Introdução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo

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1 Doutorado em Ciência da Computação lgoritmos e Grafos Raimundo Macêdo LaSiD/DCC/UF Introdução a Teoria dos Grafos Raimundo Macêdo Definição Estrutura que consiste em dois conjuntos: um conjunto de vértices e um conjunto de linhas, chamadas arestas, cada uma delas ligando um par de vértices. Muitas situações podem ser representadas ou pensadas através de problemas relacionados a grafos: fluxo em redes de computadores conectividade em redes relacionamento de amizade entre pessoas, etc. 1

2 Motivações Históricas O famoso problema das pontes de Königsberg da Prussia (Kaliningrado, Russia), resolvido por Euler em 1736, é visto como o primeiro resultado formal de teoria dos grafos. O problema consiste em partindo de uma das regiões,, C ou D, determinar um trajeto pelas pontes segundo o qual se possa retornar à região de partida, após atravessar cada ponte somente uma vez. TENTEM!!! Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commetarii cademiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8(1736), Euler mostrou que não existe tal trajeto. Euler provou que existe o desejado trajeto se e somente se em cada região concorrer um número par de pontes. Esta solução é considerada o primeiro teorema em teoria dos grafos. Verifiquem!! 2

3 Outras Motivações Históricas Em meados do século XIX, houve três desenvolvimentos isolados que contribuiram para o desenvolvimento da teoria dos grafos O problema das 4 cores, 1852 (Francis Guthrie - De Morgan) Ciclo Halmiltoniano, 1859 (Hamilton) Teoria das Árvores (Kirchhoff em 1847 circuitos elétricos e Cayley, em 1857 química orgânica) O Problema das 4 Cores Colorir os paises de um mapa qualquer, cada pais com um cor, de modo que dois paises fronteiriços tenham cores distintas. O problema consiste em obter tal coloração com no máximo 4 cores. 3 cores não são suficientes facilmente verificável (ver figura adiante) Foi formulada uma prova de que 5 cores são suficientes Conjectura de que 4 cores são suficientes somente foi provada em 1977, por pel e Haken. C D C D 3

4 O Problema do Caminho Hamiltoniano Existem N cidades. Partindo de uma cidade qualquer, o problema consiste em determinar se existe um trajeto que passe exatamente uma vez em cada cidade, retornando à cidade de origem. Um algoritmo de forca bruta requer N! (cada permutação do conjunto de cidades) O problema de decisão é NP-Completo. Formalizando a noção de grafos O que é um grafo?? 4

5 Um grafo consiste em um conjunto V de vértices, um conjunto E de arestas e uma função ψ G (psi) que mapeia cada aresta α de E para um par de vértices de V, não necessariamente distintos. 5

6 Grafo resta Endpoints = extremos djacent = adjacente Neighbors = vizinhos Incident = incidente 6

7 Um determinado grafo G = (V,E) pode ser representado graficamente de diversas formas. O importante é a relação de incidência entre vértices e arestas de determinado grafo. Duas arestas no diagrama de um grafo podem se cruzar ou interceptar (ex. e1 e e6 de G) Grafos que podem ser desenhados de modo que as arestas se Interceptem somente nos vértices são chamados de grafos planares Exercício: mostre que o grafo representado em na fig. 1.3a é planar [1]. 7

8 Uma aresta com extremos idênticos é chamada de loop ou laço (ex. aresta e3 de G). restas que não são laços, são ligações. Um grafo é finito se V e E são finitos. Para esse curso, todos grafos serão finitos Um grafo é simples se não possui laços e se não há arestas redundantes (mais de uma aresta ligando o mesmo par de vértices). Não Simples ou Multigrafo simples Exercício para a próxima aula: mostre que se G é simples, E 8

9 Grafos Isomorfos Dois grafos G e H são idênticos se V(G) = V(H), E(G) = E(H) e ψ G = ψ H É trivial verificar que Grafos idênticos podem ser representados por diagramas idênticos. No entanto, existem grafos distintos que podem ser representados pelos mesmos diagramas, diferindo-se apenas pelos rótulos associados a arestas e vértices. Esses grafos com mesmo diagrama são ditos isomorfos. 9

10 Em outras palavras. G e G simples. Dois grafos G e H são ditos isomorfos se existem bijeções θ (phi): V(G) V(H) e Φ(teta): E(G) G = E(H) (V,E) tal e G que = (V,E ψ g (e) ) = são uv sse isomorfos ψ h (Φ(e)) se = existe θ(u) θ(v); f : V o par V (θ, Φ) de mapeamentos tq (u,v) é chamado in E sse de ((f(u),f(v)) um isomorfismo. in E Ou seja, podemos renomear mantendo a correspondência nas arestas. Observe que essa definição de isomorfismo não se aplica a grafos com arestas redundantes. Em outras palavras G = (V,E) e G = (V,E ) são isomorfos se existe f : V V tq (u,v) in E sse ((f(u),f(v)) in E Ou seja, podemos renomear mantendo a correspondência nas arestas. 1 Isoformos --- f:{(1,), (2,),(3,C)} 2 3 C 1 1 X Y Y X G G f:{(1,1), (2,3),(3,2)} (1,2) = X in G sse (1,3) = X in G Iguais ou isoformos??? 10

11 Exercícios: 1) O problema da contagem de grafos simples com n vertices. Fazer uma formula combinatório para determinar quantos grafos simples existem t.q. E = {,} e V={1,2,3}? Excluindo-se os isomorfos Quantos grafos e quantos isomorfos?? G = (V,E) e G = (V,E ) são isomorfos se existe f : V V tq (u,v) in E sse ((f(u),f(v)) in E 2) Qual a complexidade computacional de se determinar se dois grafos quaisquer são isoformos? 11