade (depth-first search) arestas que partem do vértice visitado por último em largura (breadth-first search) arestas que partem do vértice visitado primeiro guloso (greedy) arestas de menor custo, menor caminho // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

24 Percursos em grafos Cada vértice examinado deve ser marcado como visitado Por quê? // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

25 Percurso em largura breadth first search // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

26 dfs iniciando em dfs() dfs() dfs() dfs() dfs() dfs() dfs() 8 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

27 bfs iniciando em bfs() -> enfileira, [,] bfs() -> enfileira, [,,] bfs() -> enfileira [,,] bfs() [,] bfs() -> enfileira [,] bfs() [] bfs() [] 8 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7

28 algoritmos em grafos até agora não usamos os pesos das arestas para nada 8 8

29 problemas comuns caminhos mais curtos árvores geradoras 8 8

30 problemas comuns caminho mais curto caminho entre nós I e j com menor peso total de arcos 8 8

31 problemas comuns caminho mais curto caminho entre nós I e j com menor peso total de arcos 8 8

32 Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Dijkstra Entradas: Saída: Um grafo ponderado G = (V,E,p) Um vértice V do grafo Menor caminho entre V e cada um dos nós do grafo // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

33 8 8

34 8 8 8

35 8 8 8

36

37

38

39

40

41 não tem vizinhos não visitados!

42 não tem vizinhos não visitados!

43 Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Dijkstra /* Menor caminho entre um nó de origem e um de destino */.Defina o nó de origem.atribua a todos os nós um valor de distância ao nó de origem: valor zero ao nó de origem, e infinito para todos os outros nós..marque todos os demais nós como não visitados e o nó origem como corrente (A)..Considere a distância de todos os nós vizinhos não visitados ao nó corrente e calcule uma distância deles ao nó origem através do nó corrente.. Por exemplo, se o nó atual A tiver distância e houver uma aresta de peso conectando-o com um outro nó B, a distância de B através de A será 8.. Se essa distância for menor do que a distância registrada anteriormente (infinito, na primeira rodada; zero para o nó de origem), sobrescreva a distância de B. Ao final, tem-se a menor distância entre o nó de origem e cada um dos nós do grafo. // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

44 Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Dijkstra /* Menor caminho entre um nó de origem e um de destino */.Defina o nó de origem.atribua a todos os nós um valor de distância ao nó de origem: valor zero ao nó de origem, e infinito para todos os outros nós..marque todos os demais nós como não visitados e o nó origem como corrente (A)..Considere a distância de todos os nós vizinhos não visitados ao nó corrente e calcule uma distância deles ao nó origem através do nó corrente.. Por exemplo, se o nó atual A tiver distância e houver uma aresta de peso conectando-o com um outro nó B, a distância de B através de A será 8.. Se essa distância for menor do que a distância registrada anteriormente (infinito, na primeira rodada; zero para o nó de origem), sobrescreva a distância de B..Ao terminar de considerar todos os vizinhos do nó atual A, marque-o como visitado. Um nó visitado não será mais verificado; sua distância registrada agora é final e mínima..se todos os nós tiverem sido visitados, termine. Caso contrário, marque o nó não visitado com a menor distância (ao nó de origem) como o próximo "nó corrente", e repita a partir do passo. Ao final, tem-se a menor distância entre o nó de origem e cada um dos nós do grafo. // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

45 Algoritmo de Dijkstra Complexidade temporal: Depende da implementação do conjunto de vértices Q // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

46 Dijkstra - exemplo Vértice inicial: dist arcs vertex weight link []-> 8 8 []-> []-> []-> []-> []-> []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

47 Dijkstra - exemplo Modifica distâncias dos vértices e dist arcs vertex weight link []-> 8 8 []-> 8 []-> []-> []-> []-> []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7

48 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado Seleciona o vértice (vértice não visitado de menor distância à origem) Ignora vértice (já visitado) e modifica distância do vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8

49 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado Seleciona o vértice (vértice não visitado de menor distância à origem) Ignora vértice e modifica distâncias dos vértices e 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9

50 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado Seleciona o vértice (vértice não visitado de menor distância à origem) Modifica distância do vértice ; ignora vértice ; mantém a distância do vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> 7 []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

51 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado Seleciona o vértice (vértice não visitado de menor distância à origem) Ignora vértice ; mantém distância do vértice ; ignora vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> 7 []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

52 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado Seleciona o vértice (vértice não visitado de menor distância à origem) ignora vértice ; modifica distância do vértice 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

53 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado seleciona o vértice (vértice não visitado de menor distância à origem) Ignora vértices, e 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

54 Dijkstra - exemplo Marca o vértice como visitado Não há mais vértices não visitados FIM! 8 8 []-> []-> 8 []-> []-> []-> []-> dist arcs vertex weight link []-> 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

55 problemas comuns árvores geradoras já vimos um exemplo em lab mas agora queremos a de custo mínimo 8 8

56 problemas comuns árvores geradora: subgrafo que é árvore e que contém todos os vértices grafo conexo sem circuitos 8 8

57 Algoritmo de Kruskal Árvore geradora de custo mínimo Dado um grafo ponderado G = (V,E,p), uma árvore geradora de custo mínimo para G é uma árvore tal que: V é o conjunto de nós da árvore A soma dos pesos das arestas é minima (entre as árvores geradoras) // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7

58 Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Kruskal Entrada: Um grafo ponderado G = (V,E,p) Saída: Árvore geradora de custo mínimo. Considere cada nó em V como uma árvore separada (formando uma floresta). Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas árvores na floresta, inclua-a.. Repita o Passo () até todos os nós estarem conectados. // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 8

59 Algoritmo de Kruskal. Considere cada nó como uma árvore separada (formando uma floresta) 8 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 9

60 Algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas árvores na floresta, inclua-a.. Repita o Passo () até todos os nós estarem conectados. 8 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

64 Algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas árvores na floresta, inclua-a.. Repita o Passo () até todos os nós estarem conectados // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas.

67 Algoritmo de Kruskal. Examine a aresta de menor custo. Se ela unir duas árvores na floresta, inclua-a.. Repita o Passo () até todos os nós estarem conectados. 8 8 // DI, PUC-Rio Estruturas de Dados Avançadas. 7