apenas os caminhos que passam só por vértices em C, exceto, talvez, o próprio v A Figura 1 a seguir ilustra o significado do conjunto C edovalordist.

Transcrição

1 CAMINHO DE CUSTO MÍNIMO Dados dois pontos A e B, em muitos problemas práticos fazemos 2 perguntas: 1. existe um caminho de A para B? ou 2. se existe mais de um caminho de A para B, qual deles é o mais curto? Estamos supondo que vários pontos são representados por vértices num grafo orientado As arestas representam segmentos de caminhos cujos comprimentos são custos associados às arestas. E o custo de um caminho é a soma dos custos das arestas no caminho. Cada pergunta do tipo (1) acima é trivial e pode ser respondida em tempo O m, onde m é o número de arestas no grafo considerado. Com este tempo, pode-se determinar todos os pontos X tais que existe pelo menos um caminho de um mesmo ponto A para X. Uma vez que um algoritmo que não examina todas as arestas não pode ser correto, uma cota inferior para este problema é m. Perguntas do tipo (2) são casos especiais de um problema que resolveremos, pelo método guloso, nesta seção. Queremos determinar os caminhos de custo mínimo que começam num vértice fixo, chamado fonte, e terminam em outros vértices. Não se conhece nenhum algoritmo para responder perguntas do tipo (2) que seja mais rápido do que o

2 melhor algoritmo para este problema mais geral com afontefixa. Vamos apresentar um algoritmo para resolver o problema de determinação dos caminhos de custos mínimos com a fonte fixa, que tem tempo O n 2, onde n é o número de vértices. Não há razão que justifique a não-existência de um algoritmo com tempo O m, mas no momento não se conhece nenhum algoritmo nestas condições. O algoritmo desta seção constrói incrementalmente um conjunto C de vértices, que inicialmente só contém a fonte v 0. Para cada vértice v deve-se conhecer a distância mínima Dist v (isto é, o custo do caminho mínimo) da fonte v 0 até v, dentrodec, isto é, considerando-se apenas os caminhos que passam só por vértices em C, exceto, talvez, o próprio v A Figura 1 a seguir ilustra o significado do conjunto C edovalordist. Fig 1 Dist v d, Dist v d

3 Em cada iteração do algoritmo, inclui-se em C o vértice w (ainda não pertencente a C) cujo Dist w é o mínimo em relação a todos os vértices não pertencentes a C. Portanto w é o novo objeto escolhido para incrementar a solução parcial, de acordo com a medida de otimização Dist O algoritmo descrito acima é apresentado na sua formacompletanafigura2. Note-se que o algoritmo calcula apenas as distâncias mínimas, mas o leitor pode facilmente alterá-lo para que se calcule também os caminhos mínimos (Exercício). Algoritmo CamMin: para calcular as distâncias mínimas da fonte v 0 até outros vértices. entrada: v 0, G vg. ag onde v 0, a fonte, pertence a vg, e vg, ag é um grafo orientado, com custo real não-negativo associado a cada aresta em ag (custo v, w, o custo associado à aresta v, w, é0sev w, eé se v, w não é uma aresta). saída: Dist, onde Dist v é a distância mínima de v 0 a cada v em vg.

4 1. C v 0 ;Dist v 0 0; 2. para cada v em vg v 0 faça { 3. Dist v custo v 0, v ; } (* fim para *) 4. enqto C vg faça { 5. (*abaixo, incrementa-se C de um elemento*) 6. "escolha w em vg C tal que Dist w 7. seja mínimo"; 8. Ins w, C ; 9. para cada v em vg C faça { (* atualiza Dist *) 10. Dist v min Dist v, Dist w custo w, v ; 11. } (* fim-para *) 12. }(*fim-enqto*) 13. resulta saída Dist Figura 2: Algoritmo para distâncias mínimas de uma fonte fixa. Na Figura 4 a seguir vê-se um exemplo de execução do algoritmo CamMin, quando a entrada é o grafo na Figura 3. Na Figura 4 mostramos, para cada iteração das linhas 4-12, do algoritmo CamMin, os incrementos feitos em C, ow escolhido na linha (6), e os valores de Dist após a execução das linhas 9-11.

5 Figura 3 Exemplo de grafo Dist iteração C w escolhido w v1 v2 v3 v4 v v0, v1 v v0, v1, v 3 v v0, v1, v 2, v 3 v v0, v1, v 2, v 3, v 4 v4 8 sem alteração Figura 4 Exemplo de execução do algoritmo CamMin. A certificação e a complexidade de tempo do algoritmo CamMin estão no teorema a seguir. Theorem O algoritmo CamMin determina

6 corretamente os valores de Dist v para cada vértice v, com tempo pessimista O n 2, onde n é o número de vértices no grafo considerado. DEMONSTRAÇÃO Verifica-se que as linhas 1-3 são executáveis em tempo O n). Em cada iteração das linhas 4-12, as linhas 6-8 requerem tempo O n), e as linhas 9-11 também requerem tempo O n. Como as linhas 4-12 são executadas n 1 vezes, a complexidade de tempo total destas linhas é O n 2, queéaparceladominantedacomplexidadedetempo de todo o algoritmo. A certificação será provada por indução em C, e consiste de duas partes: - (1) para qualquer v em C, Dist v é a distância mínima de v 0 a v ; - (2) para qualquer v em vg C, Dist v éa distância mínima de v 0 a v através de um caminho que passa só por vértices em C, exceto v ; Para C 1, o único elemento em C é v 0 e é óbvio que (1) e (2) acima são válidos de acordo com as linhas 1-3 do algoritmo CamMin. Para o passo indutivo, vamos supor que (1) e (2) acima são válidos para C k 1, isto é, vamos supor que o algoritmo CamMin é correto até antes da k-ésima iteração das linhas 4-12, para 1 k n 1. Na k-ésima iteração, w é escolhido conforme as

7 linhas 6-8. Vamos supor, por absurdo, que Dist w não é igual à distância mínima de v 0 a w. Então deve existir um caminho M de v 0 a w de custo menor do que Dist w. VejaaFigura5. Figura 5 Caminhos distintos até v e w M deve conter um outro vértice, além de w, fora de C, pois se tal vértice não existisse, w contrariaria a hipótese indutiva referente ao item (2) acima. Seja v o primeiro nestas condições. Então, a distância de v 0 a v é menor do que Dist w, poisoscustossão não-negativos. Ademais, o segmento do caminho M de v 0 até v está inteiramente contido em C (exceto v). Pela hipótese indutiva referente ao item (2) acima, Dist v é menor ou igual ao custo deste segmento de M. Conclui-se então que Dist v Dist w, mas isto contradiz a escolha de w nas linhas 6-8 (v deveria ter sido escolhido no lugar de w). Portanto, tal caminho M não deve existir e Dist w é o custo do caminho mínimo de v 0 a w, conforme queriamos provar.

8 Figura 5 Caminhos distintos até v e w Pelas linhas 9-11 da Figura 5.11, é óbvio que o item (2) acima continua válido após a execução da k-ésima iteração das linhas Q.E.D.