1 Lógica e teoria dos conjuntos

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1 Lógica e teoria dos conjuntos.. Introdução à lógica bivalente Pág. 0 Atividade de diagnóstico.. N..,5 Z Q.5. π R π.6. Q Z.8. 0 Z x = 5 x+ = 5 x = 5 x = S = { } x + = 0 ( x ) 9 x+ 6x 6 = 0 x 6x = 6 9 7x = x = 7 S = 7 x x = ( 6) ( ) 6x + 6 x + 8 = 6x x = 6 5 8x = 5 x = 8 5 S = 8 x = 6 x = 8 x = 0 Equação ossível determinada em Q, Z e N x = 5 6 x+ = 5 x = 5 7 x = 8 Equação ossível determinada em Q e Z e imossível em N.. x = 0 x = Equação imossível em N, em Z e em Q.. + x = 0 + x = 0 x = Equação ossível determinada em Q ez e imossível em N.. x = 5 x = 5 x = 5 S = { 5,5}.. x = 5 x = 5 x = 5 x = 6 x =.. S = {,6} x = 0 x = 0 x = S = x 0 x R Condição universal x > 0 x 0 S =R \{ 0}. Condição ossível x < 0 x Condição imossível x 0 x = 0 S = { 0}. Condição ossível 5.5. x 0 x R Condição universal 5.6. x 0 x = 0 S = { 0}. Condição ossível 5.7. x < 5 x < 5 x > 5 x < 8 x > S = ],8[. Condição ossível 5.8. x 0 x = 0 x = 6.. S = { }. Condição ossível A B = ], ] 6.. Pela questão 6..: A B = ], 0] 6.. A C = { } C D = [,5[ ( A B) D = ],5[ ],0] { } A B C = 0 0 x < x > S = 0, + ] [ x x > > 0 x + > 0 x > x < S = ],[ 7.. x ( x ) 0 x x + 0 5x x 5 S =, + 5 Pág.

2 .. Introdução à lógica bivalente x x < ( ( 6) ) x+ 8x+ 6 < 0x < 8 0x < x > 0 S =, + 0 x ( x+ ) > 6 x+ 6x 6 > 7x > x < 7 S =, 7 x > ( x ) 6 x+ > 6x 6 x 6x > 6 9 7x > 5 5 x < 7 5 S =, 7 x x x x + 6x + x x x x S =, x x = 0 x = 0 x = 0 x = x = S =, x x x + 5 = x = 0 x = 0 x + 5 = 0 x = 0 x = x = 5 S = { 5,0,} x = x x x = 0 x x = 0 x = 0 x = 0 { } x = 0 x = S = 0, = = = 0 x x x x x x x x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = S = 0, 5 x = x 6x + 5x = 0 x 6x+ 5 = 0 x = 0 6x+ 5 = x = 0 x = S =, x = x = x = S = {,} x x x = 5 = 5 = 5 S = { 5, 5} x = 8 x = 9 x = x = S = {, } 8± 6 8 x 8x + 7 = 0 x = 8± 6 x x x 7 S = = = = {,7} Pág.. A: + > 7 é uma roosição falsa. C: Um dado cúbico tem seis faces. é uma roosição verdadeira. E: A Torre de Pisa está inclinada. é uma roosição verdadeira... π =,6 é uma roosição falsa orque a dízima de π é infinita... 8 = 8 = 8 = 6 A roosição dada é verdadeira... O comrimento da hiotenusa de um triângulo retângulo é maior do que qualquer um dos comrimentos dos catetos. A roosição dada é falsa... 0,09 = 0, e 0, Q 0,09 Q, logo é uma roosição verdadeira. Pág. 5. Por exemlo:.. r. A roosição é verdadeira e a roosição r é falsa. Logo, r é falsa... q. As roosições e q são verdadeiras. Logo, q é verdadeira.. : 0,(6) = 0, =, =,() é falsa = = q: q é verdadeira. r: ( ) = 5 0 5,7 + R orque 0 5 é ar. r é falsa. s: m.d.c. (7, 08) = 6; s é verdadeira Então, r e q s.

3 .. Introdução à lógica bivalente Pág A Roda dos Alimentos não dá orientações ara uma alimentação saudável. Proosição falsa <. 5 5 <. 7 7 =. Proosição falsa 6+ 7 = + = = 5.5. Não é verdade que todos os ontos de um círculo ertencem à circunferência que o define. 7 7 >,,. 7 6 = + = + = + 0, =, Não é verdade que todos os triângulos têm dois ângulos agudos. Proosição falsa 5.8. Não é verdade que todos os múltilos de são múltilos de : O número é rimo. Pág. 9 q: O número 9 é um quadrado erfeito. 6.. q. orque e q são verdadeiras. 6.. q. Proosição falsa orque q é falsa. 6.. q. Proosição falsa orque e q são falsas =, π < 0 é uma roosição falsa orque =, é uma roosição falsa. 5< > é uma roosição verdadeira orque 5< 5 é verdadeiro e verdadeiro. > 9 > 8,6 Z Q é falsa, orque 8 Z é falsa dado que = = = Z. Pág. 8. Se q é uma roosição verdadeira, então V e q V. 8.. q V V V 8.. q V V F V V 8.. q F F F Proosição falsa 9. Se q é verdadeira qualquer que seja q, então é verdadeira ( V). Se fosse uma roosição falsa, oderia ser falsa se q fosse uma roosição falsa. 0. e têm valores lógicos contrários, ou seja, se é verdadeira, é falsa e se é falsa, é verdadeira. Logo, é falsa (rincíio de não contradição).. Pelo rincíio do terceiro excluído V, logo ( ) F. é Pág.. : Chove. q: O sol brilha. r: Está calor... q r.. r.. r q.. ( q) r. Se q é falsa, então é verdadeira e q é falsa. V e q F.. q V F F F F Proosição falsa q V F F.. Proosição falsa q V F V V V.. q V F V V V.. q V F F F F. Proosição falsa ( q ) ( F V) V.7. ( q ) ( ). F V V V V.. a a é verdadeiro qualquer que seja a (rincíio do terceiro excluído). a a a é verdadeira ois a V V qualquer Então, que seja a... a a é falsa qualquer que seja a (rincíio de não a a a é falsa dado que contradição). Logo, a F F qualquer que seja a... a a é falsa qualquer que seja a. Logo, ( ) a a a é verdadeira orque se o antecedente é falso, então a imlicação é semre verdadeira. Pág. 5. O losango [ABCD] é um quadrado se e somente se tem as diagonais iguais. 6. Se q é uma roosição falsa, então as roosições e q são ambas falsas, ou seja, a roosição é verdadeira e a roosição q é falsa. 6.. é falsa e q é falsa. Logo, a roosição q é verdadeira orque as roosições e q têm o mesmo valor lógico. 6.. é verdadeira e q é falsa. Logo, q é falsa, é verdadeira e q é verdadeira. Assim, q é verdadeira. 7. Portanto, ( q) ( q) é uma roosição falsa. q q q V V V V V F V V F V V V F F F F q q Pág. 6

4 .. Introdução à lógica bivalente q r q q r ( q) r ( q r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F V F F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F q r q r q r F F V F F F F F F F F F V F V F F F F q r q r ( ) Pág. 7 q r ( q) ( r ) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F V F F F F F V F F V F F F F F F F F F F. q q q ( q) ( q r) ( q) ( r ) q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V q q. q q q ( q) q V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F q q Pág. 8 Pág. 9 Pág. 0.. ( q ) ( q) (q ) F V V V (V F F) F (V F F) V V F F (V V V) V (F F F) V F F V (F F F) V (V V V) F F V F (F F V) F (F F V) q q q.. ( q ) ( q) (V V V) V (F V F) (V F F) V (F F V) (F F V) V (V F F) (F V V) V (V V V).. a ( a b) ( a a) ( a b) V ( a b) V a b.. ( q) ( V) ( q) ( V q) V V q V V.. ( a b) ( a b) a ( b b) a F a a b b.. ( ) ( q) ( a b) b ( a b) b ( a b) b ( b a) ( b V) ( V) b a b V b.5. ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( ) a b a b ( ) F ( b a) b ( b a) b a ( b b) a a b a b a b a b a b.6. ( a) b ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) a ( b b) a V a Pág. q

5 .. Introdução à lógica bivalente 5.. ( ) a a b b ( ) a a b b a a b b a a b b ( ) ( V b) b a a b b V b b 5.. ( a b) ( a b) ( a) b ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) b ( a a) ( b a) ( a b) ( b b) V ( b a) ( a b) V ( a b) ( b a) ( a b) 6.. ( q) q ( q) ( q ) ( q) ( q) q q a a V V 6.. ( q) ( ) ( q) ( q) ( ) q V q V 6.. ( q) ( ( ) q) ( q) ( q) ( ) ( q) F ( q) F Atividades comlementares 7. B: O coelho tem duas atas. Proosição falsa D: 6 =. 9 B e D são roosições. 8.. Proosição falsa Proosição falsa 8.5. Proosição falsa 8.6. Pág. 9. : π é um número irracional (verdadeiro) q: é um número racional (verdadeiro) r: 5 é múltilo de 5 (falso) Por exemlo: 9.. q 9.. r N 0.. Não é verdade que todos os múltilos de são número ímares.. Se é verdadeira:.. é verdadeira. é falsa e.. a b : Os atos nadam e têm bico... b c : Os atos têm bico e comem lantas... a b : Os atos não nadam, mas têm bico... b c: Os atos têm bico e não comem lantas... q. Proosição falsa.. q. Proosição falsa.. q. Proosição falsa Pág. 5.. A bicicleta é da Alice ou tem flores... A bicicleta não é da Alice, mas tem flores. Proosição falsa 5. Se q é verdadeira então e q são roosições verdadeiras. Logo, é falsa e q é verdadeira. 5.. q F F F A roosição é falsa. 5.. q V V V A roosição é verdadeira. q q 5.. F V V A roosição é verdadeira. q F F F V A roosição é verdadeira. V F V F V V A roosição roosição. 6.. é verdadeira qualquer que seja a V F F F V F A roosição é falsa qualquer que seja a roosição. 7.. q : Se como maçãs, então como fruta. 7.. r q: Se comro fruta, então como maçãs. 7.. r : Se comro fruta, então não como fruta. 7.. r q : Se não comro fruta, então não como maçãs. 8. Se a b é uma roosição falsa, então a é verdadeira e b é falsa, ou seja, a e b são roosições falsas. Então: 8.. a b F F F Proosição falsa 8.. a b F F F V V

6 .. Introdução à lógica bivalente 8.. a b F F F V F Proosição falsa 8.. a b F F V V V b a F F V 8.5. b a F F V F F V 8.6. b a F F V V 8.7. V F. Proosição falsa a b F F F V V F 8.8. Proosição falsa 9. Se a b é falsa, então a é verdadeira e b é falsa, ou seja, a e b são verdadeiras. a b V V V 9.. a b V V V F F 9.. Proosição falsa 9.. a b V V V F V 9.. a b V V F V F Proosição falsa a b V V F V V F 9.5. b a V V F F V F Proosição falsa V V F F V V F F q q q q ( q) V V F V F V V F V F V F F V F V F V F F V V F V ( ) q q q q q ( q) q V V F F V V V F V V F F F V F V F F F F V V F F ( ) q q.. q q q ( q) q V V F F F V V V F F V F V V F V V F F F F F F V V V V V.. q q ( ) q q q ( q) ( q) V V F V V V V F F F V F F V V V V V F F V V F F ( ) ( ) q r q r.5. (q r) ( q) ( r) V V V V V F V V V F V V V F V F F F V V F F F F V F F F V F F F F F V V V F F F F F F F F F F F F V V V V V V V V V V V F V V F F V V V V V V F F V F F V V V F V V V V F V F F F V V F V V V F ( ) q q q.. ( a b) ( a) ( b) a b.. a ( a b) ( a a) ( a b) V ( a b) a b.. ( a b) b ( a b) ( b b) ( a b) V a b ( a b).. ( a b) ( a b) a ( b b) a V a.5. ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a a) ( b b) V V V A roosição é verdadeira quaisquer que sejam as roosições a e b (V)..6. ( a b) a ( a b) a ( a b b a) a ( a b) ( b a) a ( a b) ( b a) a ( a b) ( b a) a ( a b) ( b a) ( a a)

7 .. Introdução à lógica bivalente ( a b) ( b a) V ( a b) ( b a) ( a b) b a ( a b) ( b b) a a b a a b.7. q q q q ( ) q q ( ) ( ) q q q q q ( q) V ( q) ( ) ( q ) F ( q ) q.8. ( ) b b c b c c ( b b) ( b c) ( b c) ( c c) F ( b c) ( b c) F ( b c) ( b c) b ( c c) b V b.9. a ( a b) ( a b) ( a ( a b) ) ( a b) a a b a b ( ) a a b a b ( a a) ( a b) ( a b) ( a b) F a b a b Pág. 6.. Uma roosição não ode ser verdadeira e falsa em simultâneo... Um roosição ou é verdadeira ou falsa.. V e q F.. V F é falsa... ( q) q F ( q) é falsa... q V F F q é falsa... q V F F V V q é verdadeira..5. ( q) V F F q é falsa..6. ( q) ( ) V F V V V q é verdadeira. 5. ( q) ( q) V q V q ou Se é verdadeira, então a roosição é verdadeira. Se é falsa, então q é verdadeira, elo que a roosição é igualmente verdadeira. q r a) a ɺ b b) a ɺ b c) a ɺ b 7.. a) Ou o Dinis é engenheiro ou o Duarte é enfermeiro. Proosição falsa b) Ou o Duarte é enfermeiro ou o Dinis não é engenheiro. 7.. Se q é falsa, então é verdadeira e q é falsa: V e q F a) ɺ q V ɺ F V ɺ q é verdadeira. b) ɺ q V ɺ F F ɺ F F ɺ q é falsa. c) ( ɺ q) ( ɺ ) ( ɺ ) Pág. 7 V F V F V V V V V ɺ q é verdadeira. 7.. Se q é uma roosição verdadeira, então e q têm o 7.5. a) mesmo valor lógico. V e q V ( ) ou ( F e q F) a) ɺ q V ɺ V F ou ɺ q F ɺ F F ɺ q é falsa. b) Se e q têm o mesmo valor lógico, então e q têm valores lógicos diferentes. Logo, ɺ q é verdadeira. c) Se V e q V : ( q) ɺ V V ɺ F V ɺ F V Se = F e q = F : q ɺ F F ɺ V F ɺ V V Logo, ( q) d) Se q V, então: ɺ é verdadeira. ( q) Se ɺ V V ɺ F V ɺ F V q F, então: ( q) Logo, ( q) ɺ F F ɺ V F ɺ V V V F V F V V b) q ɺ é verdadeira. ɺ ɺ V V V F V F V F V F F F V q ɺ q V F F V

8 .. Introdução à lógica bivalente c) 7.6. a) q q ɺ q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V F d) q q ɺ q q ( ɺ q) ( q) V V F V V V V F V F V V F V F F V V F F V V F V e) q q ɺ q ɺ q ( ɺ q) ( ɺ q) V V F F V F V F V V F F F V F V F F F F V F V F q q ɺ ( ɺ q) q V V V F V V F F V F F V F V F F F V F V b) Se ( q) ( ɺ q) ( q) ɺ q Portanto: ɺ q q ( q) ( ɺ q), então: ( q) ( q ) ( q) ( q ) ( q) ( q ) ( q) ( q ) 8.. Se o António excedeu o limite de velocidade, então foi multado. 8.. O António não foi multado se e somente se ficou sem carta de condução. 8.. Se o António excedeu o limite de velocidade, então não ficou sem carta de condução. 8.. O António excedeu o limite de velocidade ou foi multado ou ficou sem carta de condução Se o António excedeu o limite de velocidade, então não ficou sem carta de condução ou, se foi multado, então também não ficou sem carta de condução O António excedeu o limite de velocidade e foi multado ou o António não foi multado e ficou sem carta de condução. 9.. a [( a b) (a b)] F V F V V V V V V F V F F F V V F F V F V V V F F F V V F V V F F F F F 9.. a ( a b a b) ( a) ( a b) ( a b) ( ) ( ) a a b a b a a b a b a a ( b b) ( V) a a a a a 50. Se ( a b) ( a c) a b é falsa a c é falsa é falsa, então: Se a b é falsa, então: a é verdadeira b é falsa, ou seja, b é verdadeira. Se a c é falsa e como a é verdadeira, então c é falsa. Portanto, a e b são verdadeiras e c é falsa. O João estuda Filosofia e Matemática e não estuda Biologia. 5. ( a ) b a b ( a ) b a b ( ) ( ) ( V b b) ( V b) ( V b) ( F b) a b a b a a b b F b V b b Sabemos que b é verdadeira elo que b é falsa. Logo, b é falsa e a ode ser verdadeira ou falsa. m: q r Se m é verdadeira: é verdadeira, elo que é falsa; r é verdadeira. Como r é verdadeira, então r é falsa e como q r é verdadeira, então a roosição q é falsa. Portanto, é falsa e q é falsa. 5.. m ( q r) ( ) ( q r) ( q r) ( ( q) ( r) ) ( q r)

9 .. Introdução à lógica bivalente (a b) [a (a b) V F F V V V V V V V V V V V V V F F F V F V F V F V V F V V V F V F V F ( a b) a ( a b) ( a b) a ( a b) ( a b) ( a a) b ( a b) ( V b) ( a b) V V V V [(b a) (a b)] V F F F V V V V V F V F F V F F V V V V V V F V V V F F V V V F V F V F ( b a) ( a b) a ( ) ( ) b a a b a ( ) ( ) a b a b a ( ) ( a F) a a b b a a a V Pág. 8 Avaliação. O Dinis é simático. A exressão não é uma roosição, orque a sua veracidade deende da avaliação subjetiva das outras essoas. Resosta: (A). V; q F ( q) V V V ( q) F V F Resosta: (B) q r. Se é verdadeira, então ( q r ) a é falsa. Logo, é verdadeira e q r é falsa, ou seja, é verdadeira e q e r são falsas. Resosta: (C). Se q é verdadeira, então é verdadeira e q é falsa. V e q F q V F V q F F F F F V ( q) ( q) ( V F) ( F F) V F Resosta: (D) 5. a b a b a b a b ( a b) V V F F V F F V F F V V V V F V V F F V F F F V V V F F Resosta: (C) 6. A afirmação dada é equivalente a Se chover e o Joaquim não tiver um imermeável então não anda de bicicleta, ou q r Resosta: (B) seja, 7.. ( 0 N 0 > 5) 0 N ( 5 0 5) ( ) 0+ = < 0 < < 5 > Pág Se a Ana está na raia e não tem telemóvel, então não fala com a avó. 9.. a) Se a Alice é irmã da Adriana, então o Dinis não é estudante. b) A Alice é irmã da Adriana se e somente se o Dinis é estudante. c) A Alice não é irmã da Adriana e o Dinis é estudante. d) Se a Alice é irmã da Adriana e o Dinis é estudante, então a Alice é irmã da Adriana. 9.. V e q F q ( V V) V q é verdadeira. ( q) V F F q é falsa. q F F F q é falsa. ( q ) V F V F V V q é verdadeira. q q V V F V V V F F V V F V V V V F F V F F q q q q q q ( q) ( q) V V V V V V F F V F F V V V V F F V F F ( q) ( q) q. V; q V Se q é verdadeira e é falsa, então q é verdadeira. q V

10 .. Introdução à lógica bivalente.. q V F F q é falsa... ( q) ( V F) F q é falsa... ( q) F V ( q).. ( q) ( q).. a ( a b) b é verdadeira. F V F V é verdadeira. ( ) a a b b F b b F b V (Se o antecedente é falso, a imlicação é verdadeira.) A roosição é verdadeira quaisquer que sejam a e b... ( F) ( V) ( V) V (Se o consequente é verdadeiro, a imlicação é verdadeira). A roosição é verdadeira quaisquer que sejam e q... a: 88 é um múltilo de. b: No número 88 a soma do dobro do algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é um múltilo de. a b.. a: 00 é múltilo de. b: é múltilo de. a b.. a: 50 termina em 0. b: 50 é múltilo de. c: 50 é múltilo de 5. a b c. Se ( q r) V ( q r) F é uma roosição falsa, então: Se q r é uma roosição falsa, então: q V elo que q F r F Logo, é verdadeira e q e r são falsas. 5. a ( a b) a ( b a) ( ) ( ) a a b a b a ( ) ( ) F b ( V b) a a b a a b F V F a b b 6.. ( ) ( ) ( a b) b a ( b b) a b b a V V 6.. a ( a b) a ( a b) ( a a) b V b V

11 .. Condições e conjuntos.. Condições e conjuntos Atividade inicial x = = = (roosição falsa) 0 = 9 = (roosição verdadeira) Aenas 0 é solução da equação.. x (roosição falsa) (roosição verdadeira).. x R, x Q.. x Z, x Q.. x P, x N.. x F, x é tulia. Pág. 0 Pág. Pág... Existe elo menos um número real igual ao seu dobro... Existe elo menos um número natural cuja soma do seu quadrado com é um número negativo. Proosição falsa.. Existe elo menos um número natural cuja diferença entre o seu dobro e é igual a... Existe elo menos um triângulo escaleno... a) Condições universais: x = x ; x = x e x { } b) Condições ossíveis não universais:x Z e x N c) Condições imossíveis: x + = x.. a) x + = x é uma condição imossível. Logo, x + = x x N é imossível b) x = x é uma condição universal. Logo, x = x x + = x é universal. c) x Z é uma condição ossível. Logo, x + = x x Z é uma condição ossível. d) x = x é uma condição universal. Logo, x = x x N é universal. e) x + = x é uma condição imossível. Logo, x = x x + = x é imossível. f) A condição x + = x é imossível. Logo, x + = x x = x é imossível. 5.. x C, x é treinado x C: x não é treinado 5.. x C: x usa coleira x C, x não usa coleira Pág. Pág x N, x. x 6.5. x N : >. x Cálculo auxiliar: > x > x > 7.. x + = 0 x = é imossível em N. x > 0 é ossível não universal em R (não se verifica ara x = 0). ( x ) é imossível e q (x) é ossível não universal. 7.. a) x N, x + 0 é verdadeira orque a condição b) x + 0 é universal em N. x R : x 0 é verdadeira orque a condição ossível em R (0 é solução). x x 8.. x R, 0 x > 0 x R : 0 x 0 x 0 é Pág A roosição dada é falsa orque a sua negação é verdadeira (ara x = 0). 9.. Por exemlo, 6 = = 8. = = = 8 = 6 6 é um cubo erfeito e é um quadrado erfeito. Logo, a roosição é falsa. 9.. Por exemlo, > e. Logo, a roosição é falsa. 0. Por exemlo, N e.. A = {5, 0, 5}.. a) x A: x é múltilo de 5 A roosição é verdadeira. Por exemlo, 5 é múltilo de 5. x A: x x A, x b) ( ) x A, x não é um múltilo de 5 Nenhum elemento de A é múltilo de 5 x é imossível. c) (x) é universal e.. a) a ( x R, x > 5 x > 0) x R : x > 5 x 0 Pág. 8 Pág. 9 b ( x N : x é ar x tem um divisor ímar) x N, x é ímar x não tem divisores ímares x N, (x é ar x não tem divisores ímares) b) A roosição a é verdadeira (todo o número real maior do que 5 é ositivo). A roosição b é verdadeira (or exemlo, 0 é ar e 5 é divisor de 0) x R : 0. Proosição falsa x 6.. x Z, x + 0. Proosição falsa 6.. x N : x é ímar. Pág. 6.. A = {,,,, 5, 6, 0, 5, 0} A = x N : x é divisor de 0, or exemlo { } B = {,, 0,, } { Z : x } B = x, or exemlo Pág. 5

12 .. Condições e conjuntos.. C { x : x é divisor de 5} D { x C: x é um número rimo}. = N ; C = {, 5, 7, 5} = ; D = {5, 7} x x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = x = 0 x = x = A = {, 0, } x x = 0 x x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = B = {0, } C = x R : x < 0 =, 0 { } [ [.. A B = {, 0, } { 0, } = {, 0, }.. A B = {, 0, } { 0, } = { 0, }.. A\ C = {, 0, }\[, 0[ = { 0, }.. B = { }. { : } { : } { : }.. R = { n: a( n) b( n) } n a n = {n: n é um quadrado erfeito} n b n = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9} n c n = {,,,, 6, 9,, 8, 6} = {n: n é quadrado erfeito inferior a 0} = {,, 9} S = n: b n c n =.. { } = {n : n é inferior a 0 ou é divisor de 6} = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, 8, 6} T = n: a n c n.. { } 5. = {n: n não é quadrado erfeito e é divisor de 6} = {,, 6,, 8} x < x < x < ( ) ( ) A = ], [ 5 x 9 x x B =, x + 8 x 6 x x x C =, A B = ], [, = ], [ 5.. B C =,, + = R =,, =, 5.. A B ] [ Pág. 5 A C =,, + =, 5.. ] [ A B C =,, + =, A = ], [ = [, + [ 5.7. C =, + =, \ =, \, =, 5.8. A B ] [ \ =, \, = 5.9. A ( B C) ] [ =,, 6.. Se um triângulo não é isósceles, então não é equilátero. 6.. Se um número não é racional então não é natural. 7.. n N, n é ar n é ar Se n é ar, então n = k ara k N. Então, n = ( k) = k = ( k ) Como, sendo k número ar, ou seja, n é ar. Logo, n N, n é ar n é ar N, k N, resulta que ( k ) Portanto, or contrarrecíroco, fica rovado que n N, n é ímar n é ímar. 7.. n N, n é divisível or 5 n é divisível or 7 Pág. 55 é um Se n N é divisível or 5, então n = k 5 ara algum n = 5k = 7 5k. k N. Mas, Logo, se n = 5k com k N, n é divisível or 7 orque se k N, então 5k N. Portanto, se n é divisível or 5, então n é divisível or 7. Por contrarrecíroco, temos Se n não é divisível or 7, então não é divisível or x N, x é um quadrado erfeito x não é um número rimo Se x N e x é um quadrado erfeito, então x = ou x = n com n N \{ } Se x =, então x não é um número rimo. Se x = n com n, então x = n n elo que n é divisor de x e n. Logo, x não é rimo. Portanto, or contrarrecíroco, fica rovado que se x é um número rimo, então x não é um quadrado erfeito. 7.. m, n N, m n é ar n é ar m é ar Vamos rovar o contrarrecíroco: m, n N, n é ímar m é ímar m n é ímar Se n é ímar, n =, N. Se m é ímar, m = q, q N. ( ) ( ) m n = q = Se = q q + = ( q q ) = + N e q N, então ( q q ) é ar elo que ( q q ) + é ímar.

13 .. Condições e conjuntos Logo: m, n N, n é ímar e m é ímar m n é ímar Por contrarrecíroco ficou rovado que se o roduto de dois números naturais é ar, então elo menos um desses números é ar. Pág. 58 Atividades comlementares 8. São condições as exressões x = e x 5 = 0 orque, 9. substituindo x or uma constante, obtém-se uma roosição. x = Para x =, temos: = = = (falsa) 8 Assim, obtém-se uma roosição falsa. 0.. x, x é árvore x dá fruto 0.. x, x é triângulo x tem três ângulos 0.. x, x R x N 0.. x, x N x Q.. A soma do quadrado de qualquer número real com é um número ositivo... Qualquer número racional é maior do que a sua soma com... A soma do dobro de qualquer número natural com é um número ímar... O dobro de qualquer número natural é um número ar.. Proosições verdadeiras: x R, x + > 0; n N, n + é um número ímar; n N, n é um número ar.. x R x x.., + = + A roosição é falsa. Por exemlo + + x R, x. A roosição é falsa. Por exemlo. 0.. A = {,, }.. x A, x N.. x A, x < x 5.. x: x é retângulo x é quadrado 5.. x R : x = x 5.. n N : n = 5.. x: x é barco x é barco de esca 6.. Existe elo menos um número real igual ao seu quadrado. 6.. Existe elo menos um número real maior do que o seu quadrado. 6.. Existe elo menos um número real menor que a sua metade. 6.. Existe elo menos um número natural diferente da sua soma com. 7.. x R : x = x. (or exemlo, x = ) 7.. x R : x > x Por exemlo, > x 7.. x R : > x Por exemlo, > 7.. x N : x x + (or exemlo, + ) 8. A = {,, } 8.. x A: x é um número rimo 8.. x A: x > x 8.. x A: x < x 9. Aenas a roosição de 8.. é verdadeira. 0. x > x x x > 0 x > 0 x < 0 Por exemlo: 0.. A condição x > x é imossível em N. 0.. A condição x x, 0 > é universal em ] [ Pág A condição x > x é ossível mas não universal em R... x + = 0 x = Condição ossível em R e Q. Condição imossível em N... x = x Condição universal em R, Q e N... x x Condição imossível em N, Q e N... x < 0 x < 0 Condição ossível em R e Q. Condição imossível em N..5. x x x x x = 0 + = 0 x + = 0 x = Condição ossível em R e em Q. Imossível em N.. u (x) é uma condição universal e i (x) é uma condição imossível... x + > 0 x + > 0 x + > 0 x > x 0 x = 0 u x x = 0 u x.. Condição universal x < 0 x + > 0 x > 0 u x u x.. Condição universal x + < 0 x + > x i x u x i x.. Condição imossível.5. x + < 0 x = 0 x < x = x 9 = 0 x + < 0 x = 9 i x.6. x = x = x + < x x > i x x > i x.7. Condição imossível x < x < + x x < u x x <.8. x 0 x + = u x x = x = x x > 0 x x > 0 x ] 0, ]. ( x): x + > 0 é uma condição universal

14 .. Condições e conjuntos.. Sendo i( x) uma condição imossível. ( x) i( x) i( x) Por exemlo: q( x) x < 0.. Sendo u( x) uma condição ossível não universal. u( x) q( x) q( x) Por exemlo: q( x) x + = 0.. x E: x não utiliza telemóvel ( x E: x não utiliza o telemóvel ) x E, x utiliza o telemóvel.. x E, x é ortuguês ( x E x ), é ortuguês x E: x não é ortuguês x x 5.. x R, x x R : x < or exemlo, < R < x R : x ( x, x 0) (x = 0) x R : x + = 0 x R, x Proosição falsa ( + = 0) x N : x + > x x N, x + x 5.. Proosição falsa 6. C = {,, 0, }; ( x): x > 6.. Proosição falsa 6.. ( x C: ( x) ) x C, ( x) x C, x O valor absoluto de qualquer elemento de C é menor ou igual a. x C: x x C: x 6.. a) b) Proosição falsa dado que a sua negação é verdadeira. 6.. a) (x) é uma condição imossível x é uma condição universal b) x R x = x = x R x = x, : x R x x = x = x R x x = x, 0 0 : x R, x > 5 x > x R : x > 5 x Pág. 60 R, 0 0 é falsa orque, or exemlo, x x < x < < 0 ( ) > 0 R, 0 0 é falsa orque, or exemlo, x x > x > ( ) > x R, x < x < é falsa orque, or exemlo, < ( ) 9.. ( x, x é aluno do 0.º A x estuda Matemática) x: x é aluno do 0.º A x não estuda Matemática 9.. ( x, x é quadrilátero x é aralelogramo) x: x é quadrilátero x não é aralelogramo 9.. ( x, x ) N Q x N: x Q 9.. ( x, x é trevo x tem quatro folhas) x: x é trevo x não tem quatro folhas 9.5. ( x: x é aluno do 0.º A x tem olhos verdes) x, x é aluno do 0.º A x não tem olhos verdes 9.6. ( x: x é aluno do 0.º A x estuda Economia) x, x é aluno do 0.º A x não estuda Economia 0. As roosições são falsas orque, or exemlo: 0.. é rimo e é ar é um quadrado erfeito e 9 é ímar 0.. Um triângulo retângulo isósceles não é equilátero.. C = {,, 9, 6, 0} ( x): x é um número inteiro.. A roosição é falsa. A e é um número inteiro... ( x A, ( x) ) x A: ( x).. a) A roosição é falsa. 0 A e 0 não é inteiro. b) A roosição é verdadeira... x, x R x 0 x R, x 0.. x, x N x é ar x N, x é ar.. x: x R x = 0 x R : x = 0.. x: x N x > 00 x N : x > 00.. A { x R : x x 0} = {, 0, } = = = =.. B = { x N : x é divisor de x é múltilo de }= = {, 6, } C = x Z : x < x = 5 =.. { } = {,,, 0,, } x = 5 x = 5 x =.. D = { x N : x é divisor de 8 < x < 8} = {,, 6, 9} A = x N : x < =,. { } { } B = { x N : < x < } = {, } Cálculo auxiliar: x N < x < x > x < x > x < x = x = x N, x q x orque (x) e q (x) têm o mesmo conjunto-solução: {, }. x x = 0 x x = 0 x = 0 x = 0 5. x = 0 x = ; A = {0, } x < < x < ; B = {, 0, } C = { x : 0 x < 5} 5.. A B = {, 0,, } 5.. A C = { 0, } 5.. B\ A = {, } 5.. A = C \ A= {,, } 6.. x R, x 0 x Z ; C = {0,,,, } x R x x, 0 7. Se n é divisível or, então n = k ara algum k N. Mas, se n k =, então n ( k) = sendo k N dado que k N. Portanto, se n é divisível or, então n é divisível or. Por contrarrecíroco, tem-se: se n não é divisível or, então não é divisível or.

15 .. Condições e conjuntos Pág A disjunção de uma condição universal com uma condição qualquer é uma condição universal. Resosta: (D) 9. x < x < 0 x < x > x x x > x > x < x R 50. Resosta: (C) 5. a( n): n é divisor de 5. { } n,,,, 6, 8,, b( n): < n 0 n 5 n {,,,, 5} c( n): n é um quadrado erfeito n {,, 9, 6, 5, 6, } d( n): n é múltilo de 5 n {5, 0, 5, 0, } { : } {,,, } { : } {,,,, 5, 6, 8,, } { : c( n) } {,, 6, 8,, } { : } { 6,8,, } D = n a n b n = E = n a n b n = F = n a n = G = n a n b n d n = 5.. A ( B C) = A R = A = ], π[ 5 = π, +, = 5.. A ( B C) [ [ 5 =, π, + B\ C =, ] [ 5.. [ [ 5 C \ B =, C A =, +, π =, π 5.5. ] [ ] [ ] [ 5.6. C \ A = ], + [ \ ], π[ = [ π, + [ 5 5 \ =, π \, =, π x = x x x + = A ( B C) ] [ 5. ± x = ± ± x = x = x = x = A = {, } B = ], ] [, + [ x > 0 x 5< 0 x > x < 5 x > x < 5 C =, A B = { } 5.. A C = { } 5.. A\ C = {, }\ C = { } 5.. B\ C = [, 5[ B C A = + = 5.5. \, [, [ \{, } A\ C B =, \, 5 = =],[, [,[ ], + [ 5.6. { } [ [ { } 5. P = { x R : < x < } = ], [ Q = { x R : x < } = ], [ R = x R : x < 0 =, P Q = ], [ 5.. P Q = ], [ 5.. ( P Q) R = ], [ 5.. P R = ], 0[ [, + [ ] [ 5.5. R\ ( P Q) ], 0 [\ ], ] = = = ], ] ], 0[ 55. x > 0 x < 0 x < 0 x x > > 0 x < 0 x < 0 x < x R : x > 0 = ], 0[ x x R : > =, Como ], 0 [ ], [ : ] [ x x R: x > 0 x R : > Avaliação Pág. 6. x x + não é uma condição em x Resosta: (A) x. x > x > x x > 0 x > 0 (condição ossível) x + = x + x + (condição universal) x > x x + x > 0 x > 0 x > 0 (condição ossível) x = x = (condição imossível em N ) Resosta: (D)

16 .. Condições e conjuntos. 5± 5 5± x 5x + 6 = 0 x = x = x = x = = {, } x = 0 x = ; q = {} x = 9 x = x = ; r = {, } x R: x x R : x x é uma roosição verdadeira. Resosta: (C). x = 0 x = (condição imossível em Z ) x < x x < 0 (condição ossível em Z e imossível em N ) = = + 0 = x x x x x x x x (condição imossível em R ) Resosta: (C) 5. x > 0 x + = 0 x 0 x = (condição ossível não universal) x 0 x = 0 x > 0 x = 0 x 0 x = 0 x R (condição universal) x + > 0 x > 0 u x x 0 x 0 (condição ossível não universal) ± 6 x x + = 0 x x = u( x) i( x) u( x) (condição imossível) Resosta: (B) x 6. Q = x R : 5 x 5 x + 5 x 0 x 0 Q = ], 0] 7 ± 9+ 0 x + 7x 60 = 0 x = 7 ± 7 x = x = x = 5 A =, 5 Q { } 0 0 x x > < ; B ], 0[ = Q x + = 0 x + = 0 x = { } C = Q x + 8 < 8 x 8 < x < x > D =, + Q C Q ] [ Resosta: (C) A =, + e B = 5, 7. ] [ ] [ A B ], [ ] 5, [ = ] 5, [ ], + [ A B = ], 5] { } = + = Resosta: (D) 8. 5 x > 0 x > 5 x < 5 Resosta: (C) 9. ( x R : x x ) 0.. = < x R, x x Resosta: (A) = x = x x = 0 condição imossível condição imossível x x Condição imossível x = x x + = x x = x x + = x + x = x condição universal condição universal Condição universal 0.. x = x = x = 8 condição imossível x = x = x x = x = 0 x = x = 8. A = {,, }.. > 0 > 0 > 0 x A, x > 0.. > 0 > 0 > 0 x A: x > 0.. ( x A, x é vigia de raia) x A: x não é vigia de raia.. ( x A, x joga futebol x é estudante) x A: x não joga futebol x não é estudante.. ( x R : x x 0) = x R, x > x 0.. ( x N : x 0 x x) > x N, x 0 x = x Pág. 6. A roosição é falsa orque, or exemlo, um losango não quadrado tem os quatro lados iguais e não é um olígono regular.. ( x R, x a x a) 5.. R, x a x a é uma roosição verdadeira. x = = x 6 x 0 > < x > condição imossível 5.. x = x + 0 x = condição universal condição universal 5.. x = x + = 0 condição imossível x = condição imossível 5.. x + 6 > 0 x + = x > 6 condição imossível x >

17 .. Condições e conjuntos 5.5. x 6 = 0 x + 6 = 0 x = 8 x = 8 x = 8 x = 8 x x x 6 = 0 = x = 8 x = 8 x 8 = x x = 8 x = 8 x = x Condição imossível x R, x > 5 x > A roosição é verdadeira. 6.. ( x R, x 5 x 5) 6.. > > x R : x > 5 x 5 R x, x > 5 x > 5 x R, x 5 x 5 7. A = { x : ( x + > 0 ) x > 0 } Cálculo auxiliar: R = ], + [ B = { x R: ( x x < ) } = = { x R : x < x } = = ], [ [, + [ x + > 0 x > 0 x + 0 x > x > + + { R : 0 } { R : } C = x x = x x C = 0, 7.. A C =, 7.. (] [ [ [) = ] 0, [ [, + [ A B C =,, + 0, 7.. B\ C = ], 0], [, + [ A\ B C =, 0, 7.. [ [ [ [ = 0,, 7.5. ( A C) B = ] 0, ] [, [ B\ A C =, 0, 7.6. ] ] 8. = ] 0, ] : x R : x = x. q: x N, x Z. r: x, s: x, < Q x Q. R x x. Proosição falsa ( ) + t: x R, x < x. 9.. x R, x > x 9.. A roosição é falsa ois, or exemlo, 0 0. x R, x > x x R : x x x N, x A roosição é verdadeira. 9.. x R ( x ), 5 0 > 0 A roosição é falsa. Para x =, ( 5 0) 0. ( x R ( x ) ) x R ( x ), 5 0 > 0 : x R : x + = A roosição e verdadeira ara x =. Avaliação global Pág. 6. x > x x < 0 x R : x > x é uma roosição verdadeira. Resosta: (C). q V ; V e q F q F F F ( q) ( V F) ( q) ( V F) F F ( q ) F F V F F V Resosta: (D) x Z : x < 0 x 0. x Z x x <, 0 0 Resosta: (B) x R, x = a x = a. Resosta: (A) q s r q 5. V V; ( V q) V V; q F; V; q F e ; ( V s) s F; r F V s F; x R : x = a x a r V V ; r q V Resosta: (A) 6. Se o mar tem ondas e o Rui não tem trabalho, então o Rui faz surf. a c b Resosta: (D) x 7. 8< 6 < x x > 6 Resosta: (A) 8.. t é falsa e l é verdadeira. 8.. x T, x tem um ângulo reto x não é isósceles Pág. 65 x L, x não é quadrado x tem as diagonais diferentes 9.. Todo o número real é menor do que o seu quadrado. Proosição falsa (or exemlo: 0 = 0 ) 9.. Existe elo menos um número rimo no conjunto {,, }. 9.. A raiz quadrada do quadrado de um número real é um número ositivo. Proosição falsa ( 0 = 0) 9.. Existe elo menos um número real diferente de cujo quadrado é. (( ) = ) A = x Z : < x < 0. { } x > x < x > x < x > x < ; A = {0, }

18 .. Condições e conjuntos ± 6 x x + = 0 x = x = x = B = {, } C = {,,, 0,,, } 0.. A = {0, } 0.. B = {, } 0.. C = {,,, 0,,, } 0.. A\B = {0} A C = 0, 0.5. { } 0.6. C \ ( A B) = {,,, } 0.7. B = ],[ ], [ ], + [ 0.8. A B = ],[ ], + [. ( n): né divisor de 5 {,, 5, 9, 5, 5} q( n): n é múltilo de 5 {5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 50, } r n : x < 00 {,,,, 5, 6, 7, 8, 9}.. A = { n: q( n) ( n) } = {,, 9}.. B = n: ( q( n) ( n) ) r( n) = { } = {,,,, 6, 7, 8, 9}. a: A soma dos algarismos de 5 é múltilo de. b: O número 5 é múltilo de. a b.. x R, x > Proosição falsa. Por exemlo, 0. x R, x > x R : x.. 5 x = x = x = N x N : 5 x = é uma roosição falsa orque 5 x = é imossível em N. x N: 5 x = x N, 5 x.. n N, n é rimo n é ímar A roosição é falsa, orque é rimo e é ar. n N : n é rimo n é ar.. x R, x > 5 x > orque ] 5, + [ ], + [.5. R x x = x, orque ( x ) em R..6. x Q : x = 0 orque = x x = é universal Pág. 66 x R, x 5 x > 5 x R : x 5 x A roosição q é falsa orque, or exemlo: ou seja, q é verdadeira. ( 6) : x Z : < x < ; q: x Q, x < x ; :, n 0 r n N 5 : x Z, x x ; q: x Q : x x ; r: n N : n < 0 6. ( b a) ( a c) F 7. ( b a) F e ( a C) F b V e V a e ( V c) b V e a V e c F F O Luís toca viola e bateria, mas não toca iano. q q q q ( q) V V F F V F V V F F V F V F F V V F V F V F F V V V F V 8. ( q) ( q) ( q) ( q) ( ) q q q q q q é verdadeira se e somente se for verdadeira e q for falsa. a x : x > 0 x > 0 ± : 0 x b x x x + = = é imossível c x : x 0 é universal x + x d( x) : > 6x + > 6 x + 5 6x + x > 8 x > 5 x < x 0 x x + = 0 condição universal condição imossível condição imossível x + x x 0 > 5 condição universal x < 5 x < x 0 x x + = 0 condição universal condição imossível condição universal 9.. x + 0 x x 5 > > x > 0 x <

19 .. Condições e conjuntos 0.. x x x R, x > 0 x R : x 0 R x R, x < x 0.. ( x : x x > ). Por exemlo:.. O quadrilátero [ABCD] tem as diagonais erendiculares e não é um quadrado. 5x < 5x < x < 5 Como 5 <, a condição 5 x < é imossível em N. x + x = 0 x x + = 0 x = 0 x + = Pág. 67 x = 0 x = Como 0 Z, x + x = 0 é ossível não universal em Z. = 0 = = = x x x x Como Q e Q, x = 0 é imossível em Q... x = 0 x = x = A condição x = 0 é ossível não universal em R..5. x = 0 x x + 0 x ( x ) x = x A condição. ( x ) A = [, + [ ( x x 5) B = [, 5] = 0 x = 0 x x + é imossível em R. 9 < 0 x 9 0 x 9 x < x x < 5 x R + x < x > 0 x < C = ] 0, [.. A B = [, 5[.. A B = [, + [.. B\ A= [, [.. ( A B) \ C = [, 0] [, + [.5. ( A\ B) ( A C) = [ 5, + [ [, [ = = [, [ [ 5, + [.6. B C ; B = [, 5[ ; B = ], [ [ 5, + [ B C =. ( a b) V ( a c) ( b c) ( a c) ( b c) ( a c) ( b c) ( a c) c b ( ) ( ) ( a c) V b ( a c) b ( a b) c a c c c b a b c V c V 5.. x é múltilo de x é ar 5.. A roosição é verdadeira. Se x é múltilo de, então: x = k, k x = k Z com k Z x é ar 5.. x é ar x é múltilo de A roosição é falsa. Por exemlo, 6 é ar e não é múltilo de. a a b V b A roosição só é verdadeira se b V. a a b é falsa se a F 6. a a b ( F b) a ( a b) a ( a b) V ( a a) V a b A roosição é falsa se Resosta: (C) x V V x V ( V x V) ( x V) 7.. ( V x x) ( x F) a F e V F V é verdadeiro V V F é falso 7.. ( x F) V ( x F) 7.5. ( x x) V ( x F) ( V F) F 8.. ( q) ( q) ( ) ( q ) V ( q ) q q 8.. ( q) ( q) ( ) ( q) V ( q) q 8.. ( q r) ( q r) ( q) r ( q) r q r b F.