Elementos de Matemática Discreta

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1 Duração: 55m Instituto Superior Técnico - Departamento de Matemática Licenciatura em Engenharia de Telecomunicações e Informática Elementos de Matemática Discreta Teste 3 - teste tipo Cotação : 20 valores Grupo 1 (3.5 valores) Use funções geradoras para resolver o seguinte problema: de quantas maneiras posso escolher n N 1 objetos para decorar a minha árvore de natal, de entre bolas vermelhas, amarelas, douradas e prateadas, laços e estrelas, sabendo que pretendo que (i) o número de bolas vermelhas seja múltiplo de três, (ii) o número de bolas amarelas seja múltiplo de quatro, (iii) o número de bolas douradas é arbitrário, (iv) haja no máximo duas bolas prateadas, (v) haja no máximo três laços e, finalmente, (vi) haja exatamente uma estrela. resposta 1 : O produto das funções geradoras associadas aos objetos é z + pretendido é assim o coeficiente de z n na segunda expressão, ou seja, ( ) n+1 2 = n(n+1) i=0 ( i+2 ) 2 z i = + 2. i=0 ( i+2 ) 2 z i+1 ; o número Grupo 2 ( valores) Responda às seguintes perguntas recorrendo apenas aos teoremas sobre grafos que estudou. Deve enunciar claramente cada um dos teoremas usados. 1. Numa feira de antiguidades, encontraram-se seis numismatas que negociaram entre si diversas moedas antigas. Cada negócio é realizada apenas entre duas pessoas. Depois do encontro, perguntaram a cada um dos numismatas com quantos parceiros distintos tinham feito negócios. Obtiveram-se as respostas 5, 4, 2, 1, 3 e 2. Mostre que pelo menos um dos numismatas se enganou. 2. Num grafo com 30 arestas, metade dos vértices têm grau 5 e, dos restantes, metade têm grau 4 e a outra metade tem grau 6. Quantos vértices tem o grafo? resposta 2 : O grafo tem 12 vértices. 3. É possível colocar uma caneta em algum dos vértices da figura abaixo apresentada e, depois de percorrer todas as arestas uma e uma só vez sem retirar a caneta do papel, voltar a esse vértice? Justifique. 1 Recorda-se que este assunto foi estudado exclusivamente nas aulas práticas (ver lista de exercícios para a aula prática 10). Na secção 8.4 do Capítulo 8 do texto de apoio encontram-se vários exemplos ilustrativos. 2 Como referido no enunciado, para ter a cotação completa, o aluno deve enunciar o teorema em baseou os cálculos.

2 Grupo 3 1. A que tipo de redes se pode aplicar o algoritmo de Dijkstra? ( valores) resposta: Pode aplicar-se a redes conexas, nas quais os custos das arestas são números não negativos. 2. Aplique o algoritmo de Dijkstra à rede abaixo representada para obter uma trajetória KC de custo mínimo (use para esse efeito as cópias da rede distribuídas juntamente com o teste, indicando o resultado após cada iteração numa cópia diferente; deve também apresentar os outros elementos que são relevantes para o algoritmo). No fim, indique a trajetória de custo mínimo entre K e C construída, e o respetivo custo. resposta: A título ilustrativo, apresentam-se as 3 primeiras figuras e a última de uma resposta possível: (1) (2) S = {KB,KN,KM} }{{}}{{}}{{} S = {KN,KM,BN,BX} }{{}}{{}}{{}}{{} (3) (10) (...) S = {KN,KM,BX,NR} }{{}}{{}}{{}}{{} trajetória KC construída: < K,B,X,R,H,C >; o custo é 18 Observe-se que, em cada iteração, os elementos relevantes referidos no enunciado são o conjunto auxiliar S (que contém as arestas de entre as quais é escolhida na iteração seguinte uma das de menor custo de Dijkstra), bem como os custos de Dijkstra das arestas em S. Nas últimas páginas do texto disponibilizado no sumário da aula teórica 23 encontram-se diversos exemplos de aplicação do algoritmo de Dijkstra que ilustram a forma como deve ser respondida uma pergunta deste tipo no teste. 3. Suponha que G é uma rede conexa cuja função de custo tem valores positivos e que AB é uma aresta de G. Explique como poderia usar o algoritmo de Dijkstra para calcular um ciclo de custo mínimo em G que inclua a aresta AB (um ciclo é um atalho fechado que não repete vértices, exceto o primeiro, que tem de ser igual ao último; o custo de um ciclo é a soma dos custos das arestas que o constituem).

3 Grupo 4 1. Descreva sucintamente o algoritmo de Ford-Fulkerson. ( valores) 2. Considere a seguinte rede capacitada: Aplique o algoritmo de Ford-Fulkerson a esta rede para obter um fluxo máximo na rede, e indique depois o valor desse fluxo (use para esse efeito as cópias da rede distribuídas juntamente com o teste, indicando o resultado após cada iteração numa cópia diferente; deve também apresentar os outros elementos que são relevantes para o algoritmo). resposta: A título ilustrativo, apresentam-se as 3 primeiras figuras e a última de uma resposta possível: (1) (2) (3) Q =<s,b,u,t> Q = 7 Q =<s,z,w,t> Q = 4 Q =<s,y,b,u,t> Q = 2 (5) (...) O valor do fluxo máximo obtido é 15. Não existe quasi-trajetória de incremento relativa a este fluxo Observe-se que os elementos relevantes referidos no enunciado são a quasi-trajetória de incremento Q a partir da qual se obtém um novo fluxo na iteração seguinte, e a respetiva capacidade residual (ou frouxidão) Q. Nas últimas páginas do texto disponibilizado através do sumário da aula teórica 24 encontram-se diversos exemplos de aplicação do algoritmo de Ford-Fulkerson que ilustram a forma como deve ser respondida uma pergunta deste tipo no teste.

4 juntamente com o enunciado do teste serão entregues cópias das redes referidas nos grupos 3 e 4, como as que se seguem, que os alunos usarão nas suas respostas. Resposta da alínea 2 do Grupo 3: (deve indicar o resultado de cada iteração numa figura diferente e numerar as figuras.)

5 Resposta da alínea 2 do Grupo 4: (deve indicar o resultado de cada iteração numa figura diferente e numerar as figuras.)