( ) ( ) Questões tipo exame. O número pedido é: Questões tipo exame Pág Os algarismos 1 e 2 podem ocupar 5 A. posições diferentes.

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1 Questões tipo exame Pág. 6.. Os algarismos e podem ocupar A posições diferentes. Os restantes lugares são ocupados por três algarismos escolhidos de entre oito, portanto, existem A maneiras diferentes de o fazer. Assim, o número total é igual a A A. No entanto, há que subtrair os números em que o algarismo das dezenas de milhar é 0. O número de posições diferentes de e é A e o número de posições diferentes dos sete algarismos restantes é A. O número a subtrair é A A. Logo, o número pedido é A A A A º caso: Os algarismos e ocupam a casa das dezenas de milhar e de milhar. Há A maneiras diferentes de fazer a escolha..º caso: Os algarismos e não ocupam a casa das dezenas de milhar. Esquematizando: A A (ao número total subtraem-se os números em que o algarismo das dezenas de milhar é 0). De modo análogo: A A A A Portanto, o número pedido é: A + A A 6.. Pretendem-se números pares, ou seja, números cujo algarismo das unidades é 0,,, 6 ou. Assim: números de um algarismo: números de dois algarismos: sendo o 0 o algarismo das unidades, há nove números; sendo o,, 6 ou o algarismo das unidades, há números; números de três algarismos: sendo o 0 o algarismo das unidades, há 9 A números; sendo o,, 6 ou o algarismo das unidades, há 9 ( A ) números. números de quatro algarismos: como se pretende que o número seja inferior a 000, o algarismo dos milhares apenas pode ser o, portanto, há A números. O número pedido é: A + A + A O produto dos números das bolas retiradas é igual a 9 em dois casos distintos: quando se retiram duas bolas com o número ou quando se retira uma bola com o número e uma bola com o número 9. Portanto, o número pedido é C + C C C C ( C C ) Ou 960 9!! 960!!!! Sequências em que a primeira bola ou a última têm o número 0 Todas as sequências. Para que a comissão seja mista temos duas hipóteses: uma rapariga e dois rapazes ou um rapaz e duas raparigas. 6 A resposta A + 6 A é correta pois:.ª hipótese um rapaz e duas raparigas 6 A ( é o número de maneiras de escolher o cargo que vai ser ocupado pelo rapaz; para cada uma destas maneiras, é o número opções para a escolha do rapaz e 6 A é o número de maneiras de escolher ordenadamente duas das 6 raparigas para preencherem os cargos não ocupados pelo rapaz);.ª hipótese uma rapariga e dois rapazes 6 A ( é o número de maneiras de escolher o cargo que vai ser ocupado pela rapariga; para cada uma destas maneiras, 6 é o número de opções para a escolha da rapariga e A é o número de maneiras de escolher ordenadamente dos rapazes para preencherem os cargos não ocupados pela rapariga). 6 Portanto, o número pedido é A + 6 A. A resposta A ( 6 A A ) + é correta, pois: A expressão A designa o número de comissões diferentes que se podem formar escolhem-se dos alunos para preencherem os cargos ordenadamente. A expressão 6 A é o número de maneiras de escolher ordenadamente das 6 raparigas para preencheram os três cargos.

2 A expressão A é o número de maneiras de escolher ordenadamente três dos rapazes para preencherem os três cargos. Portanto, a expressão A ( 6 A A ) +, sendo a diferença entre o número total de comissões e o número total de comissões só com raparigas e só com rapazes, representa o número de comissões mistas distintas que se podem formar... Sabemos que a soma de todos os elementos da linha de ordem n é igual a n. Vamos, assim, procurar descobrir o valor de n tal que n 0 6. Uma vez que 0 06, temos n 0. Se n 0, então os elementos da linha seguinte são da forma k C, com { 0,,,,..., } k. Portanto, o terceiro elemento da linha seguinte é C 0... Trata-se da linha de ordem 0 do Triângulo de Pascal. Pág. Esta linha tem elementos, pelo que o número de casos possíveis é C. O número de casos favoráveis é igual a 0, pois: C C, C C,, C C Portanto, a probabilidade pedida é C.. O termo geral do desenvolvimento é: p p p+ p p p p T C x x C x x x x p 99 p p p Cp x x Cpx x 99 p Cpx Para definirmos o termo independente de x procuramos determinar p tal que: 99 p 0 99 p p 9 Assim, o termo independente de x é C P C 66 6 C 6.. Número de casos possíveis:! A A! Formas de ordenar os restantes Escolha dos lugares para os avançados na fila da frente Escolha dos lugares para os defesas na fila de trás A A! P 0,00! Pág... O António tem livros na estante do seu quarto, pelo que pretende selecionar 6. Por outro lado, tem quatro livros de José Saramago e como pretende levar para a sua casa em São Jacinto, pelo menos, três destes livros, pode levar três ou quatro. Assim, o número de maneiras diferentes de o António fazer a sua escolha é C C + C C... O número de casos possíveis é 6!. A sequência dos dois livros de Valter Hugo Mãe pode ser estabelecida de! maneiras diferentes. A ordem de leitura dos restantes quatro livros juntamente com o bloco dos dois livros de Valter Hugo Mãe pode ser definida de! maneiras diferentes. Há, portanto,!! maneiras de fixar a sequência de leitura dos seis livros de forma que os dois livros de Valter Hugo Mãe fiquem um a seguir ao outro.. ( )!!. 6! P A B A P ( A B A) P A A B A ( B A) P( A) P( B A) P( A) P P B A 6.. Número de casos possíveis: C C (a escolha é feita entre avançados e médios) 9.. Existem duas hipóteses: dois vértices pertencem à reta r e um à reta t ou dois pertencem à reta t e um à reta r. O número pedido é C + C 0.

3 9.. O número de casos possíveis é escolhe um dos nove pontos) (cada um deles Existem duas hipóteses: os dois pontos escolhidos pertencem à reta r (existem casos) ou os dois pontos escolhidos pertencem à reta t (existem O número de casos favoráveis é +. casos). Atendendo à regra de Laplace, a probabilidade pedida é Por três pontos não colineares passa uma única circunferência e nenhuma circunferência passa por três pontos colineares. Assim, e para garantir que não escolhemos três pontos colineares, selecionamos dois pontos da reta r e um ponto da reta t ( C casos) ou selecionamos dois pontos da reta t e um ponto da reta s ( C casos). O número pedido é C + C. Relativamente à outra resposta correta, podemos considerar todas as maneiras diferentes de escolher três pontos de entre 9 os nove pontos representados ( ) C e, em seguida, subtrair o número de casos em que os três pontos não definem uma circunferência, que correspondem às situações em que os três pontos escolhidos estão sobre a reta r ( ) C. pontos estão sobre a reta t ( ) C C C. O número pedido é 9 ( + ) 0.. a) Número de casos possíveis: C C Número de retas que contêm arestas C. C C ou os três Pág. 9 b) P ( A B ) significa a probabilidade de a reta r conter uma diagonal de uma das faces do prisma sabendo que essa reta não está contida em nenhum dos planos das bases do prisma. O número de casos possíveis é: C A 6 sendo C o número total de retas que é possível definir escolhendo dois dos oito vértices e A o número dessas retas que estão contidas num dos planos das duas bases do prisma. Como se sabe que a reta r não está contida num dos planos das duas bases do prisma, o número de casos favoráveis é, ou seja, é o número de diagonais das faces laterais do prisma. Portanto, atendendo à regra de Laplace, P B A Há três maneiras de pintar as bases (as duas a azul (A), as duas a vermelho (V) ou uma de cada cor) e apenas uma maneira de pintar as faces laterais (note que o prisma com as faces V-A-V-A é igual ao prisma com as faces A-V-A-V). Portanto, o prisma pode ser pintado de maneiras diferentes.. Designando por A o acontecimento a carta é de paus e por B o acontecimento a carta é preta, a probabilidade pedida é P( B A). Do enunciado, sabemos que, deste grupo de cartas: a quarta parte é de paus, ou seja,. P B a terça parte são cartas pretas, ou seja, das cartas pretas, metade é de paus, ou seja, P ( A B ). P ( A B) P ( A B) 6 P( B A) P B A P B A ( ) + P B P B A P( A B) P( B) P( A B) P( A B) P( B) B P B P( A B) P B A.. Sejam os acontecimentos: A: O funcionário escolhido é mulher. B : O funcionário escolhido é licenciado. Pág. 0 Como 60% dos funcionários são licenciados, P( B ) 0,6.

4 Como 0% dos funcionários são mulheres, P( A ) 0,. Finalmente, como metade dos funcionários licenciados são mulheres, tem-se P ( A B ) 0,. Pretende-se determinar P ( B A ). B B P B 0, 0,6 0, P B A B 0, P ( B A), ou seja, 0, P ( B A ) 00% Para que x + y + z terão de ser duas coordenadas com módulo e uma nula: x y z ( x ±, y ± e z 0) ( ) 96 Há 96 casos favoráveis 96 P 6 9 a coordenada nula pode ser x, y ou z.. No contexto da situação descrita, P ( B A ) é a probabilidade de, lançando o dado duas vezes, o produto dos números saídos nos dois lançamentos ser igual a 0, sabendo que a soma dos números saídos nos dois lançamentos é igual a 0. A soma dos números saídos é igual a 0 em duas hipóteses: quando os dois números saídos são 0 ou quando um dos números saídos é um e o outro é um. Observando a tabela a seguir, verifica-se que há 0 casos possíveis: quatro da forma (0, 0) três da forma (, ) três da forma (, ) De entre estes, os que correspondem a produtos iguais a 0 são (0, 0). Assim, existem quatro casos favoráveis, pelo P B A 0 que:.. A superfície esférica de centro na origem e raio pode ser definida pela equação Número de casos possíveis: x y z Número de casos favoráveis x + y + z. Sabemos que quatro faces têm um número cujo valor absoluto é e duas faces têm inscrito o número 0. Pág... O número de casos possíveis é C (número de maneiras de escolher duas bolas de entre ). O número de casos favoráveis é 6 C 6 + C ( 6 C é o número de maneiras de escolher duas bolas vermelhas de entre nove e 6 C é o número de maneiras de escolher duas bolas verdes de entre seis). 6 6 C + C P. C.. No contexto da situação descrita, P ( A B ) é a probabilidade de, tirando em simultâneo duas bolas do saco, estas terem cor diferente, sabendo que a soma dos números das duas bolas é inferior a 9. Existem casos possíveis: e ; e ; e ; e ; e 6, e ; e ; e ; e, e 6; e ; e De entre estes, apenas um corresponde a bolas de cor B. diferente ( e ). Assim,.. P( B C A) ( ( )) B C P( A) ( ( )) P( A) + B C B C B A C B C + P A B C + ( ) B C P B A P C A P + 0 P( B A) P( C A) P B A P C A 6

5 .. Sejam A, B e C os acontecimentos: A: O cartão extraído tem um número par. B : O cartão extraído tem um número múltiplo de. C : O cartão extraído tem um número múltiplo de. Existem 60% dos cartões numerados com um número par, portanto, P( A ) 0,6. Dos cartões que estão numerado com um número par, de, ou seja, não estão numerados com um múltiplo P B A. Sabe-se, ainda, que 0% dos cartões estão numerados com um número par e múltiplo de, portanto, P( A C ) 0,. Por outro lado: P C A C 0, P ( C A) 0,6 6 A probabilidade de o cartão não estar numerado com um número múltiplo de nem com um número múltiplo de, sabendo que está numerado com um número par, é dada por: P B C A P B C A P ( B A) P ( C A) P( A B) P( A B) P( B) P( B) B B P( A B) P( B) P( A B) P( B) B P( A) P( A B) P( B) P( A B) P( A B) P( B ) P( A) P( B) P( A B) P( B) P( A B) P( A) P( B ) Portanto, P ( A B) P ( A B) A e B são independentes. 6.. Como A e B são independentes: P ( A B) se e só se os acontecimentos B P B B P ( A B) P B Pág... O número pedido é (! )! 9 (! é o número de maneiras de dispor ordenadamente os três grupos de cartas reais, valetes e damas para cada uma destas ordenações, existem! maneiras de dispor os reis,! maneiras de dispor os valetes e! maneiras de dispor as damas)... Seja A o acontecimento: Nas três cartas tiradas, há pelo menos um rei Tem-se que o acontecimento contrário de A é: A: Nas três cartas retiradas não há qualquer rei C P( A).. Sejam os acontecimentos: C B : A carta retirada é de paus, logo P( B ) 0,6. C : A carta retirada é um rei, logo P( C ) 0,. Por outro lado, a probabilidade de a carta retirada ser de paus ou ser um rei é 0%. Portanto, P( A B ) 0,. Sabemos que P( B C ) P( B) + P( C ) P( B C ). 0, 0,6 + 0, P B C P B C 0, Sendo positiva a probabilidade de retirar carta de paus e ser um rei, isto é, retirar o rei de paus, tal significa que é possível retirar essa carta, pelo que necessariamente ela está neste novo grupo de cartas... O número de casos possíveis é 6 C (número de maneiras diferentes de distribuir quatro peças iguais por 6 casas). O número de casos favoráveis é! (existem quatro possibilidades para colocar a primeira peça na primeira linha, três possibilidades para colocar a segunda peça na segunda linha, duas possibilidades para colocar a terceira na terceira linha e apenas uma possibilidade para colocar a última peça na última linha).! 6 Assim, a probabilidade pedida é 6. C.. Como as peças são todas iguais, o número de casos possíveis é o número de maneiras de escolher um conjunto de casas de entre as 6, ou seja, 6 C. Comecemos por contar os quadros em que está preenchida a diagonal indicada na figura.

6 Restam oito peças para distribuir por casas. Temos então C quadros com esta diagonal preenchida e outros tantos quadros com a outra diagonal preenchida. Todavia, há quadros que foram contados duas vezes: os que têm as duas diagonais preenchidas. Para estes estarem preenchidos já só restam quatro peças para distribuir por oito casas e isso pode ser feito de C maneiras diferentes. Assim, há C C casos favoráveis. C C 6 C 0, O número de caminhos diferentes que ligam o ponto A ao ponto B, nas condições enumeradas, é C 9 (ou C ), ou seja, O número de caminhos diferentes que ligam o ponto A ao ponto C, nas condições referidas, é C e o número de caminhos diferentes que ligam o ponto C ao ponto B, nas condições enunciadas, é C. Portanto, C C é o número de casos favoráveis. O número de casos possíveis é C C C Pág. 0.. Foram dados tantos apertos de mão quantos os conjuntos de dois professores que se podem formar. Admitindo que representamos o número de professores por n, podemos traduzir o problema pela equação n C. n ( ) n n C n n 0 n n 0 0 ± + 0 n ± 99 n n 9 n 0 Como apenas a solução 0 é um número natural, então 0 é o número de professores do encontro. 0.. Neste encontro participaram 0 professores e destes 0% são do género feminino, portanto, no encontro participaram 0 mulheres e 0 homens. Pretende-se determinar o número de comissões com, no máximo, duas mulheres, formadas por seis professores. Estas têm duas mulheres, uma mulher ou nenhuma mulher. Assim: C + C 0 + C C O número de casos possíveis é o número de arranjos completos (porque pode haver repetição) de nove elementos (bolas) para três posições (extrações), ou seja, A 9 9 casos possíveis. 9 O número de casos favoráveis pode ser determinado observando que, entre os números presentes nas bolas,,, e 6 são divisores de 6. Assim, para que o produto seja 6, terão de sair bolas com os números:, e 6, o que pode acontecer de três maneiras diferentes (o número 6 pode sair em primeiro lugar, em segundo ou em terceiro);, e, o que pode acontecer de P! maneiras diferentes. Assim, o número de casos favoráveis é +! O número de casos prováveis é 9! (número de maneiras diferentes de nove bolas distintas poderem ocupar nove lugares). O número de casos favoráveis é!! 6 (! é o número de maneiras de ordenar as cinco bolas ímpares,! é o número de maneiras de ordenar as quatro bolas pares e seis é o número de posições que o bloco das quatro bolas pares pode ocupar).. Sejam os acontecimentos:!! 6. 9! A: O dado lançado foi o viciado. B : A face que ficou voltada para cima tinha o número. Pretende-se determinar a probabilidade de se ter lançado o dado viciado sabendo que a face que ficou voltada para cima tinha o número, ou seja, P( A B ). Construindo um diagrama em árvore, vem:

7 Assim: P ( A B) P ( B A) 0,6 0, e 0, P ( B A) P( A) P B B + B + 0, + 0, : P( B) B 0, P ( A B) 60.. O número de casos possíveis é 0 C 0. O número de casos favoráveis é C C ( 0 C 6 é o Pág. número de maneiras diferentes de escolher um conjunto de seis rapazes de entre 0; 0 C é o número de maneiras diferentes de escolher um conjunto de quatro raparigas de entre dez e duas é o número de equipas). C C C0 %... O número de casos possíveis é 0! (distribuir 0 camisolas diferentes por 0 alunos). O número de casos favoráveis é 0 A! ( 0 A é o número de maneiras de escolher ordenadamente três das 0 raparigas para ficarem com as camisolas, e e! é o número de maneiras de distribuir as restantes camisolas pelos outros alunos). : 0 A! 0 9! 0! 0 9! O número de casos possíveis é o número de maneiras de os 0 alunos se sentarem nos 0 lugares disponíveis, ou seja, 0!. O número de casos favoráveis é o número de maneiras de os 0 alunos se sentarem de tal forma que a Ana e a Sofia fiquem sentadas em frente uma da outra, mas nunca nas extremidades da mesa. Existem oito pares de lugares possíveis para a Ana e a Sofia. Para cada um desses pares de lugares, a Ana e a Sofia podem trocar de posição. Para cada maneira de a Ana e a Sofia se sentarem existem! maneiras de os restantes alunos se sentarem nos restantes lugares. Portanto, o número de casos favoráveis é!. Assim, a probabilidade pedida é!. 0! 9.. O desenvolvimento de x + x, ordenado segundo as potências decrescentes de x, é constituído por termos do tipo: p p p p+ p p T C x C x x x p p p Cpx x Cpx Para determinarmos o termo independente, procura-se determinar p tal que p 0 p 0. Assim, o termo independente é C O desenvolvimento de A( x ) tem 6 termos. O número de casos possíveis é 6 C (número de maneiras de escolher um conjunto de três elementos de entre 6). O número de casos favoráveis é C (o termo independente está escrito num dos cartões e esse cartão é um dos escolhidos. Portanto, pretende-se o número de maneiras de escolher conjuntos de dois elementos de entre ). C 0, 6 C 6... O desenvolvimento de A( x) ( x ) 6 tem termos, de coeficientes alternadamente positivos e negativos. O primeiro coeficiente é positivo e como há termos, 9 têm coeficientes positivos e têm coeficientes negativos.... Os coeficientes binomiais dos.º, 6.º e.º termos são, n n C C e 6 n C, respetivamente e como estes estão em progressão aritmética, temos que, para n 6 : p 9

8 C C C C n n n n 6 + n C n C n C6 n! n! n! +!!!! 6! 6! ( n ) ( n ) ( n ) n! 6!! ( n )( n ) n! + 6!! ( n ) ( n ) ( n ) n! + 6! 6! ( n ) n n! 0 n! + n n n! n 0 + n 9n + 0 n n Sejam A e B os acontecimentos: A: O avião está presente nesta área. B : O radar deteta a presença do avião. Se um avião está presente em determinada área, a probabilidade de um radar detetar a sua presença é 0,99, portanto, P ( B A ) 0,99 ; Se o avião não está presente nesta área, a probabilidade de um radar detetar erradamente a sua presença é 0,0, portanto P ( B A ) 0,0. A probabilidade de um avião estar presente nesta área é de 0,0, ou seja, P( A ) 0,0. Temos que: P ( A ) 0,0 0,9 ± 9 ± n n n n Como se pretende o menor número natural que verifique as condições enunciadas, temos que n. 6.. Designando por M o acontecimento: O cliente comprou um computador com monitor e por I o acontecimento: O cliente comprou um computador com impressora, Pág. os dados do problema podem ser apresentados numa tabela como a que se segue. P( M ) P M 0, 0, P ( I M ) P ( M ) P ( I M ) 0, 0, 0,0 P ( I ) P( I M ) + P ( I M ) 0, + 0,0 0, Pretende-se determinar P ( I M ) probabilidade pedida é 0,0., portanto, a 6.. Por observação da tabela construída em ,; P ( I ) 0, e P ( I ) 0, P I M P ( M ) P ( I ) 0, 0, 0, Como P ( M I ) P ( M ) P ( I ), podemos concluir que os acontecimentos M e I são independentes. M M I 0, 0,0 0, I 0, 0, 0, B P ( A B) P B P ( B A) + B B 0,9 0,0 0, 9 0,0 + 0,0 0,99 0,09 0, 0, 06.. Pretende-se determinar a P ( A B). P( B A) P B A 0,99 0,0 B P B A 0,0 0,0 0, P ( A C) B P( C B) ( ) P A C B P C B P A B C B P C B 0

9 + B P C B B C B P C B + ( ) B P C B B C B P C B B + P C B B C P C B P ( A B) + P ( C B) B B C P( B) P ( A B C) P ( B C) P A B C P A C B P B P A C B P A\ C B Pág Existem quatro hipóteses para o primeiro algarismo (,, ou ); para cada escolha do primeiro algarismo, existem dez hipóteses para o segundo algarismo (de 0 a 9); para cada escolha dos dois primeiros algarismos, existem dez hipóteses para o terceiro algarismo (de 0 a 9); e para cada escolha dos três primeiros algarismos, existem duas hipóteses para o quarto algarismo (0 ou ) O número pedido, incluindo o 00, é, portanto, O número de casos possíveis é º caso: O algarismo das unidades é 0.,,,, 0.º caso: O algarismo das unidades é.,,, Temos + 0 casos favoráveis P X P X Y P X Y 0.. Número de casos possíveis: 0! Pág. 6! 6! Maneiras de ordenar cinco rapazes mais o bloco das raparigas Maneira de ordenar o bloco das raparigas! 6! P 0! ou 0 C 0.. Número de casos possíveis: 0! M M M M M M 6! A 6! A P 0! 6 ou C C 0 6 Número de maneiras de colocar ordenadamente os rapazes nos lugares determinados pela fila das 6 raparigas.. Número de casos possíveis: P 0 Número de maneiras de ordenar as 6 raparigas! 0!!. Número de casos possíveis: C.. 6 C 6 6 P 9.. C C P pretas ou azuis ( + ) 9.. C + C C + C C brancas brancas pretas 0 0 P 9.. C 9 C + C 0 C 6 P

10 . Sejam os acontecimentos: D: A pessoa tem a doenç.a T: O teste deu positivo. P ( D ) 0,0 ; P ( T D ) 0, ; P T D 0,9 ; P ( T D ) 0,0 P T D 0, 0,.. P( B A ) ( ) P( A ) P B A ( ) P ( A ) B V A P B V A P + P ( A ) P ( A ) P B A V A P B A + P V A P D T P( T ) P D T 0,0 0,9 0,0 0,9 + 0,9 0, % 0. Sejam os acontecimentos: A: Respondeu ao acaso à questão. P ( A ) 0% C: A resposta está correta.. Pág. P ( C) P ( C) C P C A C P ( A ) P ( A A ) P ( B A ) P ( V A ) + + A + P B B + P V V

11 B C : A.ª bola é azul com número par P B C A significa probabilidade de a.ª bola retirada ser azul com número par sabendo que a.ª bola retirada tem número par. Número de casos possíveis:.ª bola.ª bola Há bolas com número par. Número de casos possíveis:.ª bola.ª bola A.ª bola é azul e par e a.ª é azul e par. A.ª bola é azul e par e a.ª é vermelha e par. + 6 Logo, P ( B C A) 6. 6