Teoria dos Grafos Aula 17
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- Eliana Osório
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1 Teoria dos Grafos Aula 17 Aula passada Ciclo de Euler Ciclo de Hamilton Quem foi Turing Aula de hoje Coloração Algoritmo guloso Número cromático
2 Colorindo um Mapa Mapa de regiões (estados) Colorir o mapa regiões vizinhas (com fronteira) não podem ter mesma cor Problema 1: Como colorir um mapa de forma atendendo a restrição Problema 2: Qual é o menor número de cores necessário?
3 Colorindo um Mapa Abstração via grafos Vértices: regiões (estados) Arestas: duas regiões são vizinhas GO TO BA BA e ES são vizinhos MS SP MG RJ ES Número mínimo de cores?
4 Alocação de Frequências Rede telefonia celular Estações base (torre) Células vizinhas não podem usar mesma frequência interferência! Problema 1: Como alocar frequências às células? Problema 2: Qual é o menor número de frequências necessário? Mesma abtração!
5 Alocação de Frequências Vértices: estações base Arestas: duas estações são vizinhas (interferem) C Estações C e F se interferem B D F Número mínimo de frequências? E A
6 Coloração em Grafos Coloração de vértices Dado grafo G = (V, E) Restrição: vértices vizinhos não possuem mesma cor k-coloração: coloração que utiliza exatamente k cores grafo é k-colorível Número cromático: menor número de cores necessário colorir o grafo
7 Exemplo Uma coloração qualquer? Número cromático? B E A D G H C F Coloração qualquer é fácil, número cromático é difícil
8 Algoritmo para Coloração Algoritmo para colorir um grafo com o menor número de cores possível Idéias??? Método guloso Mas como? Guloso em que?
9 Algoritmo Guloso Guloso no grau dos vértices maior o grau, mais restrito, colorir primeiro 1.Colorir(G) 2.Ordenar vertices em ordem decrescente de graus 3.Define conjunto C[i] = 0 para i=1,...,n 4.Incluir v[1] em C[1] // colorir v[1] 5.Para j=2,..., n faca 6. Selecione r, a menor cor para colorir v[j] // menor r tal que nenhum vertice em C[r] // seja vizinho de v[j] 7. Incluir v[j] em C[r]
10 Algoritmo Guloso Algoritmo funciona? gera uma coloração de G? Sim! Prova pelo funcionamento Algoritmo obtém número cromático? utiliza menor número de cores? Não! Contra-exemplo? Complexidade?
11 Número Cromático Problema difícil! Não se conhece algoritmo eficiente para determinar o número cromático Determinar se um grafo é k-colorível é igualmente difícil, para k > 2 para k = 2 é fácil, já fizemos aqui
12 Coloração de Mapas Caso especial de coloração de grafos Grafo induzido pelo mapa é planar restrição geométrica das fronterias. Grafo planar: é possível desenhar o grafo sem cruzar as arestas Problema: Qual é o menor número de cores necessário para colorir qualquer mapa?
13 Exemplo América do Sul Número cromático? Exemplo com 4 cores?
14 Teorema das 4 Cores Quatro cores são suficientes para colorir qualquer mapa Conjectura de De Morgan em 1852 Várias provas erradas da conjectura! Provado somente em 1972 por Appel, Haken e um computador prova por força bruta mostra que não há mapa para qual 5 cores seja necessário Análise de 2000 casos, via computador! Primeira grande prova com ajuda do computador Matemáticos não gostam: e se tiver bug no programa?
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