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1 3.1 A Circunferência EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. (a) Centro C ( 2; 1) e raio r = 5: (b) Passa elos ontos A (5; 1) ; B (4; 2) e C ( 2; 2) : (c) O centro está sobre a reta y = x 1 e corta o eixo x nos ontos A ( 1; 0) e B (3; 0) : (d) Passa elos ontos A (1; 2) e B (1; 2) e tem raio r = 2: (e) Circunscrita ao triângulo formado elas retas x + y = 8; 2x + y = 14 e 3x + y = 22: (f) Um diâmetro é o segmento que une os ontos A (0; 1) e B ( 2; 3) : 2. Determine a equação da circunferência de raio 5; tangente à reta 3x + 4y = 16 no onto A (4; 1) : 3. Determine a equação da circunferência de centro C ( 2; 3) e tangente à reta 20x 21y = Calcule o comrimento da corda da circunferência x 2 +y 2 = 25 que jaz sobre a reta x 7y+25 = 0: 5. Considere o triângulo determinado elas retas 4x 3y = 65; 7x 24y + 55 = 0 e 3x + 4y = 5: (a) Determine as equações das bissetrizes do triângulo. (b) Encontre o onto de interseção das bissetrizes. Este onto leva o nome de incentro do triângulo. (c) Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo. O centro da circunferência é o incentro do triângulo. 6. Uma haste de 30cm move-se com seus extremos aoiados em dois os erendiculares. Identi que o lugar geométrico descrito elo onto médio da haste. 7. Determine o centro e o raio da circunferência descrita or x = cos t y = sen t; 0 t 2:

2 2 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS 3.2 A Elise EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS Encontre a equação, os elementos rinciais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o grá co da elise caracterizada or: (a) Focos F 1 (3; 0), F 2 ( 3; 0) e soma dos raios focais igual a 12. (b) Dois vértices em A 1 (3; 4) e A 2 (3; 4) e distância focal igual a 4. (c) Vértices em A 1 ( 5; 0) ; A 2 (5; 0) ; B 1 (0; 4) e B 2 (0; 4) : (d) Focos sobre o eixo y, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 2=3. (e) Centro C (2; 1) e assa nos ontos A ( 3; 1) e B (2; 3) : (f) Focos F 1 ( 2; 2), F 2 (2; 2) e soma dos raios focais igual a Determine a equação e a excentricidade da elise que tem seu centro na origem, um dos vértices no onto B 1 (0; 7) e assa no onto A( 5; 14=3): 3. Determine as retas tangentes à elise x2 a 2 + y2 = 1 com declividade m = 1: b2 4. Um arco tem a forma de uma semi-elise com 48 metros de largura na base e 20 metros de altura. Determine o comrimento de uma viga colocada a 10 metros da base, aralelamente a mesma. 5. O teto de um corredor de 20 m de largura tem a forma de uma semi-elise e a altura no centro é 18 m. Se a altura das aredes laterais é 12 m, determine a altura do teto a 4 m de uma das aredes. 6. Identi que o lugar geométrico dos ontos P (x; y) cuja soma das distâncias aos ontos F 1 (4; 1) e F 2 (4; 7) é igual a Determine a equação da elise com eixos aralelos aos eixos coordenados e que assa nos ontos A ( 6; 4) ; B ( 8; 1) ; C (2; 4) e D (8; 3) : 8. Determine o centro e os focos da elise 9x y 2 36x + 96y + 36 = 0: 9. Determine a interseção entre a elise de vértices (5; 0) e (0; 1) e a circunferência x 2 + y 2 = 4: 10. Proriedade Focal da Elise

3 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS CÔNICAS 3 A gura ao lado mostra a elise x2 a 2 + y2 b 2 = 1, com focos nos ontos F 1 e F 2 : Sabendo que a declividade da reta normal no onto P (x 0 ; y 0 ) vem dada or m N = a2 y 0 b 2 x 0, mostre que a reta normal à elise no onto P (x 0 ; y 0 ) é bissetriz do ângulo formado elos raios focais do onto P. 11. Determine os focos e o centro da elise descrita elo ar de equações aramétricas x = 3 cos t y = 4 sen t; 0 t 2: 12. Determine as retas tangentes traçadas do onto A (3; 1) à elise 2x 2 + 3y 2 + x y = 5: 13. Sejam F 1 e F 2 os focos da elise b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ; a < b; e seja l uma reta tangente à elise. Mostre que dist (F 1 ; l) dist (F 2 ; l) = a 2 : 3.3 A Hiérbole EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS Encontre a equação, os elementos rinciais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o grá co da hiérbole caracterizada or: (a) Focos F 1 (5; 0), F 2 ( 5; 0) e diferença dos raios focais igual a 6. (b) Focos F 1 (2; 7), F 2 (2; 5) e diferença dos raios focais igual a 5. (c) Vértices em A 1 (2; 1) ; A 2 (2; 7) e excentricidade e = 3=2: (d) Vértices em A 1 (0; 2) ; A 2 (0; 2) ; não corta o eixo x e tem assíntotas y = 2x: (e) Focos F 1 ( 2; 2), F 2 (2; 2) e vértices V 1 ( 2; 2) e V1 ( 2; 2). 2. Calcule a área do triângulo determinado ela reta 9x + 2y = 24 e elas assíntotas da hiérbole 9x 2 4y 2 = 36: 3. Um triângulo tem a base xa e o roduto das inclinações dos lados variáveis é semre igual a 4. Se a base é o segmento que une os ontos A (3; 0) e B ( 3; 0), identi que o lugar geométrico descrito elo vértice oosto à base.

4 4 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS 4. Determine a equação da hiérbole com centro na origem, um vértice no onto V 1 (6; 0) e tendo a reta 4x 3y = 0 como uma das assíntotas. 5. Ache a excentricidade, o centro, os focos e as assíntotas da hiérbole 4y 2 9x y + 18x = 29: 6. Se e é a excentricidade da hiérbole x2 y 2 a 2 b 2 = 1, mostre que os raios focais de um onto P 0 (x 0 ; y 0 ) da hiérbole têm comrimento jex 0 aj : Determine os comrimentos dos raios focais do onto P 0 (6; 5) sobre a hiérbole 5x 2 4y 2 = 80: 7. O centro de uma hiérbole está na origem, seu eixo transverso jaz sobre o eixo y e um dos focos é o onto F 1 (5; 0). Se a excentricidade da hiérbole é e = 3, determine sua equação e suas assíntotas. 8. Se é o ângulo agudo de inclinação de uma assíntota da hiérbole x2 y 2 a 2 b 2 excentricidade da hiérbole é sec : = 1, mostre que a 9. Esboce no mesmo sistema de coordenadas as curvas x 2 y 2 = k ara os seguintes valores de k : 2; 1; 0; 1 e 2: 3.4 A Parábola EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS Encontre a equação, os elementos rinciais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o grá co da arábola caracterizada or: (a) Foco F (3; 0) e diretriz r : x + 3 = 0: (b) Foco F (0; 2) e diretriz r : y = 2: (c) Foco F ( 2; 0) e diretriz r : x = 4: (d) Foco F ( 4; 1) e diretriz r : y = 3: (e) Vértice V (2; 0) e foco F (0; 0) : (f) Vértice V (4; 1), eixo focal r : y = 1 e assa no onto P (3; 3) : (g) Foco F (0; 0) e diretriz r : x + y = 2: (h) Vértice V ( 2; 3) e foco F (1; 3) : (i) Eixo aralelo ao eixo y e assa nos ontos A (4; 5) ; B ( 2; 11) e C ( 4; 21) : (j) Vértice na reta 2y 3x = 0, eixo aralelo ao eixo x e assa nos ontos A (3; 5) e B (6; 1) :

5 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS CÔNICAS 5 2. Mostre que a circunferência com centro no onto C (4; 1) e que assa no foco da arábola x y = 0 é tangente à diretriz da arábola. 3. Identi que a trajetória de uma artícula em movimento, em que a distância da artícula à reta r : x + 3 = 0 é semre duas unidades maior que sua distância ao onto (1; 1) : 3.5 Cônicas Gerais EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS Determine os valores de m e q de modo que a equação x 2 + qy 2 + 2mx = 1 reresente: (a) uma circunferência (b) uma elise (c) uma arábola (d) uma hiérbole (e) uma reta (f) duas retas (g) o conjunto vazio (h) um onto 2. Seja l a reta de equação x = 2 e considere o onto F ( 1; 0). Identi que o lugar geométrico dos! ontos P (x; y) tais que jjf P jj = e dist(p ; l); sendo: (a) e = 1 (b) e = 1=2 (c) e = 2: 3.6 Equação Geral do 2 o Grau em Duas Variáveis Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (3.1) A equação geral do 2 o grau (3.1) ode reresentar qualquer uma das cônicas (circunferência, elise, hiérbole ou arábola) mas também ode reresentar um reta ou um ar de retas. Tudo deende dos valores dos coe cientes A; B; C; D; E e F: Para identi car a natureza da cônica odemos usar a rega rática do identi cador. De fato: suonhamos que uma determinada cônica seja descrita ela equação (3.1) e seja = B 2 4AC. (a) Se = 0, então a cônica é uma arábola; (b) Se < 0, então a cônica é uma elise; (c) Se > 0, então a cônica é uma hiérbole.

6 6 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS A única informação que essa regra nos dá é sobre a natureza da cônica. Uma maneira mais e ciente de identi cá-la consiste em efetuar mudanças de coordenadas (translação e/ou rotação) e escrever a equação na forma adrão: Circunferência: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 Elise: (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Parábola: x 2 = 4y ou y 2 = 4x Hiérbole: (x x 0) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1 De forma geral, odemos dizer que a translação "elimina"os termos Dx e Ey do 1 o grau, enquanto a rotação tem a nalidade de "eliminar"o termo Bxy da equação. A seguir aresentamos de modo sucinto como essas oerações atuam na equação da cônica. Do onto de vista geométrico, são necessários 5 ontos ara se determinar uma cônica e, no caso da arábola, 4 ontos são su cientes, tendo em vista a equação B 2 AC = 0: Se, or exemlo, A 6= 0 então a equação (3.1) se reduz a x 2 + B 0 xy + C 0 y 2 + D 0 x + E 0 y + F 0 = 0; onde B 0 = B=A; C 0 = C=A...etc, e essa última equação contém 5 coe cientes a determinar Translação de Eixos A gura ao lado mostra as coordenadas de um onto P (x; y) em dois sistemas de coordenadas: o sistema original xy e o sistema xy, obtido aós a translação. Se O é o onto (h; k), é fácil deduzir que as coordenadas x e y do onto P, no novo sistema de coordenadas, são determinadas elo sistema: x = x y = y h k Exemlo 3.1 (Identi cando uma Cônica) Consideremos a cônica de equação Comletando os quadrados, a equação se escreve: 9x 2 + 4y 2 18x + 32y + 37 = 0: 9 x 2 2x y 2 + 8x = 0 () 9 (x 1) (y + 4) 2 = 36 () (x 1) 2 (y + 4)2 + = 1: 4 9

7 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS CÔNICAS 7 Portanto, a equação reresenta a elise com focos F (0; 5) e centro no onto O (1; 4) : Rotação de Eixos A gura ao lado mostra as coordenadas x e y de um onto P (x; y) aós uma rotação no sentido ositivo (anti-horário) do sistema de coordenadas xy. Reresentemos or o ângulo de rotação e observando a gura, vamos determinar as relações entre as coordenadas do onto P nos dois sistemas. Temos: isto é: x = OA = OB AB = x cos y sen y = AP = AD + DP = x sen + y cos x = x cos + y sen y = x sen + y cos e na forma matricial, obtemos: " # " # " # x cos sen x = : y sen cos y " # cos sen A matriz A = é denominada matriz de rotação. sen cos Exemlo 3.2 Aós uma rotação de = =4, as coordenadas do onto P (1; 1) serão x = 2 e y = 0: De fato: " # x = y " 2=2 2=2 2=2 2=2 # " 1 1 # = " 2 Exemlo 3.3 (Uma Hiérbole Equilátera) Vejamos como atua uma rotação de =4 sobre a equação xy = 1: Usando as equações de mudança: x = x cos y sen y = x sen + y cos ; com = =4, encontramos x = 2 2 x 2 2 y e y = 2 2 x y e a equação xy = 1 se transforma em: que reresenta a hiérbole equilátera. x 2 2 y 2 2 = 1 0 #

8 8 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS O ângulo de rotação Analisemos a equação geral do 2 o grau (3.1) em duas situações. Situação 1 B = 0 e A ou C não nulo Nesse caso, a equação (3.1) se reduz a Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (3.2) e uma simles translação (comletamento de quadrados) leva a equação à forma adrão. Note que em (3.2) os coe cientes A e C não são ambos nulos, de modo que a equação ode reresentar qualquer uma das cônicas. Situação 2 B 6= 0 Esse é o caso onde é necessário efetuar uma rotação no sistema de coordenados, de modo a eliminar o termo Bxy da equação original. A artir daí, o roblema se reduz ao caso anterior. A rotação de um ângulo nos leva às relações já estabelecidas: x = x cos y sen y = x sen + y cos ; e levando os valores de x e y na equação (3.1), obtemos: A x 2 cos 2 + y 2 sin 2 2x y sen cos + B x 2 sen cos + xy cos 2 x y sin 2 y 2 sen cos + +C x sin 2 + y 2 cos 2 + 2x y sen cos + D (x cos y sen ) + E (x sen + y cos ) + F = 0 isto é: A cos 2 + C sin 2 + B sen cos x 2 + 2A sen cos + B cos 2 sin 2 + 2C sen cos x y+ + A sin 2 + C cos 2 B sen cos y 2 + R (; x; y) = 0; onde o resto R (; x; y) não envolve os termos do 2 o grau : x 2 ; y 2 ou x y: Para eliminarmos na última exressão o termo misto x y é su ciente considerarmos 2A sen cos + B cos 2 sin 2 + 2C sen cos = 0 e efetuando a simli cação encontramos: cotg 2 = A C B ; (3.3) que é o ângulo rocurado.

9 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS CÔNICAS 9 Exemlo 3.4 Quando consideramos no exemlo recedente o ângulo de rotação = =4 ara identi car a cônica xy = 1, tínhamos em mente a exressão (3.3). Para a equação xy = 1 temos B = 1; F = 1 e os outros coe cientes A; C; D e E iguais a zero e, ortanto, cotg 2 = 0. Logo, 2 = =2 e = =4: EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma adrão e identi que seus elementos rinciais. (a) x 2 + y 2 + 2x 4y = 20 ( a circunferência x 2 + y 2 = 25) (b) y 2 4x 6y + 2 = 0 ( a arábola y 2 = 4x) (c) 3x 2 4y x + 8y = 4 ( a hiérbole 3x 2 4y 2 = 12) (d) 2x 2 + 3y 2 42x + 12y = 20 ( a elise 2x 2 + 3y 2 = 34) (e) x 2 + 2y 2 4x + 6y = 8 ( a elise 2x 2 + 4y 2 = 33) (f) 3x 2 4y x + 8y = 4 ( a hiérbole 3x 2 4y 2 = 12) 2. Identi que as cônicas abaixo, escrevendo suas equações na forma adrão. (a) 3x 2 10xy + 3y 2 + x = 32 (hiérbole) (b) 17x 2 12xy + 8y 2 68x + 24y = 12 (elise) (c) x 2 + xy + y 2 3y = 6 (elise) (d) xy + x 2y + 3 = 0 (hiérbole) (e) xy = k k 6= 0 (hiérbole) 3. Identi que a cônica que assa nos ontos A (1; 1), B (2; 3) ; C (3; 1) ; D ( 3; 2) e E ( 2; 1) : 4. Por meio de uma rotação de = arctg (4=3), simli que a equação 9x 2 +24xy+16y 2 +80x 60y = 0. Identi que a cônica e esboce seu grá co.

10 10 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS O Foco e a Diretriz de uma Cônica No Exercício 2 da Seção 3.5 consideramos a reta l : x = 2 e o onto F ( 1; 0) e vimos que a equação F! P = e dist (P ; l) (3.4) descreve: uma arábola, quando e = 1; uma elise, quando e = 1=2; e uma hiérbole, quando e = 2. De forma geral, dados uma reta l, denominada (Diretriz), um onto F fora da reta l, denominado (Foco), o lugar geométrico dos ontos P (x; y) que satisfazem a equação (3.4) reresenta: (a) uma arábola, se e = 1; (b) uma elise, se 0 < e < 1; (c) uma hiérbole, se e > 1: O número e denomina-se Excentricidade da cônica e, intutivamente, ele mede o achatamento da curva. Por exemlo, em uma elise quando e se aroxima de 0, a curva se aroxima de uma circunferência (uma elise sem achatamento). Para identi car a natureza da cônica descrita or (3.4), seja D o é da erendicular baixada do! onto P à reta l; de modo que dist (P ; l) = jjp Djj. Efetuando uma translação seguida de uma rotação, se necessário for, odemos admitir qque a reta l é o eixo y e que o foco está sobre o eixo x: Assim, o foco é F (c; 0) e a equação (3.4) nos dá (x c) 2 + y 2 = e jxj, isto é, 1 e 2 x 2 + y 2 2cx + c 2 = c 2 : (3.5) De acordo com o valor de e, a equação (3.5) ode reresentar uma arábola, uma elise ou uma hiérbole. Por exemlo, a cônica com um foco F (0; 0), diretriz l : x = a elise de equação: isto é, 5x 2 + 9y 2 20x = 25: x 2 + y 2 = 2 jx + 5=2j ; 3 5=2 e excentricidade e = 2=3 é

11 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS CÔNICAS 11 RESPOSTAS & SUGESTÕES 3.1 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. (a) (x + 2) 2 + (y 1) 2 = 25: (b) (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 25: (c) (x 1) 2 + y 2 = 4: (d) (x 1) 2 + y 2 = 4: (e) x 2 + y 2 6x + 4y = 12: (f) (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 2: 2. (x 7) 2 + (y 5) 2 = 25 e (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 25: 3. x 2 + y 2 + 4x 6y = 12: : 5. x 2 + y 2 20x + 75 = 0: 6. Um arco da circunferência x 2 + y 2 = 225: 7. Centro C (2; 1) e raio R = 3: 3.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. (a) x 2 =36 + y 2 =27 = 1; A (6; 0) ; B(0 27); C (0; 0); e = 1=2: 2. (b) (x 3) 2 =12 + y 2 =16 = 1; B( 27; 0); F (3; 2); C (3; 0); e = 1=2: (c) x 2 =256 + y 2 =16 = 1; F (3; 0) ; C (0; 0); e = 3=5: (d) x 2 =20 + (y y 0 ) 2 =36 = 1: (e) (x 2) 2 =25 + (y + 1) 2 =16 = 1; A 1 (7; 1) ; A 2 ( 3; 1) ; B 1 (2; 3) ; B 2 (2; 5); F 1 (5; 1), F 2 ( 2; 1) ; C (2; 1); e = 3=5: (f) 4x 2 + 4y 2 xy = 126: x y = 1; e = 14 : 3. y = x a 2 + b :

12 12 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS 5. 84=5 m: 6. A elise (x 4) (y 3)2 20 = 1: 7. (x 2) (y 1)2 25 = 1: 8. Centro C (2; 3) e Focos F 2 7; 3 : 9. Os ontos A 5= 8; 7=8 ; B 5= 8; 7=8 ; C 5= 8; 7=8 e A 5= 8; 7=8 : 10. Se e são os ângulos determinados no vértice P ela normal, mostre que tan = tan = cy 0 =b 2 : 11. Focos F 1 0; 7 e F 1 0; 7 ; Centro C (0; 0) : 12. x + y = 2 e 9x 191y 218 = 0: 3.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. (a) x2 9 (b) (c) 4 (y + 1)2 25 (y 3)2 16 y 2 = 1; V (3; 0) ; C (0; 0) ; e = 5=3; y = 4x=3: 16 4 (x 2) 2 = 1; V 1 (2; 3=2) ; V 2 (2; 7=2) C (2; 1) ; e = 12=5; y = 5x= 119: 119 (x 2) 2 = 1; F 1 (2; 3) ; F 2 (2; 9) C (2; 3) ; y = x=5: 20 (d) y 2 4x 2 = 4; F (0; 5); C (0; 0) ; e = 5=2 (e) xy = 2: 2. A = 12: 3. A hiérbole 4x 2 y 2 = 36: 4. x 2 36 y 2 64 = 1 5. e = 13=3; C (1; 2) ; F (1; 2 13) e assíntotas: 3x + 2y = 1 e 3x 2y = 7: e 5: 7. 9x y 2 = 1; y = 3x: 225

13 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS CÔNICAS EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. (a) y 2 = 12x; V (0; 0) : (b) x 2 = 8y; V (0; 0) : (c) y 2 = 12 (x 1) ; V (1; 0) : (d) (x + 4) 2 = 4 (y 2) ; V ( 4; 2) : (e) y 2 = 8 (x 2) ; diretriz x = 4: (f) (y + 1) 2 = 4 (x 4) ; Foco F (3; 1), diretriz x = 5: (g) x 2 + y 2 2xy + 4x + 4y 4 = 0: (h) y 2 6y 12x 15 = 0: (i) x 2 4x 2y + 10 = 0: (j) y 2 6y 4x + 17 = 0: 2. O foco da arábola é F (0; 4) e a diretriz é a reta l : y = 4: A equação da circunferência é (x 4) 2 + (y + 1) 2 = 25 e ara concluir que esta circunferência é tangente à diretriz l, basta observar que dist (C; l) = 5: 3. A arábola (y 1) 2 + x = 4x. 3.5 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. (a) Se q = 1 a equação reresenta a circunferência (x + m) 2 + y m 2 :

14 14 CÁLCULO VETORIAL MARIVALDO P. MATOS (b) Se q > 0 a equação reresenta a família de elises (x + m) 2 + qy 2 = 1 + m 2 : (c) Fazer (d) Se q < 0 a equação reresenta a família de hiérboles (x + m) 2 jqj y 2 = 1 + m 2 : (e) Fazer (f) Se q = 0 a equação reresenta o ar de retas x = m 1 + m 2. Os lugares geométricos: reta, onto e arábola, como também o conjunto vazio, não odem ser reresentados ela equação dada (a) a arábola y 2 = 6x + 3: (b) a elise 3 (x + 2) 2 + 4y 2 = 12: (c) a hiérbole 3 (x 3) 2 y 2 = 42: 3.6 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. x 2. x 3. Admita a cônica sob a forma x 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 e or substituição dos ontos na equação obtenha a hiérbole 9x 2 + 8xy 13y 2 x + 19y = 22: 4. a arábola x 2 = 4y:

MAT 105- Lista de Exercícios

MAT 105- Lista de Exercícios 1 MAT 105- Lista de Exercícios 1. Determine as áreas dos seguintes polígonos: a) triângulo de vértices (2,3), (5,7), (-3,4). Resp. 11,5 b) triângulo de vértices (0,4), (-8,0), (-1,-4). Resp. 30 c) quadrilátero

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