ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combinatória

Transcrição

1 ESOLA SEUNDÁRIA OM 3º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A Tema I Probabilidades e ombinatória Tarefa nº do plano de trabalho nº 5. onsidere o seguinte problema: Um saco contém doze bolas, indistinguíveis ao tacto: três bolas com o número, cinco bolas com o número e quatro bolas com o número 3. Retiram-se, do saco, três bolas, ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma dos números saídos ser igual a cinco? Uma resposta correcta para este problema é Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis.. onsidere o seguinte problema: Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. hegados lá, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). omprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. omo é evidente, cinco jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? Uma resposta correcta para este problema é: 0! 0! ! Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis. Professora: Rosa anelas

2 3. onsidere um prisma regular em que cada base tem n lados. Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces do n prisma (incluindo as bases) é dado por: ( ) n + n. onsidere duas caixas, A e B, cada uma delas contendo quatro bolas numeradas, tal como a figura abaixo ilustra. Extraem-se, ao acaso, dias bolas da caixa A e uma bola da caixa B. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser um número par? (A) (B) () 0 (D) 3 5. Em cada uma das opções seguintes (A, B, e D) são círculos ou quadrados e estão pintadas de branco ou preto). Para cada opção, considere: - a experiência que consiste na escolha aleatória de uma das quatro figuras; - os acontecimentos: X: a figura escolhida é um quadrado ; Y: a figura escolhida está pintada de preto. Em qual das opções se tem P ( X Y ) =? (A) (B) () (D) Professora: Rosa anelas

3 ESOLA SEUNDÁRIA OM 3º ILO D. DINIS º ANO DE ESOLARIDADE DE MATEMÁTIA A Tema I Probabilidades e ombinatória Tarefa nº do plano de trabalho nº 5 proposta de resolução. O número de casos possíveis é o número de maneiras de escolher três bolas de um total de doze, pelo que o número de casos possíveis é 3. Para que a soma dos números saídos seja 5, ou se retiram duas bolas com o número e uma bola com o número 3, ou se retiram duas bolas com o número e uma bola com o número. No primeiro caso, temos de escolher duas bolas com o número, de entre três, e uma bola com o número 3, de entre quatro, pelo que existem 3 maneiras diferentes de o fazer. No segundo caso, temos de escolher duas bolas com o número, de entre cinco, e uma bola com o número, de entre três, pelo que existem 5 3maneiras diferentes de o fazer. O número de casos favoráveis é, então, Uma vez que todos os casos possíveis são equiprováveis, a probabilidade pedida é, de acordo com a Regra de Laplace, De acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são todos equiprováveis. Vejamos o número de casos possíveis: existem 5 0 maneiras diferentes de escolher vinte, dos vinte e cinco jovens, para irem ao cinema; para cada uma destas maneiras, existem 0!maneiras diferentes de esses vinte jovens ocuparem os vinte lugares disponíveis. Vejamos agora o número de casos favoráveis: existem maneiras diferentes de escolher dez, dos doze rapazes, e dez, das treze raparigas, para irem ao cinema; para cada uma destas maneiras, existem 0! 0! maneiras diferentes de esses jovens ocuparem as duas filas, de acordo com o enunciado (os rapazes podem ficar na fila da frente e as raparigas na de trás, ou ao contrário; para cada uma destas duas maneiras, existem 0! maneiras diferentes de os dez rapazes ocuparem os dez lugares da sua fila e, de igual modo, existem 0! maneiras diferentes de as dez raparigas ocuparem os dez lugares da sua fila). Uma vez que todos os casos possíveis são equiprováveis, a probabilidade pedida é, de acordo com a Regra de Laplace, 0! 0! ! Professora: Rosa anelas

4 3. Uma turma do. 0 ano é constituída por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas. A comissão será formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas relações públicas. 3.. Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo ocupar qualquer um dos três cargos, podemos formar distintas. 3 A 656 = comissões 3.. Admitamos agora que o delegado de turma pode, ou não, fazer parte da comissão O número de comissões mistas distintas é 3 5 A A = Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos do mesmo sexo Suponhamos que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma: ada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas são dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel. O primeiro nome a sair corresponde ao do presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsável pelas relações públicas. Sejam A, B e os acontecimentos: A: «o presidente é uma rapariga»; B: «o tesoureiro é uma rapariga»; : «a comissão é formada só por raparigas». Indiquemos o valor da probabilidade condicionada p( ( A B) ) composição, com cerca de dez linhas, justificamos a resposta. ( ( B) ) e, numa pequena p A significa " probabilidade de a comissão ser formada só por raparigas, sabendo que, para presidente e para tesoureiro foram sorteadas duas raparigas". Tem-se assim que: o número de casos possíveis é 3 (número de alunos que restam, após o sorteio para os cargos de presidente e tesoureiro). O número de casos favoráveis é 3 (número de raparigas que restam, após o sorteio de duas raparigas para os cargos de presidente e tesoureiro). A probabilidade pedida por aplicação da regra de Laplace é 3 3. O prisma tem n faces laterais, cada uma com duas diagonais, existindo assim um total de n diagonais nas faces laterais. Professora: Rosa anelas

5 Em cada uma das bases existem n vértices, pelo que existem n segmentos de recta por eles definidos. Destes, n são os lados do polígono, pelo que n de uma base. omo existem duas bases, existem ( n n) n Existem, assim, ao todo, ( n) n + diagonais nas faces do prisma. né o número de diagonais diagonais nas bases do prisma. 5. (B) A probabilidade de o produto dos números das três bolas retiradas ser um número par é porque um produto é par se pelo menos um dos factores for par e como ao tirar duas bolas da caixa A pelo menos uma terá um número par o que faz com que o produto final também seja par. 6. (B) P( X Y) = ( ) P X Y representa a probabilidade de a figura escolhida ser um quadrado sabendo que essa figura está pintada de preto. Se sabemos que a figura está pintada de preto e que P( X Y) = é porque, entre as figuras pintadas de preto, metade são quadrados. Professora: Rosa anelas