Matemática. Probabilidade. Maria Augusta Ferreira Neves M. Carlos Silva Bruno Ribeiro Sandra Jorge Luís Guerreiro ENSINO PROFISSIONAL MÓDULO

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1 Matemática Probabilidade Maria ugusta Ferreira Neves M. Carlos ilva runo Ribeiro andra Jorge Luís Guerreiro MÓDULO 7 ENINO PROFIIONL Oo

2 Índice Introdução ao estudo das probabilidades. Experiências aleatórias. Espaço de resultados contecimentos. Classificação e operações Modelos de probabilidade Regra de Laplace Propriedades da probabilidade Definição frequencista de probabilidade plicações Projeto Investigação Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes. Probabilidade condicionada Probabilidade da interseção de dois acontecimentos. Regra do produto contecimentos independentes plicações Projeto Investigação Distribuição de probabilidade. Variável aleatória e distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta Valor médio e desvio-padrão de uma distribuição de probabilidade Modelo normal plicações Projeto Investigação valiação nexo Calculadoras gráficas Tabela da distribuição normal N (0, ) oluções I N

3 Estrutura do livro INTRODUÇÃO O ETUDO D PROILIDDE plicações 5 Os distraídos partir da exploração simples dos conteúdos teóricos, apresentam-se exemplos e são propostos exercícios de aplicação imediata. Na resolução de um problema de probabilidades pedia-se para se calcular a probabilidade de um determinado acontecimento de uma experiência aleatória. lgumas das respostas foram as seguintes. Maria José Rui ntónio Joaquim Teresa 22%,5 0,9-0,2 0,05% 9 5 Destas respostas sabe-se, à partida, que algumas estão erradas e que os alunos que as deram estavam distraídos. Quem estava distraído? Justifique a sua resposta. 6 Voleibol de praia De um grupo de cinco amigos, o ndré, o runo, o Carlos, o Daniel e o Elias, todos praticantes de voleibol, vão ser escolhidos dois para representarem a escola num torneio de voleibol de praia. abe-se ainda que dois dos elementos do grupo, o Daniel e o Elias, são irmãos. Para analisarem todas as opções construíram uma tabela de dupla entrada: 4. Regra de Laplace C D E Quando os acontecimentos elementares são igualmente prováveis (equiprováveis) pode determinar-se a probabilidade de um acontecimento aplicando a regra de Laplace. Regra de Laplace probabilidade de um acontecimento associado a um espaço de resultados finito, com n acontecimentos elementares equiprováveis, é igual à razão entre o número m de casos favoráveis a e o número n de casos possíveis. P () Número de casos favoráveis a = = m Número de casos possíveis n probabilidade de um acontecimento é um número entre 0 e que se pode representar de diferentes formas (na forma de fração, na forma decimal ou na forma de percentagem). Exemplo 5 Numa caixa foram colocados quatro copos de velas aromáticas numerados de a 4 de acordo com o aroma. Observação O princípio da razão insuficiente, enunciado por ernoulli e por Laplace, afirma que se não houver razão para considerar que um acontecimento é mais provável que outro, devemos considerar que todos têm a mesma probabilidade. ssim, nas experiências aleatórias envolvendo moedas, dados, rodas da sorte ou outros objetos, se nada for dito em contrário, consideramos que os objetos são perfeitos, ou seja, que os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrer. presentação de conteúdos novos Exemplos imediatos 22 C D E 6.. Complete a tabela dmita que os dois elementos são escolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de: a) o ndré ser escolhido; b) a equipa ser formada pelo ndré e pelo Carlos; c) pelo menos um dos dois irmãos fazer parte da equipa? 2 4 Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, um copo da caixa e registar o respetivo número. Calcule a probabilidade de se retirar: 5.. o copo com o número ; 5.2. um copo com um número ímpar. Resolução 5.. eja : sair o copo com o número Número de casos possíveis: 4 Número de casos favoráveis: P () = _ eja : sair um copo com um número ímpar Número de casos possíveis: 4 Número de casos favoráveis: 2 P () = 2_ 4 = 0,5 5 Numa caixa colocaram-se 0 porta-chaves vermelhos e 5 porta- -chaves azuis indistinguíveis ao tato. 5.. o acaso, tirou-se um porta- -chaves da caixa. Qual é a probabilidade de ser vermelho? 5.2. Novamente ao acaso, tirou-se outro porta-chaves da caixa sem colocar o primeiro. Determine a probabilidade de o segundo porta-chaves ser azul se o primeiro tiver sido vermelho. Exercícios laterais para o contexto sala de aula plicações Questões, em contexto real, para consolidar conhecimentos adquiridos no tema. valiação 2 Projeto Investigação Problemas, com informação real e geradores de investigação, que proporcionam aprendizagens práticas interdisciplinares. Projeto Investigação PROILIDDE CONDICIOND E CONTECIMENTO INDEPENDENTE Matemática nos cursos profissionais Numa escola secundária colocaram-se as seguintes questões aos 54 alunos dos cursos profissionais que frequentam a disciplina de Matemática:. a questão: Gosta de Matemática? 2. a questão: Tem livro de Matemática?. a questão: Não gosta de Matemática nem tem livro de Matemática? O número de alunos que respondeu afirmativamente a cada uma das três questões foi o seguinte:. a questão: 26 alunos 2. a questão: 6 alunos. a questão: 8 alunos.. Complete o seguinte diagrama de Venn que contempla o número de respostas dadas às questões colocadas, sendo que: é o conjunto de alunos desta escola que gosta de Matemática; é o conjunto de alunos desta escola que tem livro de Matemática; é o conjunto de todos os alunos desta escola. Contexto da situação-problema geradora da investigação. Pretende-se que o aluno aplique os conhecimentos adquiridos no estudo da probabilidade condicionada e acontecimentos independentes. Explique o seu raciocínio de acordo com os seguintes tópicos: 6 Explicação do número de alunos que responderam afirmativamente a, pelo menos, uma das. a ou 2. a questões. Justificação do número de alunos que gosta e tem livro de Matemática..2. Escolhendo, ao acaso um aluno desta escola, calcule a probabilidade, em percentagem arredondada às unidades, de: a) gostar de Matemática mas não ter livro de Matemática; b) gostar de Matemática e ter livro de Matemática... Calcule e traduza em linguagem corrente a probabilidade: P () + P () - P ( ) 8 tividades de projeto ligadas à realidade Proposta de avaliação do módulo. valiação Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma bola de uma caixa que tem dez bolas coloridas, indistinguíveis ao tato, sendo 2 azuis, 4 roxas, amarela e verdes... Indique um acontecimento cuja probabilidade de ocorrência seja: a) 0,4 b) 0,9.2. Defina um acontecimento: a) impossível; b) elementar; c) composto; d) certo... Indique, associados à mesma experiência, dois acontecimentos contrários. 2 Perguntou-se a um grupo de pessoas se gostam ou não de café. Obtiveram-se os seguintes resultados: Gosta de café (C) Não gosta de café ( C ) Homens (H) 70 0 Mulheres (M) Escolhida, ao acaso, uma dessas pessoas, qual é a probabilidade de: 2.. ser mulher e não gostar de café; 2.2. ser homem ou gostar de café; 2.. não gostar de café, sabendo que é um homem? Os alunos de marketing inquiriram os 450 trabalhadores de uma empresa sobre o tipo de telefone ou telemóvel que possuíam, tendo os resultados sido os que se apresentam: 5 têm telefone de rede fixa; 42 têm telemóvel; 9 não têm qualquer tipo de telefone... Construa um diagrama de Venn que represente a referida situação..2. Determine a probabilidade de um trabalhador, dessa empresa, selecionado ao acaso: a) ter telefone de rede fixa e telemóvel; b) só ter telemóvel

4 2 PROILIDDE CONDICIOND E CONTECIMENTO INDEPENDENTE Introdução Muitas vezes, estamos interessados em calcular a probabilidade de um acontecimento quando já conhecemos alguma informação sobre o resultado da experiência. Por exemplo, estudar a probabilidade de uma pessoa exposta ao vírus do sarampo ser infetada, sabendo que foi vacinada.. Probabilidade condicionada Numa festa estão 2 crianças. cada uma vai ser oferecido um presente escolhido por sorteio entre sete chapéus e cinco bonés. abe-se que quatro chapéus e três bonés são azuis e que os restantes são cor-de-rosa. Qual é a probabilidade de a ara ter recebido um chapéu sabendo que a cor do presente é cor-de-rosa? Consideremos a tabela seguinte. zul Cor-de-rosa Total Chapéus 4 7 onés 2 5 Total Como sabemos que o presente é cor-de-rosa, a resposta é imediata, observando a tabela: há no conjunto cinco presentes cor- -de-rosa, entre os quais três chapéus. Logo, a probabilidade pedida é _ 5. Consideremos os acontecimentos: : O presente é um chapéu. : O presente é cor-de-rosa. probabilidade de o presente ser um chapéu sabendo que é cor- -de-rosa escreve-se P ( ) que se lê probabilidade de se realizar sabendo que se realizou ou, de forma mais simples, probabilidade de se. # ( ) P ( ) = _ 5 = # ( ) # = 2 _ # = 2 P ( ) = _ P ( ) Temos, portanto, P ( ) = _. 4 2 # ( ) = # = 5 # = 2 2

5 De modo geral, tem-se: Dados dois acontecimentos e, de um espaço de resultados, com 0, define-se probabilidade de sabendo que ocorreu ou probabilidade de se e representa-se por P ( ) como sendo: P ( ) P ( ) = _, 0 Observação Pode dizer-se probabilidade condicionada ou probabilidade condicional. upor que se realizou equivale a restringir o universo dos acontecimentos elementares ao conjunto. ssim, na probabilidade condicionada P ( ) estamos a admitir que o espaço de resultados é o conjunto, subconjunto do espaço original, e que os acontecimentos elementares de, tendo ocorrido, correspondem aos acontecimentos de. Exemplo Na fotografia ao lado estão seis alunos do curso profissional da Escola Martins armento. Um saco tem seis bolas vermelhas, numeradas de a 6, e cinco bolas amarelas, numeradas de a 5, indistinguíveis ao tato. Um dos rapazes chama-se Pedro. elecionou-se, ao acaso, um destes alunos. Determine a probabilidade de o aluno escolhido ter sido o Pedro, sabendo que era um rapaz. Resolução endo os acontecimentos: : O aluno selecionado é o Pedro. : O aluno selecionado é um rapaz. pretende-se determinar P ( ). _ P ( ) plicando a definição, tem-se: P ( ) = _ = _ 6 _ = _ 6 Em alternativa, usando a Regra de Laplace, temos três casos possíveis (sabemos que é um rapaz) e um caso favorável (o Pedro). Logo, P ( ) = _. Retira-se ao acaso uma bola do saco e registam-se a cor e o número. Relativamente a esta experiência aleatória considere os acontecimentos: : bola é vermelha. : O número da bola é par. Determine:.. P ( ).2. P ( ).. P ( ).4. P ( ) CPM7-0