M odulo de Potencia c ao e D ızimas Peri odicas Nota c ao Cient ıfica e D ızimas Oitavo Ano

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Salvador Barateiro Castro
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1 Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Notação Científica e Dízimas Oitavo Ano

2 Exercícios Introdutórios Exercício. Escreva os seguintes números na notação científica: a) b) 0, c). d) 0, 09 Exercício. Escreva o eríodo dos decimais eriódicos: a) 0, b) 8, c) 46, Exercício 3. Encontre a fração geratriz de: a) 0, b) 0,... c) 6,. d) 0, Exercício 4. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas eriódicas: a) 4, b), c), Exercícios de Fixação Exercício. Sem efetuar a divisão, determine se a fração corresonde a um decimal exato ou a uma dízima eriódica. a) b) 6. c) 4. d) Exercício 6. Dizemos que um inteiro ositivo x está escrito na notação científica se é da forma x m 0 k onde k é um inteiro e m satisfaz: a) m é inteiro. b) m < 0. c) m <. d) m < 0. e) 0 < m <. Exercício 7. Assinale qual o maior dentre os números seguintes: a), 0. b), 0. c), 00. d), 0. e), 0. 3 Exercícios de Arofundamento e de Exames Exercício 8. Considere o número X, (O adrão se mantém, ou seja, a quantidade de zeros entre números uns consecutivos semre aumenta exatamente uma unidade). a) Qual é a sua a casa decimal aós a vírgula? b) Qual é a sua 00 a casa decimal aós a vírgula? c) O número X é racional ou irracional? Exercício 9. Qual é o rimeiro dígito não nulo aós a vírgula na reresentação decimal da fração? (a) (b) (c) 4 (d) (e) 7. Exercício 0. O valor da exressão ( ) 3 ( ) 0 (0, ) (, ) é igual a: (a) (b) (c) (d) (e) 3. Exercício. Observe as multilicações: htt://matematica.obme.org.br/ matematica@obme.org.br

3 Da última multilicação, odemos concluir que , 487. Veja que as seis rimeiras multilicações roduzem números com os mesmos dígitos de e este é exatamente o eríodo da reresentação decimal de. Você consegue descobrir um número rimo 7 maior que 7 tal que o eríodo da dízima que reresenta ossui casas decimais? Exercício. Considere um rimo que divide 0 n + ara algum n inteiro ositivo. Por exemlo, 7 divide Analisando o eríodo da reresentação decimal de, verifique que o número de vezes que o dígito i aarece é igual ao número de vezes que o dígito 9 i aarece ara cada i {0,,,..., 9}. Exercício 3. Considere um número rimo que não divide 0 e suonha que o eríodo da reresentação decimal de seja k. É semre ossível decomormos o eríodo em dois blocos de dígitos consecutivos que somam 0 k? Por exemlo, o eríodo de tem tamanho 6 k ois é igual 7 à 487. Veja que k. htt://matematica.obme.org.br/ matematica@obme.org.br

4 Resostas e Soluções Exercícios Introdutórios. a) 4, b), c), 0. d) a) 34. b) 7. c) a) a) b) c) Logo, x Logo, x x 4, x 47,... 00x 47,... 90x 4 x, x 8, x 89, x 7 b) c) d) 4. Logo, x Logo, x Logo, x 9 9. x 0, x 3, x 3 x 0,... 00x,... 99x Logo, x x 6,... 0x 6,... 9x 9 x 0, x 6, x 6 Logo, x x, x, x 0, x 89 Exercícios de Fixação. a) Decimal exato. Isso ocorre ois o denominador só ossui fatores rimos e. b) Decimal exato. Isso ocorre ois 6 e o denominador só ossui fator. c) Dízima eriódica. Trata-se de uma fração irredutível com um fator rimo no denominador que não é e nem. De fato, 4, d) Decimal exato. Isso ocorre ois o denominador só ossui fatores rimos e. 6. (B) 7. Resosta B. 3 Exercícios de Arofundamento e de Exames 8. a) 0. htt://matematica.obme.org.br/ 3 matematica@obme.org.br

5 b) Um gruo de k zeros é searado de um gruo seguinte de k + zeros or exatamente um número. Assim, contando até o dígito que sucede um gruo de k zeros, temos: k }{{} algarismos zeros + }{{} k algarismos uns k(k + 3). Se k 30, já teremos 30(33) 49. Consequentemente a 00 a casa decimal vale zero ois está no gruo com 3 zeros. c) O número X não é racional orque sua reresentação decimal não é eriódica uma vez que a quantidade de algarismos zeros entre dois s consecutivos semre está aumentando Como 4096, o rimeiro dígito não nulo aós a vírgula é 4. Resosta C. 0. Veja que ( ) 3 (0, ) 6 Além disso, ( ) 0 3, ( ) /9 9 3 Assim, o valor da exressão rocurada é: [ 8 + ] / [ Resosta E 3 ] /. Um valor ossível ara é 7 ois: 0, Todos os rimos menores que 00 que satisfazem essa roriedade são: 7, 7, 9, 3, 9, 47, 9, 6, 97. Comentário ara rofessores: Seja um número rimo que não divide 0 e seja n um inteiro com 0 < n <. Se d é o menor inteiro ositivo tal que 0 d é múltilo de, é ossível mostrar que o eríodo da reresentação decimal de n é exatamente d. No exemlo anterior, como 7 não divide 0, 0,..., 0 e divide 0 6, temos d 6.. Podemos escrever 0 n + a onde a é um número com não mais que n dígitos na base 0, digamos a a a... a n. Queremos dizer com isso que cada número a i é um dos dígitos de a. Mesmo que ele ossua estritamente menos que n dígitos, odemos colocar alguns a i s da esquerda como sendo 0. Temos a a a 0 n + a(0n ) 0 n [0n (a ) + (0 n ) (a )] 0 n O número 0 n é constituido or n números iguais a 9 e a diferença (0 n ) (a ) reduz cada um desses dígitos 9 or um dígito de a. Assim, a reresentação decimal do numerador é: a a... a n (a n )(9 a )(9 a )... (9 a n )(0 a n ). O numero anterior reresenta o eríodo da reresentação de e cada dígito i ode ser areado com um outro dígito da forma 9 i. Assim, as quantidades de aarições de tais dígitos são iguais. No exemlo do enunciado, o eríodo de /7 é 487 e temos os seguintes areamentos: Como 0 k (0 k )(0 k + ) e é rimo, um dentre 0 k e 0 k + é múltilo de. Não odemos ter 0 k múltilo de ois caso contrário oderíamos escrever (0k )/ 0 k e obteríamos uma dízima eriódica com eríodo menor do que k. Sendo assim, divide htt://matematica.obme.org.br/ 4 matematica@obme.org.br

6 0 k + e odemos usar reetir a solução anterior ara concluir que o eríodo da reresentação decimal de / é da forma: a a... a k (a k )(9 a )(9 a )... (9 a k )(0 a k ). Somando o número formado elos k rimeiros dígitos com o número formado elos k últimos, obtemos 99 }{{... 9 } k vezes 0 k. htt://matematica.obme.org.br/ matematica@obme.org.br

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