...Lista 7... Elaborado por Tiago Miranda. 1 Geometria

Transcrição

1 Lista Elaborado or Tiago Miranda Geometria Problema G.9 Um quadrilátero tem seus vértices nos quatro lados de um quadrado de lado medindo. Mostre que as medidas a, b, c e d dos lados do quadriláteros satisfazem a inequação A Quadriláteros a + b + c + d 4. Problema G.0 No quadrilátero ABCD, A ˆBC é reto, a diagonal AC é erendicular a CD, AB = 8, BC =, e CD = 4. Calcule o erímetro de ABCD. Problema G. Um quadrilátero convexo ABCD com área 00 contém um onto P (interior) tal que PA = 4, PB = 3, PC = 8, PD = 45. Calcule o erímetro de ABCD. Problema G. Demonstre que qualquer quadrilátero inscrito num círculo de raio, o comrimento do menor lado é menor do que ou igual a. Problema G.3 Dado um quadrado ABCD, sejam P e Q ontos nos lados AB e BC, resectivamente, de modo que módulo de BP é igual ao módulo de BQ. Seja H o é da erendicular ao segmento PC assando or B. Prove que o ângulo DHQ é reto. Problema G.4 No triângulo ABC com AB + BC = 3AC, o círculo inscrito tem centro em I e toca os lados AB e BC em D e E, resectivamente. Sejam K e L os simétricos de D e E em relação a I. Prove que o quadrilátero ACKL é cíclico.

2 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda 7 Combinatória A Tabuleiros Problema C.5 Colocamos 5 cavalos em um tabuleiro 5 5 de modo que não existam dois cavalos em uma mesma linha ou em uma mesma coluna. Cada N faz então um movimento. Prove que agora existem dois cavalos na mesma linha ou na mesma coluna. Problema C.6 João gosta de verificar roriedades do jogo de xadrez em um tabuleiro 5 5. Num de seus exerimentos, João coloca um cavalo na casa inferior esquerda do tabuleiro 5 5. Qual o número mínimo de movimentos do cavalo ara que ele ossa chegar a qualquer casa do tabuleiro 5 5? Problema C.7 Um tabuleiro 6 6 está coberto com dominós. Mostre que existe uma reta que seara as eças do tabuleiro sem cortar nenhum dominó. 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0M0Z0Z 3 Z0Z0Z0Z0 0Z0Z0Z0Z Z0Z0Z0Z0 a b c d e f g h Figura 4: O movimento do N. Problema C.8 A Figura 5 mostra um tabuleiro 9 7 no qual as casas foram intadas de cinza 3 linhas e 4 colunas. As casas que foram intadas de cinza duas vezes tornaram-se retas. Se em um tabuleiro maior intamos de cinza 3 linhas e 3 colunas, quantas casas retas deveremos ter? Problema C.9 Um tabuleiro é colorido de branco e reto da maneira usual, e cada casa contém um inteiro. Sabemos que a soma dos números em cada coluna e a soma dos números em cada linha é ar. Mostre que a soma dos números nas casas retas é ar. Figura 5 Problema C.30 Qual é o menor valor de n > ara o qual é ossível colocar n eças sobre um tabuleiro n n de modo que não haja duas eças sobre a mesma linha, mesma coluna ou mesma diagonal? Observação: Os tabuleiros da figura 6 mostram ares de eças na mesma linha, na mesma coluna e na mesma diagonal em diversos tabuleiros. Figura 6 No jogo de xadrez, o N movimenta-se em L, duas casas ou na vertical, ou na horizontal e uma casa na direção diferente da anterior (figura 4). htt://oti.ima.br/ oti@ima.br

3 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda 3 Teoria dos Números Problema T.9 divisão or. Se e são rimos tais que = + e > 3, encontre o resto de + na A Congruência II Problema T.30 Esmeralda digitou corretamente um múltilo de 7 muito grande, com 400 algarismos. Da esquerda ara a direita, os seus algarismos são 004 algarismos, um algarismo n e 005 algarismos. Qual é o valor de n? Problema T.3 Mostre que 730 divide n 3 n ara todo número natural n. Problema T.3 Dizemos que n é erfeito se a soma dos divisores ositivos de n (σ(n)) é igual à n. Por exemlo, 6 é erfeito ois σ(6) = =. a) Se k é rimo, mostre que k ( k ) é erfeito. b) Se n é um número erfeito ar, mostre que existe k tal que n = k ( k ) onde k é um número rimo. Problema T.33 Mais Reunits! a) Seja um rimo diferente de 3. Prove que o número... ( algarismos ) não é divisível or. b) Seja > 5 um rimo. Prove que o número... ( algarismos ) é divisível or. Problema T.34 Mostre que existem infinitos conjuntos de 04 inteiros ositivos consecutivos, cada um dos quais é divisível or algum número da forma a 04, onde a é um inteiro ositivo. Problema T.35 Sendo um numero rimo. a) Seja a um inteiro do conjunto {, 3,..., }. Mostre que existe b = a, no mesmo conjunto tal que ab (mod ). b) utilize o item anterior ara rovar o Teorema de Wilson que diz que ( )! (mod ). Problema T.36 Seja n > um inteiro ímar. Prove que n não divide 3 n +. Problema T.37 Qual o comrimento do eríodo da dízima eriódica de 3 00? Problema T.38 Encontrar os últimos 3 dígitos em notação decimal de Problema T.39 Qual o número de soluções inteiras da congruência x (mod 5) com 0 x < 5? Problema T.40 Prove que não existem inteiros x e y tais que y = x htt://oti.ima.br/ 3 oti@ima.br

4 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Resostas e Soluc o es. Um quadrila tero tem seus ve rtices nos quatro lados de um quadrado de lado medindo Problema G.9. Mostre que as medidas a, b, c e d dos lados do quadrila teros satisfazem a inequac a o a + b + c + d 4. Soluc a o do roblema G.9. (Extraı do da Olimı ada do Canada ) Seja ABCD um quadrila tero com as devidas dista ncias aos ve rtices do quadrado XYWZ destacadas na figura. Daı, a soma dos quadrados dos lados do quadrila tero ABCD vale x x A Z y X a = x + ( z ) z b b = y + ( x ) c = w + ( y ) a B y d = z + ( w ) a + b + c + d = x + ( x ) + =..y + ( y) + c D =..w + ( w) + =..z + ( z). w Y C z d w W Figura + e x 0. Daı, como 0 x, chegamos a Agora, erceba que x + ( x ) = x x + ara todo x. Ana logo ara os demais e concluı mos o que se ediu. Problema G.0 No quadrila tero ABCD, A B C e reto, a diagonal AC e erendicular a CD, AB = 8, BC =, e CD = 4. Calcule o erı metro de ABCD. Soluc a o do roblema G.0. B (Extraı do da AIME) Do enunciado, odemos construir a figura e, observando os tria ngulos reta ngulos, alicar o Teorema de Pita goras duas vezes, ficando com: ( AD ) = ( AC ) + (CD ) C A ( AC ) = ( AB) + ( BC ) ( AD ) = = 3. E o erı metro e = 84. htt://oti.ima.br/ Figura 4 D oti@ima.br

5 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema G. Um quadrila tero convexo ABCD com a rea 00 conte m um onto P (interior) tal que PA = 4, PB = 3, PC = 8, PD = 45. Calcule o erı metro de ABCD. Soluc a o do roblema G.. (Extraı do da AMC) D Temos que [ ABCD ] = 00 ( AC BD ) (Isso e verdade ara todo quadrila tero convexo: divida-o ao longo de AC e enta o use a fo rmula da a rea do tria ngulo ara calcular [ ACB] e [ ACD ]), com igualdade aenas com AC BD. Pela desigualdade triangular temos, 8 AC PA + PC = 5 BD PB + PD = 77 4 com igualdade se P sobre AC e BD, resectivamente. Assim, temos que 00 C 45 P 3 A AC BD 5 77 = 00 B Figura 3 Com igualdade se AC BD no onto P, figura. Pelo Teorema de Pita goras, obtemos PA + PB = = 40 BC = PB + PC = = 4 3 CD = PC + PD = = 53 DA = PD + PA = = 5 AB = E o erı metro de ABCD fica AB + BC + CD + DA = 4(36 + 3). Problema G. Demonstre que qualquer quadrila tero inscrito num cı rculo de raio, o comrimento do menor lado e menor do que ou igual a. Soluc a o do roblema G.. (Extraı do da Olimı ada do Canada ) Sejam a, b, c, d os comrimentos dos lados e e, f os das diagonais do quadrila tero. Alicando o Teorema de Ptolomeu temos ab + cd = e f. Entretanto, cada diagonal e uma corda da circunfere ncia e recisa ser menor que, ou igual ao dia metro: e, f e isso faz ab + cd 4. Agor,a se a, b, c, d >, enta o ab + cd > 4, o que e um absurdo. Por fim, ao menos um dos lados recisa ser menor do que, logo, o menor lado recisa ser menor do que. htt://oti.ima.br/ 5 oti@ima.br

6 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema G.3 Dado um quadrado ABCD, sejam P e Q ontos nos lados AB e BC, resectivamente, de modo que módulo de BP é igual ao módulo de BQ. Seja H o é da erendicular ao segmento PC assando or B. Prove que o ângulo DHQ é reto. Solução do roblema G.3. (Extraído da Olimíada da Rússia) De início, sendo H ˆBA = α, temos que B ˆPH = 90 α (no triângulo BHP). Agora, no BCP, como C ˆBP 90 e B ˆPC = B ˆPH = 90 α, então BĈP = α. Na sequência, rolongue a reta BH até ela encontrar o lado AD em E e erceba que CBP BAE, elo caso A.L.A (PĈB = E ˆBA, mesmo lado AB = BC e terem o ângulo reto. Logo AE = BP = BQ e EQCD é retângulo. Trace a circunferência assando or seus vértices. Observe que HÊQ = HĈQ, ortanto H está nesta circunferência (orque dois ângulos iguais na circunferência enxergam o segmento HQ), o que significa que o quadrilátero HDCQ é inscritível, destacando DQ como diâmetro, e então DĤQ = 90. Problema G.4 No triângulo ABC com AB + BC = 3AC, o círculo inscrito tem centro em I e toca os lados AB e BC em D e E, resectivamente. Sejam K e L os simétricos de D e E em relação a I. Prove que o quadrilátero ACKL é cíclico. Solução do roblema G.4. (Extraído da Olimíada da Grécia/Polônia/Costa Rica) * Faça BI intersectar o circuncírculo do ABC no onto P; Seja M o onto médio de AC. Note que PM é erendicular a AC, ois assa no onto médio do segmento AC e no onto médio do arco AC. Como MĈP = AĈP = A ˆBP = D ˆBI, e C ˆMP = B ˆDI = 90, ficamos com MCP DBI. Agora, seja N a rojeção de P em IK. Perceba que P ˆNI = B ˆDI = 90 e PÎN = BÎD, fazendo NPI DBI. Também MCP NPI. Na sequência, observe que IĈP = IĈA + AĈP = Ĉ + ˆB. Por outro lado, sendo ângulo excêntrico interno, PÎC = ˆB + Ĉ = IĈP e PI = PC (na verdade, isso é um resultado conhecido). Nesse sentido, odemos fazer MCP NPI, ois são semelhantes e têm mesma medida da hiotenusa, logo são congruentes. O que significa que NI = MP = DI = KI, além de PN dividir erendicularmente KI e PK = PI = CP. Por simetria, PA = PC = PK = PL, fazendo A, C, K, L ertencerem a uma circunferência de centro P. * Não é uma olimíada entre esses três aíses e sim a reetição desse roblema, em anos distintos, nas resectivas olimíadas de matemática. Além disso, esse enunciado aareceu na Shortlist da IMO de 005. htt://oti.ima.br/ 6 oti@ima.br

7 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema C.5 Colocamos 5 cavalos em um tabuleiro 5 5 de modo que não existam dois cavalos em uma mesma linha ou em uma mesma coluna. Cada N faz então um movimento. Prove que agora existem dois cavalos na mesma linha ou na mesma coluna. Solução do roblema C.5. (Extraído do material do PECI) a Um dos motivos é que 5 é ímar, se o número de N fosse ar, oderíamos colocar os cavalos de modo que dois cavalos troquem de osição no movimento, se fizermos isto, sobra um cavalo sem movimentar-se. Uma maneira de rovar é a seguinte, vamos numerar cada cavalo ela osição, se está na linha coluna, como + = 3, o número dele é 3. A soma de todos os números será 450 se não houver cavalos diferentes na mesma linha ou coluna, a cada movimento, o número de cavalos se altera em: 3,, ou 3. São números ímares, ara que continue com aenas cavalo em cada linha e em cada coluna, a soma dos números dos cavalos deveria ser 450, o que imlicaria uma alteração nula nesta soma, ou seja, 0, a alteração total será a soma das alterações individuais de cada cavalo, orém, 0 é ar e a soma de 5 números ímares não ode ser ar, or isso, é imossível que continue um cavalo em cada linha e um em cada coluna, logo, existem dois cavalos na mesma linha ou na mesma coluna. a Disonibilizado em htt://eci.obme.org.br/blog/w-content/uloads/0//solucoes.df Problema C.6 João gosta de verificar roriedades do jogo de xadrez em um tabuleiro 5 5. Num de seus exerimentos, João coloca um cavalo na casa inferior esquerda do tabuleiro 5 5. Qual o número mínimo de movimentos do cavalo ara que ele ossa chegar a qualquer casa do tabuleiro 5 5? Solução do roblema C.6. (Extraído da OBM 0) Vamos colorir cada casa do tabuleiro 5 5 com o número i quando o cavalo recisar de no mínimo i movimentos ara chegar a tal casa do tabuleiro. Comecemos, então, elo : No jogo de xadrez, o N movimenta-se em L, duas casas ou na vertical, ou na horizontal e uma casa na direção diferente da anterior (figura 4). htt://oti.ima.br/ 7 oti@ima.br

8 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema C.7 Um tabuleiro 6 6 está coberto com dominós. Mostre que existe uma reta que seara as eças do tabuleiro sem cortar nenhum dominó. Solução do roblema C.7. (Extraído da EUREKA n. ) Cada dominó é formado or dois quadrados e ortanto, se o tabuleiro está inteiramente coberto, 8 dominós foram utilizados. Imagine agora uma reta (horizontal, or exemlo) que seare o tabuleiro em duas artes. Se ela não corta nenhum dominó, está resolvido o roblema. Suonha então que ela corte ao meio um dominó. Neste caso, acima desta reta teremos n dominós inteiros mais meio dominó, ou seja, teremos acima desta reta n + quadrados, que é um número ímar. Mas isto é imossível orque se o tabuleiro tem 6 unidades de largura, qualquer reta o dividirá em artes que contém números ares de quadrados acima e abaixo dela. Assim, se uma reta corta um dominó, deverá cortar um outro dominó. Para a divisão do tabuleiro, existem 0 retas ossíveis e, se cada uma delas cortar dois dominós, deveríamos ter 0 dominós no tabuleiro. Como eles são aenas 8 então existe uma reta (elo menos) que não corta nenhum dominó. Problema C.8 A Figura 5 mostra um tabuleiro 9 7 no qual as casas foram intadas de cinza 3 linhas e 4 colunas. As casas que foram intadas de cinza duas vezes tornaram-se retas. Se em um tabuleiro maior intamos de cinza 3 linhas e 3 colunas, quantas casas retas deveremos ter? Figura 5 Solução do roblema C.8. Em cada linha haverá 3 casas retas, uma or cada coluna cinza. Como são 3 linhas, haverá um total de 3 3 = 73 casas retas no tabuleiro. Problema C.9 Um tabuleiro é colorido de branco e reto da maneira usual, e cada casa contém um inteiro. Sabemos que a soma dos números em cada coluna e a soma dos números em cada linha é ar. Mostre que a soma dos números nas casas retas é ar. Solução do roblema C.9. (Extraído da Olimíada da Ucrânia) Suonha sem erda de generalidade que o quadrado do canto esquerdo suerior é reto. A artir desse quadrado, numere as colunas da esquerda ara a direita e as linhas de cima ara baixo. Some os números das colunas em osições ímares e os números das linhas em osições ares. Perceba que cada quadrado reto do tabuleiro é contado aenas uma vez nessa soma enquanto que os quadrados brancos das linhas e colunas mencionadas são contados duas vezes. Logo, esse soma tem a mesma aridade que a soma de todos os números escritos nos quadrados retos. Como a soma de quaisquer linhas e colunas é ar, a soma dos números nos quadrados retos é ar. htt://oti.ima.br/ 8 oti@ima.br

9 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema C.30 Qual é o menor valor de n > ara o qual é ossível colocar n eças sobre um tabuleiro n n de modo que não haja duas eças sobre a mesma linha, mesma coluna ou mesma diagonal? Solução do roblema C.30. (Extraído da OBM 009) Diremos que uma casa ataca outra se elas estiverem na mesma linha, coluna ou diagonal do tabuleiro. Em um tabuleiro duas casas quaisquer se atacam, de modo que não é ossível colocar eças que não se ataquem no tabuleiro. Em um tabuleiro 3 3, cada casa do canto ataca outras 6, sobrando somente casas que estão na mesma diagonal; ortanto, se colocarmos eça em uma das casas do canto não é ossível colocar as outras duas. Todavia, não é ossível colocar 3 eças sem que duas se ataquem se não for ermitido escolher casas do canto (observe a rimeira figura ao lado). A figura a seguir exibe uma ossibilidade ara n = 4. Problema T.9 divisão or. Se e são rimos tais que = + e > 3, encontre o resto de + na Solução do roblema T.9. Vamos observar a congruência módulo dos números rimos maiores que 3: só é ossível que um rimo seja congruente a, 5, 7 ou módulo (0,, 3, 4, 6, 8, 9 e 0 não são ossíveis, ois, or exemlo, se 4 (mod ), = k + 4 = 4(3k + ), que não é rimo.) Mas, se = +, (mod ) e = (mod ), logo + 0 (mod ), ou 5 (mod ) e 7 (mod ) com + 0 (mod ), e o resto é zero. Problema T.30 Esmeralda digitou corretamente um múltilo de 7 muito grande, com 400 algarismos. Da esquerda ara a direita, os seus algarismos são 004 algarismos, um algarismo n e 005 algarismos. Qual é o valor de n? Solução do roblema T.30. (Extraído da OBM) Primeiro, observe que 7 = 5873 é múltilo de 7, e sendo 004 múltilo de 6, conclui-se que }.{{.. } é múltilo de 7. Da mesma forma, }.{{.. } é múltilo de 7. Agora, analisando }.{{.. } 004 n... }{{} 004 = }.{{.. } n }.{{.. } = 7 K (0n + ) + 7 K, K e K são inteiros. Logo o número digitado or Esmeralda é múltilo de 7 se, e somente, se, o número de dois algarismos 0n + é múltilo de 7, o que ocorre se, e somente se, n = 4. htt://oti.ima.br/ 9 oti@ima.br

10 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.3 Mostre que 730 divide n 3 n ara todo número natural n. Solução do roblema T.3. (Extraído do Simulado do POTI 04) Note que 730 = Mostremos que n 3 n é divisível or cada um desses rimos ara qualquer que seja n através do Teorema de Fermat. a) Para = 3, é imediato que n 3 n (mod 3). b) Para = 3, segue que: n 3 (n 3 ) 4 n (mod 3) n 4 n (mod 3) (n 3 ) n (mod 3) n 3 (mod 3) n (mod 3). c) Para = 5, segue que: n 3 n 5 n 5 n 3 (mod 5) n n n 3 (mod 5) (mod )3 n 3 (mod 3) n (mod 3). d) Para = 7, segue que: n 3 n 6 n 7 (mod 7) n 6 n (mod 7) n 7 (mod 7) n (mod 7). e) Para =, o resultado é imediato. htt://oti.ima.br/ 0 oti@ima.br

11 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.3 Dizemos que n é erfeito se a soma dos divisores ositivos de n (σ(n)) é igual à n. Por exemlo, 6 é erfeito ois σ(6) = =. a) Se k é rimo, mostre que k ( k ) é erfeito. b) Se n é um número erfeito ar, mostre que existe k tal que n = k ( k ) onde k é um número rimo. Solução do roblema T.3. (Extraído do Simulado do POTI 03) Sabemos que a soma S dos divisores de um número fatorado como n = k k... k n n S = k + k + kn+ n n a) Perceba que n = k ( k ), com o rimo = k, e alicando a fórmula temos S = k + ( ) = k = (k ) + k (k ) k ( ) k k k k ( ) = k k ( k ) ( ) k = k k = n. Outra solução: Para mostrarmos que n é erfeito, basta rovar que σ(n) = n. Como σ é uma função multilicativa, e se rimo, σ() = + = k. Sabemos que σ(n) = σ( k ) σ() = ( k ) k = n. é b) Se n é um número erfeito ar, então n = k m, sendo m um inteiro ímar maior que. Como σ é multilicativa, odemos escrever σ( k m) = σ( k ) σ(m) = ( k ) σ(m). Como n é erfeito teremos σ(n) = n = k m. Juntando os dois resultados faremos k m = ( k ) σ(m), então k divides k m e, consequentemente, k divide m. Escreva m = ( k )M e substitua na equação acima e a divida or k ara obter k M = σ(m). Por fim, sendo m e M os dois divisores de m concluímos k M = σ(m) m + M = k M, e σ(m) = m + M. Isso significa que m = k é rimo, ois só é divisível or ele mesmo e or M =. htt://oti.ima.br/ oti@ima.br

12 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.33 Mais Reunits! a) Seja um rimo diferente de 3. Prove que o número... ( algarismos ) não é divisível or. b) Seja > 5 um rimo. Prove que o número... ( algarismos ) é divisível or. Solução do roblema T.33. a) Temos que... = 0. Suonhamos que temos 0 0 (mod ). Então, (mod ). Pelo teorema de Fermat temos que 0 0 (mod ), mas o único caso em que isso acontece é ara = 3, o que é um absurdo já que > 3. Portanto, temos que... não é divisível or. b) Temos que... ( algarismos ) é igual a= 0. Pelo teorema de Fermat, como 9 mdc(0, ) =, temos que (mod ), ou seja, é divisível or. Problema T.34 Mostre que existem infinitos conjuntos de 04 inteiros ositivos consecutivos, cada um dos quais é divisível or algum número da forma a 04, onde a é um inteiro ositivo. Solução do roblema T.34. (Extraído do Simulado do POTI 04) Seja C = {,,..., 04 } um conjunto de 04 rimos distintos. Considere então o sistema de congruências dado or x i (mod 04 i ); i =,,..., 04. Como mdc( i, j ) = semre que i = j, temos que mdc( 04 i, 04 j ) = se i = j. Pelo Teorema Chinês do Restos esse sistema tem solução. Seja x 0 uma solução do sistema, então x n = x 0 + n A; A = ( ) 04. também será solução, ara todo n inteiro. Logo, todo conjunto S n = {x n +, x n +,..., x n + 04}, n Z satisfaz as condições do enunciado, como queríamos demonstrar. htt://oti.ima.br/ oti@ima.br

13 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.35 Sendo um numero rimo. a) Seja a um inteiro do conjunto {, 3,..., }. Mostre que existe b = a, no mesmo conjunto tal que ab (mod ). b) utilize o item anterior ara rovar o Teorema de Wilson que diz que ( )! (mod ). Solução do roblema T.35. a) Temos que o conjunto {a, a, 3a,..., ( )a} é um conjunto comleto de resíduos (mod ) a tal que mdc(a, ) =. Portanto, existe um desses tal que ia (mod ), i {,,..., }. Agora, se a = a (mod ), então a não ertenceria ao conjunto e se ( )a a (mod ) então a (mod ) e não ertenceria ao conjunto. Então, ara qualquer a no conjunto {, 3,..., }, um e somente um dos termos a, 3a,..., ( )a é congruente a (mod ) o que imlica que existe um b {, 3,..., } tal que ab (mod ). Além disso, se a = b então a (mod ) a ± (mod ). b) Lema: Se mdc(a, m) = então existe um inteiro x tal que ax (mod m). Tal x é único módulo m. Se mdc(a, m) > então não existe tal x. Demonstração: Pelo teorema de Bachet-Bézout, existem inteiros x e y tais que ax + my =. Analisando essa congruência módulo m, obtemos ax (mod m). Se y é outro inteiro que satisfaz a congruência, temos ax ay (mod m). Pelo rimeiro lema, x y (mod m). Se d = mdc(a, m) >, não odemos ter d m e m ax ois d ax. Em virtude do lema anterior, ara cada a {, 3,..., }, existe um resto x {0,,,..., } tal que ax (mod ). Se x = ou x =, teríamos a = ou. Além disso, não odemos ter a = x ois os únicos restos que satisfazem a (mod ) são e. Com isso, odemos agruar os números de {, 3,..., } em ares onde o roduto deixa resto or, o que nos ermite concluir que o roduto de todos eles também deixa resto or. Logo, ( )! ( ) (mod ) htt://oti.ima.br/ 3 oti@ima.br

14 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.36 Seja n > um inteiro ímar. Prove que n não divide 3 n +. Solução do roblema T Vamos suor que exista 3 n + 0 (mod n). Seja o menor fator rimo de n, tal que k = n. Deste modo, como é fator de n, também temos que 3 n + 0 (mod ) 3 n (mod ) 3 n (mod ). Elevando a x estes dois lados temos: 3 nx x (mod ). Agora, or Fermat, temos que 3 (mod ). Elevando os dois lados a y temos: Multilicando o que encontramos temos: 3 y( ) y (mod ). 3 (n)x 3 ( )y (mod ) 3 (n)x+( )y (mod ). Como n é ímar, então é imossível que n e n simultaneamente, ois é ar. Como foi escolhido como o menor fator rimo, então os fatores do número obviamente são menores que, e como era o menor divisor rimo de n, logo os fatores de, que são menores que, não dividem n. Com isso, odemos afirmar que mdc(, n) =. Assim, concluímos que mdc(, n) =, já que ambos os números são ares. Sabendo disso, ela relação de Bezout, existem x e y tais que x(n) + y( ) = mdc(n, ) =. Logo substituindo isso temos: 3 (mod ) 9 (mod ), o que imlica que = 4 ou = 8, o que é absurdo, já que é rimo. Portanto não existe n tal que n 3 n +, como queríamos demonstrar. htt://oti.ima.br/ 4 oti@ima.br

15 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.37 Qual o comrimento do eríodo da dízima eriódica de 3 00? Solução do roblema T Consideremos x k como um algarismo do número x, agora temos 3 00 = x x = 0, x x x 3... x n x x x 3... x n x... 0 n x = x x x 3... x n, x x x 3... x n x x x 3... x n... (0 n )x = x x x 3... x n x = x x x 3...x n (0 n ) 3 00 = x x x 3... x n (0 n ). Portando 0 n é múltilo de 3 00, ou seja, (n algarismos 9) é múltilo de 3 00 ou melhor,... (n algarismos ) é múltilo de Sabendo que ara um número ser divisível or 3 a a soma de seus algarismos dever ser divisível or 3 a, logo o menor número n tal que... (n algarismos iguais a ) é múltilo de é n = Portanto, o número de algarismos do eríodo é n = Problema T.38 Encontrar os últimos 3 dígitos em notação decimal de Solução do roblema T.38. Para calcularmos os três últimos dígitos de um número, basta fazermos a sua congruência módulo 0 3. Sendo assim, chegamos a = = = (0 ) ( ( ) ( ) ( ) ) = (( ) ( ) ) (mod 000) ( ) (mod 000) ( ) (mod 000) ( ) (mod 000) ( ) 3 (mod 000) 56 3 (mod 000) 683 (mod 000) 683 (mod 000). 3 htt://oti.ima.br/ 5 oti@ima.br

16 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Problema T.39 Qual o número de soluções inteiras da congruência x (mod 5) com 0 x < 5? Solução do roblema T.39. (Extraído do Simulado do POTI 03) São 4 soluções:, 4, e 4, cujos quadrados, 6, e 96 são congruentes a módulo 5. Problema T.40 Prove que não existem inteiros x e y tais que y = x Solução do roblema T.40. Perceba que, se x for ar, então x = m, com m inteiro, x 3 é ar e x é ímar, logo, y é ímar e y é ímar. Sendo assim, odemos escrever que y = n +, com n inteiro, e substituindo teremos y = x (n + ) = (m) k + 4k + 7 = 8m 3 4k + 4k 8m 3 = 6 4(k + k m 3 ) = 6, mas 4 não divide 6, absurdo e x é ímar. Assim, temos, x 3 é ímar, y = x é ar e y é ar. Logo, y 0 (mod 4). Na sequência, temos x (mod 4). Outra observação é: y + = x = (x + )(x x + 4) donde x + 3 (mod 4). Isso sugere que (x + ) (mod 4) e x + = 4k +, com k inteiro. Temos agora um fator rimo de em (x + ), congruente a 3 (mod 4), donde reescrevemos y + 0 (mod ), outro absurdo, ois y é ar. Elaborado or Tiago Miranda htt://oti.ima.br/ 6 oti@ima.br

17 POTI 05 Lista Professor Tiago Miranda Soluções Enviadas Enviaram soluções ara os roblemas da Lista 7: Cleber Assis, Salvador (BA), roblemas G9, G0, G, G, G3 e G4; Fábio Sales, Maceió (AL), roblemas G9, G0, G, G, G3 e G4, C5, C6, C7 e C30, T9, T3, T3, T33, T34 e T40; Gabriel Domingues, Salvador (BA), roblemas T9, T30, T3, T3, T33, T35, T36, T39 e T40; Júlia Zanete, Porto Alegre (RS), roblemas G9, C5 e C30, T30, T3, T34 e T40; Júlio Cézar Marinho, Parintins (AM), roblemas G9 e G0, T30, T3 e T34 e T39; José Vitor Silva, Rio de Janeiro (RJ), roblemas G, G e G4; Mário Sérgio Ramos, Fortaleza (CE), roblemas C5, C6, C7, C8, C9 e C30, T9, T30, T3, T3, T33, T34, T35, T36, T37, T38, T39 e T40; Mormon Lima dos Santos, Camina Grande (PB), roblemas G, G e G4, C6, C7 e C30, T9, T30, T3, T3, T33, T34, T35, T36, T38 e T40; Rafael Farias, São Paulo (SP), roblemas G9 e G0, C5, C6, C7 e C30, T3 e T34; Tiago Domingos, Salvador (BA), roblemas G9, G0, G, G e G3, C6,C7, C8 e C30; Wesllen Brendo, Maués (AM), roblemas G9 e G0, T30, T3 e T34 e T39. htt://oti.ima.br/ 7 oti@ima.br