Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Probabilidade condicionada; acontecimentos independentes 12.

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1 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática no Lectivo 00/0 Probabilidade condicionada; acontecimentos indeendentes º no Nome: Nº: Turma: Demonstre que se e são acontecimentos indeendentes, também são indeendentes e Sugestão: Se e são indeendentes, então Pretende-se demonstrar que Estude a deendência dos acontecimentos M e N, sabendo que: a M 0 ; N 0 e M e N são incomatíveis; b M 0 e M N ; c N 0 e M é um acontecimento qualquer Um casal tem três filhos e sejam os acontecimentos: : o casal tem no máximo uma raariga : o casal tem filhos de ambos os sexos alcule, e, e verifique se e são acontecimentos indeendentes Luísa tem duas moedas no bolso, uma viciada e outra normal Na moeda viciada a robabilidade de sair cara é Luísa tira uma moeda do bolso aleatoriamente, atira-a ao ar e verifica que sai cara Determine a robabilidade de ela ter tirado do bolso a moeda viciada Tenho duas caixas iguais caixa tem 0 rebuçados de mentol e 0 de limão, enquanto a tem 0 de mentol e 0 de limão Peguei numa das caixas e tirei ao acaso um rebuçado Era de mentol Qual é a robabilidade de ter escolhido a caixa? Os centros de transfusão sanguínea ublicaram o quadro ao lado com a distribuição dos rinciais gruos sanguíneos no ano de 7 num dado aís Sabe-se que o sangue de qualquer ser humano ossui uma determinada característica chamada factor Rhésius RH Esta característica ode tomar duas formas: RH ositivo RH ou RH negativo RH Estas características não variam com o sexo onsiderando um casal ao acaso, determine a robabilidade de que: a O homem seja R e a mulher R R b O homem seja [ 0 ] e a mulher [ R ] c O homem seja R e a mulher R 0 R 7,0%,%,%,% R 7,0% 7,%,% 0,% d O homem seja [ R ] e a mulher [ R ] e Sabendo que um indivíduo tem sangue tio, ter R

2 7 Um estudante realiza dois exames no mesmo dia robabilidade de que fique arovado no rimeiro exame é de 0,7 e a robabilidade de que asse no segundo é 0, e a de que arove em ambos é de 0, a alcule: a a robabilidade de que fique arovado em, elo menos, um exame; b a robabilidade de que não fique arovado em nenhum b Serão as rovas indeendentes? c Determine a robabilidade de que asse no segundo exame, no caso de ter rerovado no rimeiro Um saco contém seis bolas, numeradas de a s bolas que têm números ares estão intadas de verde s bolas que têm números ímares estão intadas de azul Extraem-se, aleatoriamente, e de uma só vez, duas bolas do saco Sejam e os seguintes acontecimentos: : s duas bolas são da mesma cor : O roduto dos números das bolas é imar a Determine resente o resultado na forma de fracção irredutível b Indique, justificando, o valor da robabilidade condicionada onsidere: uma caixa com seis bolas, todas brancas; seis bolas retas, fora da caixa; um dado equilibrado, com as faces numeradas de a Lança-se duas vezes o dado Tiram-se, da caixa, tantas bolas brancas quantas o número saído no rimeiro lançamento olocam-se, na caixa, tantas bolas retas quantas o número saído no segundo lançamento a Qual é a robabilidade de a caixa ficar com seis bolas? resente o resultado na forma de fracção irredutível b Sejam e os acontecimentos: -«Sai face no rimeiro lançamento do dado» -«Ficam, na caixa, menos bolas brancas do que retas» Indique, justificando, o valor da robabilidade condicionada resente o resultado na forma de fracção irredutível, 0 Um baralho de cartas comleto é constituído or cinquenta e duas cartas, reartidas or quatro naies de treze cartas cada: Esadas, oas, Ouros e Paus ada naie tem três figuras: Rei, Dama e Valete a Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho comleto, qual é a robabilidade de, entre elas, haver um e um só Rei? resente o resultado na forma de dízima, com aroximação às milésimas b De um baralho comleto extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reosição, duas cartas Sejam E, e F os acontecimentos: E : sair Esadas na rimeira extracção; : sair oas na segunda extracção; F : sair uma figura na segunda extracção Sem utilizar a fórmula da robabilidade condicionada, indique o valor de F E Numa equena comosição, com cerca de dez linhas, exlicite o raciocínio que efectuou O valor edido deverá resultar aenas da interretação do significado de F E, no contexto da situação descrita

3 Uma turma do º ano é constituída or vinte e cinco alunos quinze raarigas e dez raazes Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão ara organizar uma viagem de finalistas comissão será formada or três essoas: um residente, um tesoureiro e um resonsável elas relações úblicas a Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer arte da comissão, odendo ocuar qualquer um dos três cargos, quantas comissões distintas oderiam ser formadas? b dmita agora que o delegado de turma ode, ou não, fazer arte da comissão b Quantas comissões mistas distintas odem ser formadas? Nota: Entenda-se or comissão mista uma comissão constituída or jovens que não são todos do mesmo sexo b Suonha que a escolha dos três elementos vai ser feita or sorteio, da seguinte forma ada aluno escreve o seu nome numa folha de ael s vinte e cinco folhas são dobradas e introduzidas num saco Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de ael O rimeiro nome a sair corresonde ao do residente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do resonsável elas relações úblicas Sejam, E e os acontecimentos: : «o residente é uma raariga»; E: «o tesoureiro é uma raariga»; : «a comissão é formada só or raarigas» Indique o valor da robabilidade condicionada e, numa equena comosição, com cerca de dez linhas, justifique a sua resosta Nota: Não alique a fórmula da robabilidade condicionada O valor edido deverá resultar exclusivamente da interretação de, no contexto do roblema Seja S o conjunto de resultados associado a uma exeriência aleatória Sejam E e E dois acontecimentos ossíveis E S e E S a Prove que E E E E E b Um baralho de cartas comleto é constituído or cinquenta e duas cartas, reartidas or quatro naies de treze cartas cada: esadas, coas, ouros e aus De um baralho comleto extraem-se, sucessivamente e sem reosição, duas cartas Qual é a robabilidade de elo menos uma das cartas extraídas não ser do naie de esadas? resente o resultado na forma de fracção irredutível Nota: Se o desejar, utilize a igualdade referida na alínea anterior; neste caso, deverá começar or caracterizar claramente os acontecimentos E e E, no contexto da situação aresentada c Num certo jogo de cartas, utiliza-se um baralho comleto e dão-se treze cartas a cada jogador Imagine que está a articiar nesse jogo Qual é a robabilidade de, nas treze cartas que vai receber, haver exactamente seis cartas do naie de esadas? resente o resultado na forma de ercentagem, arredondado às unidades Seja S o esaço de resultados associado a uma exeriência aleatória Sejam e dois acontecimentos S e S Sabendo que e são indeendentes, rove que: Uma caixa contém cinco bolas brancas e cinco bolas retas, indistinguíveis ao tacto Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reosição, duas bolas da caixa onsidere os seguintes acontecimentos: - a bola retirada em rimeiro lugar é branca; - a bola retirada em segundo lugar é branca Qual é o valor da robabilidade condicionada? [] [] [] [D]

4 SOLUÇÕES a São deendentes b Só serão indeendentes se N for o conjunto de resultados, isto é, se N c São indeendentes a b 7 ; e Os acontecimentos são indeendentes a 0, 0, 0, b 0,7 0, 0, c 0, 0, 0, 0 d 0,0 0,0 0, 0007 e 0,07 0, 0, a 0, a 0, b Não, visto E E E c E 0 a b a 0, b F E a b 0 0 c b [] 7 c % O Professor

5 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática no Lectivo 00/0 Probabilidade condicionada; acontecimentos indeendentes º no Proosta de Resolução: ceitando a sugestão, temos:, ois, or hiótese, e são acontecimentos indeendentes a Ora, M N 0, ois M e N são acontecimentos incomatíveis Por definição de robabilidade condicionada, temos N M 0 N / M 0 or hiótese M 0 e N 0 M M M Logo, sendo N / M N, os acontecimentos são deendentes b omo M N, então M N M Logo, M N M 0, ois or hiótese é M 0 N M M Por outro lado, N / M M 0 M M Portanto, os acontecimentos M e N aenas serão indeendentes se N, isto é, se N for o esaço de resultados Ω c Se N 0, então N ssim, N M 0 N M, ois N 0 Logo, os acontecimentos M e N são indeendentes Definindo os acontecimentos e e o conjunto de resultados, temos: Ω { M, F, M, F, M, F, M, F} { M, F, M, M} { F, M, F, M, F, M} Logo,, e { F, M, M} Ora,, logo os acontecimentos e são indeendentes Sabe-se que / V Pretende-se descobrir V / Porquê? Ora, acomanhe o raciocínio com o diagrama ao lado V V / V / V / V V V V / V / V / V V / V / / / N / E E V V E V V E V V E

6 Pretende-se determinar / M Porquê? Faça um diagrama! Ora, M M / / M M M M M / M / a R R R R 0, 0, 0, b 0R R 0R R 0,7 0, 0, c R R R R 0, 0, 0, 0 0 Total R 7,0%,%,%,%,% R 7,0% 7,%,% 0,%,% Total,0%,% 7,%,% 00,0% d R R R R 0,0 0,0 0, 0007 e R 0,07 R / 0, P 0,07 0, 7 a E E E E E E 0,7 0, 0, 0, a E E E E E E 0, 0, b Ora, E E 0, e E E 0,7 0, 0, omo E E P E, as rovas não são indeendentes E c comanhe a resolução elo diagrama ou ela tabela, deois de os ter comletado E E 0, E / E Note que E E E E E 0, 0, 0, P E 0, E E E 0, 0, 0, E 0, 0, 0, 0,7 0, 0,7 E E E 0, E 0, E 0, 0, E E E E E E E 0, 0, 0, a Ora, VV b visto que, se o roduto dos números é ímar, ambas as bolas têm números ímares, elo que são ambas azuis, sendo assim, da mesma cor a Para que a caixa fique com bolas, o número saído no dado no rimeiro lançamento tem de ser igual ao saído no segundo lançamento Portanto, dos resultados ossíveis, aenas são favoráveis Logo,

7 b, ois designa a robabilidade de ficarem na caixa menos bolas brancas do que retas, sabendo que saiu a face no rimeiro lançamento Ora, tendo saído a face no rimeiro lançamento, ficou aenas uma bola branca na caixa Para que fiquem, na caixa, menos bolas brancas do que retas, terá de sair face,,, ou no segundo lançamento 0 a omo cada acontecimento favorável é constituído or um Rei escolhido entre ossíveis mais cartas, qualquer uma delas diferente de Rei escolhidas, ortanto, de entre ossíveis, vem: 0, b F E significa «robabilidade de sair figura de coas na segunda extracção, sabendo que saiu uma carta de esadas na rimeira extracção» Tem-se, assim, que: O número de casos ossíveis é número de cartas existentes no baralho, aós a extracção da rimeira carta O número de casos favoráveis é número de figuras de coas existentes no baralho, aós a extracção da rimeira carta, a qual, or ser de esadas, não é figura de coas robabilidade edida é, or alicação da regra de Lalace, F E a Podem ser formadas N P comissões distintas, dado que o delegado ode ocuar qualquer um dos três cargos e os restantes dois elementos odem ser escolhidos de um gruo de alunos, sendo deois ossível a ermutação dos dois cargos disoníveis entre si b Se as comissões são mistas, então articiam dois raazes e uma raariga ou duas raarigas e um raaz Logo, odem obter-se N' P P 0 00 raariga e raazes raaz e raarigas comissões mistas distintas b significa «robabilidade de a comissão ser formada só or raarigas, sabendo que, ara residente e ara tesoureiro, foram sorteadas duas raarigas» Tem-se, assim, que: O número de casos ossíveis é número de alunos que restam, aós o sorteio ara os cargos de residente e tesoureiro O número de casos favoráveis é número de raarigas que restam, aós o sorteio ara os cargos de residente e tesoureiro robabilidade edida é, or alicação da regra de Lalace, a E E E E E E E E E b Sejam E e E os seguintes acontecimentos: E : Sair esadas na rimeira extracção E : Sair esadas na segunda extracção Ora, dado que E E equivale a elo menos uma das cartas extraídas não é do naie de esadas, temos: E E E E E

8 c Uma mão de cartas ode ser obtida de maneiras distintas, já que não interessa a ordem da distribuição das cartas nem tão ouco ode haver reetição das mesmas Ora, as seis cartas do naie de esadas odem ser escolhidas de maneiras distintas de entre as cartas desse naie s restantes 7 cartas odem ser escolhidas de 7 maneiras distintas de entre as cartas dos outros três naies Logo, a robabilidade edida é % 7 ois e são indeendentes, P P Ora, 0 0 Ou, melhor ainda: Se a rimeira bola extraída é branca, restam bolas na caixa, das quais aenas são brancas Logo, na segunda extracção, a robabilidade de extrair uma bola branca é de em, isto é,