CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
|
|
- Thiago João Guilherme Bernardes Santarém
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 04 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam e O os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0). Sejam O x e O os novos eixos coordenados com origem O (h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x, ), em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que: = x =, chamadas de equações de translação no R. O O P(x,) (x, ) k O x O h x Observe que, fazer uma translação no R, é transladar o sistema antigo (primitivo), paralelamente aos eixos e O, para uma nova origem O (h,k). Exemplo (): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O (-3,). Solução: Usando as equações de translação, teremos: O = 5 ( 3) = 8 O P(x,) = (8, 5) = 3 = 5 O (-3,) k= h=-3 O 8 5 = x h = k -5-3 P(5,-3) (8,-5)
2 05 Exemplo (): Determine a equação reduzida da elipse x + 3 8x = 0, depois que a origem foi transladada para o ponto O (,-). Solução: Fazendo: = x = = x + = na equação da elipse, teremos: (x + ) + 3( ) 8(x + ) + 6( ) 7 = 0 x = 0 x 3 8 x + = + =. Note que, a equação reduzida da elipse, antes da (x ) ( + ) translação era + =, cujo centro é o ponto C(,-), ou seja, foi feita 9 6 uma translação para o centro da elipse. O O C OS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e ) da equação de uma cônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer a nova origem O (h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3). Exemplo (3): Determine a translação de eixos que transforme a equação da hipérbole 3x 4 + 6x = 0, na sua forma mais simples (sem os termos de primeiro grau). Solução (): Pela observação acima, devemos fazer uma translação para o centro da hipérbole. Passando para forma reduzida, teremos: 3(x + ) 4( 3) = 0 (x + ) 34 ( 3) + 5 =. Logo, o centro é C(-,3) que será a nova origem O (h,k). Fazendo = x = + 3 na equação geral, segue que: 3(x ) 4( + 3) + 6(x ) + 4( + 3) 35 = 0 3x 4 = 0. Solução (): Caso não soubéssemos da observação acima, outra forma de descobrir qual a translação para eliminar os termos de primeiro grau, seria aplicar as equações de translação na equação dada e impor as condições para que os coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos.
3 06 Sabemos que: = x. Substituindo na equação 3x 4 + 6x = 0, = teremos: 3(x ) 4( ) + 6(x ) + 4( ) 35 = 0. Desenvolvendo 3x 4 + (6h + 6)x (8k 4) + (3h 4k + 6h + 4k 35) = 0. Impondo as condições para que os coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos: 6h + 6 = 0 h =. Portanto, a translação dever ser feita para a nova origem 8k 4 = 0 k = 3 (h,k) O = (,3). ROTAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam e O os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0). Sejam e O os novos eixos coordenados depois que o sistema primitivo foi rotacionado de um ângulo θ em torno da origem O(0,0). Logo, θ é o ângulo formado entre os eixos e. Seja P(x,) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x, ), em relação ao novo sistema. O P(x,) (x O, ) Q θ R x S O θ N x M x = OM NM Pela figura acima temos:. = NQ + QP No triângulo OMR: cos θ = OM x NQ OM = x cos θ e MR = NQ e sen θ = x NM NQ = x senθ. No triângulo PQR: QR = NM e senθ = NM = senθ e QP cos θ = QP = cos θ. Portanto, x = OM NM = NQ + QP x = x cos θ senθ, = xsenθ + cos θ chamadas de equações de rotação no R. Podemos escrever as equações de
4 07 rotação na forma matricial: x cos θ = senθ senθ x cos θ senθ, onde cos θ [ M] θ = é senθ cos θ chamada de matriz de rotação de um ângulo θ. Exemplo (5): Determine as coordenadas do ponto P(-,6), após os eixos coordenados sofrerem uma rotação de 60 o. = x Solução: Usando as equações de rotação: cos60 sen60 6 = x sen60 + cos60 3 = x 3 6 = x + x 3 = 4. Resolvend sistema linear, teremos: 3x + = x = + 3 = Portanto, o ponto P terá novas coordenadas P ( + 3 3,3 + 3). Exemplo (6): Determine o ângulo, segund qual, os eixos devem ser rotacionados para eliminar o termo x na equação 7x 6 3x + 3 = 6. Solução: Substituindo as equações de rotação na equação dada, teremos: 7(x cos sen ) 6 3(x cos sen )(x sen cos ) 3(x sen cos ) θ θ θ θ θ + θ + θ + θ = 6 ( 7cos θ 6 3 senθcos θ + 3sen θ)x + [ senθcos θ 6 3(cos θ sen θ)]x + + (7sen θ sen θcos θ + 3cos θ) = 6 (*) Fazend coeficiente do termo x igual a zero, teremos: 6( cos θ senθ) 6 3(cos θ sen θ) = 0 6senθ 6 3 cosθ = 0 tgθ = 3 θ = 60 θ 30. Substituindo θ na equação (*), a equação se reduz a x = = 4 +. Esta é a equação reduzida de uma elipse de centro na origem e semi-eixos a= e b=. 3 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA No capítulo 8 estudamos as cônicas, cujos eixos eram de posição horizontal (paralelo ao eixo coordenado ) ou vertical (paralelo ao eixo coordenado O) e, conseqüentemente, suas equações eram características dessas situações. No entanto, a expressão geral de uma cônica, cujos eixos podem estar em qualquer posição em relação aos eixos coordenados é dada por: Ax + x + C + Dx + E + F = 0
5 08 Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para todas, uma forma de identificar a cônica através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação: se se se 4AC < 0 elipse 4AC = 0 parábola 4AC > 0 hipérbole Pode-se demonstrar (veja exemplo 6) que o ângulo θ, de que é necessário girar os eixos para eliminar o termo x (termo retângulo), é calculado por intermédio da fórmula: tgθ = A C Exemplo (7): Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados, reduzir a equação da cônica 5x + 6x + 5 4x = 0 a sua forma mais simples. Fazer um esboço da cônica, representands três sistemas de eixos. Solução: Para reduzir a equação da cônica a sua forma mais simples, devemos eliminar os termos de primeiro grau x e, por meio de uma translação para o centro da cônica e, para eliminar o termo retângulo x, deve-se fazer uma rotação de um ângulo θ, usando a relação tgθ =. Como A = 5, = 6 e C = 5 A C 4AC = 64 < 0, ou seja, a cônica em questão é uma elipse. Vamos primeiro fazer a translação, substituindo = x = na equação dada: 5(x ) + 6(x )( ) + 5( ) 4(x ) + 4( ) 4 = 0 (*) 5x + 6x (0h + 6k 4)x + (6h + 0k + 4) + (5h + 6hk + 5k 4h + 4k 4) = 0 Para eliminar os termos de primeiro grau x e, façamos seus coeficientes iguais a 0h + 6k 4 = 0 h = zero:. Resolvend sistema teremos:. Então, a nova 6h + 0k + 4 = 0 k = origem será O (, ) que é o centro da cônica. Substituindo h= e k=- em (*), vamos obter: 5x + 6x = 0 (**), a equação transladada. De 6 6 tg θ = = = =? Isso mostra que A C θ = 90 θ = 45, ou seja, este é o ângulo de rotação para eliminar o termo x. Fazendo o θ = 45 nas equações de
6 09 rotação = x cos θ senθ = xsenθ + cos θ x = = x x. Substituindo em (**), vamos obter + 4x + 4 = 0, que é a forma mais simples da equação da elipse de equação reduzida x + =, que, em relação ao sistema transladado e rotacionado, tem 4 centro na origem e eixo maior vertical. O O O - Exercícios Propostos ) Qual a translação que devemos fazer para reduzir a equação da hipérbole 4x 5 + 6x = 0 na sua forma mais simples? Escrever a equação reduzida da hipérbole depois da translação. x Resp: translação para C(-,3); = 0 8 ) Determinar a equação da cônica x x + + x = 0, após uma rotação de 45 o nos eixos coordenados. Quem é a cônica? Resp: 3 x + 3 = 0; Parábola 3) Reduzir a expressão da cônica 4x 4x + 8 5x 6 5 = 0 a sua forma mais simples. Quem é a cônica? Resp: = x ; parábola (use: cos θ = e sen θ = ) ) Reduzir a expressão da cônica x 3x 4x = 0 a sua 5 forma mais simples. Quem é a cônica? x Resp: + = ; elipse (sugestão: faça primeiro a translação e depois a rotação) 0
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP
Cônicas e Equações Quadráticas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Parábolas 2 3 4 5 Introdução Parábolas Parábolas
Leia maisA B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas).
MAT 105- Lista de Exercícios 1. Prolongue o segmento com extremos em (1, -5) e (3, 1) de um comprimento de (10) unidades. Determine as coordenadas dos novos extremos. 2. Determine o centro e o raio da
Leia maisGGM Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Geometria Analítica Básica 20/12/2012- GGM - UFF Dirce Uesu
GGM0016 Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Geometria Analítica Básica 0/1/01- GGM - UFF Dirce Uesu CÔNICAS DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA Exercício: Acesse o sitio abaixo e use o programa: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/005.1/gma04096/applets/conic/co
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco
GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA 03/01/2013 - GGM - UFF Dirce Uesu Pesco CÔNICAS Equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y onde A, B e C não são simultaneamente
Leia maisMAT 105- Lista de Exercícios
1 MAT 105- Lista de Exercícios 1. Determine as áreas dos seguintes polígonos: a) triângulo de vértices (2,3), (5,7), (-3,4). Resp. 11,5 b) triângulo de vértices (0,4), (-8,0), (-1,-4). Resp. 30 c) quadrilátero
Leia mais3.2 Determine a equação da circunferência de raio 5, tangente à reta 3x +4y =16no ponto A (4, 1).
3.1 Obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência caracterizada por: (a) Centro C (, 1) eraior =5; (b) Passa pelos pontos A (1, ),B(1, 1) e C (, 3) ; (c) Inscrita no triângulo determinado pelas
Leia maisAula 9 Cônicas - Rotação de sistemas de coordenadas
MÓDULO 1 - AULA 9 Aula 9 Cônicas - Rotação de sistemas de coordenadas Objetivos Entender mudanças de coordenadas por rotações. Identificar uma cônica rotacionada a partir da sua equação geral. Identificar
Leia maisGeometria Analítica Exercícios Cônicas em posição geral
Geometria Analítica Exercícios Cônicas em posição geral Cleide Martins DMat - UFPE Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE) Soluções Turmas E1 e E3 1 / 16 Resolução dos exercícios da aula 15 Classique
Leia maisGeometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Cônicas Prof Marcelo Maraschin de Souza É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Considere dois pontos distintos
Leia maisAula 19 Elipse - continuação
MÓDULO 1 - AULA 19 Aula 19 Elipse - continuação Objetivos Desenhar a elipse com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio
Leia mais0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c
Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,
Leia maisAula Exemplos diversos. Exemplo 1
Aula 3 1. Exemplos diversos Exemplo 1 Determine a equação da hipérbole equilátera, H, que passa pelo ponto Q = ( 1, ) e tem os eixos coordenados como assíntotas. Como as assíntotas da hipérbole são os
Leia mais54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =
54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e
Leia maisMÓDULO 1 - AULA 21. Objetivos
Aula 1 Hipérbole - continuação Objetivos Aprender a desenhar a hipérbole com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da hipérbole no sistema de coordenadas com origem no ponto médio
Leia mais54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =
54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e
Leia maisSolução
Uma barra homogênea e de secção constante encontra-se apoiada pelas suas extremidades sobre o chão e contra uma parede. Determinar o ângulo máximo que a barra pode formar com o plano vertical para que
Leia maisCAPÍTULO 10 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS
CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam O e O s eis primitivs, d Sistema Cartesian de Eis Crdenads cm rigem O(0,0). Sejam O e O s nvs eis crdenads cm rigem O (h,k), depis
Leia maisSolução
Uma barra homogênea e de secção constante encontra-se apoiada pelas suas extremidades sobre o chão e contra uma parede. Determinar o ângulo máximo que a barra pode formar com o plano vertical para que
Leia mais1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência.
3. AS CÔNICAS CÁLCULO VETORIAL - 2017.2 3.1 A circunferência 1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. (a) Centro C ( 2; 1) e raio r = 5: (b) Passa pelos pontos A (5; 1) ;
Leia maisGeometria Analítica I
Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 11 1 Geometria Analítica I 10/05/011 Respostas dos Exercícios do Módulo I - Aula 11 Aula 11 1. Em todos os itens desta questão, utilizaremos as relações x
Leia maisSumário. VII Geometria Analítica Jorge Delgado Katia Frensel Lhaylla Crissaff
1 Coordenadas no plano 1 1.1 Introdução........................................ 2 1.2 Coordenada e distância na reta............................ 3 1.3 Coordenadas no plano.................................
Leia maisEquações paramétricas das cônicas
Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P 1 = x 1, y 1 ) e P = x, y ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:
Leia maisGeometria Analítica - Aula
Geometria Analítica - Aula 19 246 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 20 Vamos analisar a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 nos casos em que exatamente um dos coeficientes A ou C é nulo. 1. Parábola
Leia maisMarcelo M. Santos DM-IMECC-UNICAMP msantos/
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência 0 anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Identificação de Cônicas
Leia maisGGM Geometria Analítica I 19/04/2012- Turma M1 Dirce Uesu
GGM0016 Geometria Analítica I 19/04/01- Turma M1 Dirce Uesu CÔNICAS DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA Exercício: Acesse o sitio abaixo e use o programa: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/005.1/gma04096/applets/conic/co
Leia maisGeometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici
9 M U DA N Ç A D E C O O R D E N A DA S O RTO G O N A I S N O P L A N O Como sabemos, um sistema de coordenadas Σ no plano é um conjunto de dois vetores linearmente independentes f 1, f 2 (ou seja uma
Leia maisMAT Poli Roteiro de Estudos sobre as Cônicas
MAT25 - Poli - 2003 Roteiro de Estudos sobre as Cônicas Martha Salerno Monteiro Departamento de Matemática IME-USP Uma equação quadrática em duas variáveis é uma equação da forma a + by 2 + cxy + dx +
Leia maisSEÇÕES CÔNICAS. Figura 1
INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFBA DISCIPLINA: MATEMÁTICA BÁSICA II - SEM. 004.1 PROF. GRAÇA LUZIA DOMINGUEZ SANTOS SEÇÕES CÔNICAS Sejam duas retas e e r concorrentes em O, tal que o ângulo α entre e e r é diferente
Leia maisA primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor
Identificação de Cônicas Uma equação do segundo grau ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 define de maneira implícita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação. Por exemplo,
Leia maisGeometria Analítica I
Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 15 1 Geometria Analítica I 17/03/2011 Respostas dos Exercícios do Módulo I - Aula 15 Aula 15 1. Este exercício se resume a escrever a equação em uma das formas
Leia maisPARTE III CÔNICAS CONTEÚDOS. Transformações de coordenadas. Translação dos eixos coordenados Rotação dos eixos coordenados. Lugares geométricos
PARTE III CÔNICAS CONTEÚDOS Transformações de coordenadas Translação dos eios coordenados Rotação dos eios coordenados Lugares geométricos Cônicas Parábola Elipse Hipérbole Equação geral Equações paramétricas
Leia maisMAT Poli Cônicas - Parte I
MAT2454 - Poli - 2011 Cônicas - Parte I Uma equação quadrática em duas variáveis, x e y, é uma equação da forma ax 2 +by 2 +cxy +dx+ey +f = 0, em que pelo menos um doscoeficientes a, b oucénão nulo 1.
Leia maisd{p, s) = R. Mas, d(p, s) = d(p, Q), onde Q(0, 0, z). Logo, P{x, y, z) pertence ao cilindro se, e somente se,
134 Geometria Analítica \ Vamos deduzir uma equação do cilindro, em relação a um sistema de coordenadas que contém s como eixo z. Seja R a distância entre r es. Então, um ponto P(x, y, z) pertence ao cilindro
Leia maisCapítulo 3 - Geometria Analítica
1. Gráficos de Equações Capítulo 3 - Geometria Analítica Conceito:O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos e somente estes pontos, cujas coordenadas satisfazem a equação. Assim, o gráfico
Leia mais1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos (a) e (b) e cos θ nos casos (c) e (d): = z 3 e s : { 3x + y 5z = 0 x 2y + 3z = 1
14 a lista de exercícios - SMA0300 - Geometria Analítica Estágio PAE - Alex C. Rezende Medida angular, distância, mudança de coordenadas, cônicas e quádricas 1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos
Leia maisO problema proposto possui alguma solução? Se sim, quantas e quais são elas?
PROVA PARA OS ALUNOS DE 3º ANO DO ENSINO MÉDIO 1) Considere o seguinte problema: Vitor ganhou R$ 3,20 de seu pai em moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se recebeu um total de 50 moedas, quantas
Leia maisGEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 2018
GEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 08 ( Seja a R e f(x, y ax + ( ay. Designe por C a a cónica dada por f(x, y 0. (a Mostre que os quatro pontos (±, ± R pertencem a todas as cónicas C a (independentemente
Leia maisMatemática 2 Módulo 9
Matemática Módulo 9 GEOMETRIA ANALÍTICA VI COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Se duas circunferências são concêntricas, então os seus centros são coincidentes. Temos a circunferência λ : x + y 4x y + =
Leia maisGeometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Cônicas Prof Marcelo Maraschin de Souza Hipérbole É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.
Leia maisCapítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1
Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.
Leia mais3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta
1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada
Leia maisGa no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb.
Ga no plano 1 GA no plano Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 015 1 Introdução Estudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação, que recebe o nome de programação
Leia maiscarga do fio: Q. r = r p r q figura 1
Uma carga Q está distribuída uniformemente ao longo de um fio reto de comprimento infinito. Determinar o vetor campo elétrico nos pontos situados sobre uma reta perpendicular ao fio. Dados do problema
Leia maisPonto 1) Representação do Ponto
Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria
Leia maisGeometria Analítica I
Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 7 1 Geometria Analítica I 01/03/2011 Respostas dos Exercícios do Módulo I - Aula 7 Aula 7 1. a. Procedendo como nos Exemplos 7.1 e 7.2, ou a Proposição 7.15
Leia maisAula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas
Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas MÓDULO 1 - AULA 8 Objetivos Entender a mudança de coordenadas pela translação do sistema cartesiano. Identificar uma cônica transladada a partir da
Leia maisEquação fundamental da reta
GEOMETRIA ANALÍTICA Equação fundamental da reta (Xo, Yo) (X, Y) (Xo, Yo) (X, Y) PARA PRATICAR: 1. Considere o triângulo ABC, cujos vértices são A (3, 4), B (1, 1) e C (2, 4). Determine a equação fundamental
Leia mais2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim
2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim Antes de iniciarmos o estudo das desigualdades isoperimétricas para curvas convexas, vamos rever alguns conceitos e resultados da Geometria Diferencial
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L1 NOTAS DA VIGÉSIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, consideraremos mais uma técnica de integração, que é conhecida como substituição trigonométrica. Esta técnica pode
Leia maisVetores e Geometria Analítica
Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 4 de maio de 2016 Círculo Denição Círculo é o conjunto de pontos P (x, y) a uma distância a, chamada de raio, de um ponto C (x o, y
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Leia maisAula 4. Coordenadas polares. Definição 1. Observação 1
Aula Coordenadas polares Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas
Leia maisElevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado, obtemos, finalmente, Exercícios
Cónicas 61 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado, obtemos, finalmente, que não contém radicais e é do segundo grau. 40x 2 + 33y 2-24xy + 168x - 168j - 200 = 0,
Leia maissoma das distâncias que separam um ponto da elipse aos focos são dados.
LISTA 4 Geometria Analítica Professor Eudes Fileti PARTE A ELIPSE 1) Deduzir a equação da elipse a partir da definição. 2) Obtenha uma equação da elipse cujos focos ( e ) e vértices ( e ) são dados abaixo.
Leia maisGeometria Analítica II - Aula 5 108
Geometria Analítica II - Aula 5 108 IM-UFF Aula 6 Superfícies Cilíndricas Sejam γ uma curva contida num plano π do espaço e v 0 um vetor não-paralelo ao plano π. A superfície cilíndrica S de diretriz γ
Leia maisGEOMETRIA Exercícios
GEOMETRIA Exercícios Mestrado em Educação - DMFCUL 00/003 1. Determine a equação da circunferência com centro (, 1 e raio 3.. Determine os pontos de intersecção da recta y = com a circunferência do exercício
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudanças de Coordenadas Mudança de Coordenadas A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canônica de R determinam um sistema de coordenadas: se as coordenadas de um ponto no espaço são (x, y,
Leia maisObjetivos. Aprender a propriedade reflexiva da parábola.
Aula 16 Parábola - continuação MÓDULO 1 - AULA 16 Objetivos Descrever a parábola como um lugar geométrico, determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz
Leia maisCM005 Álgebra Linear Lista 3
CM005 Álgebra Linear Lista 3 Alberto Ramos Seja T : V V uma transformação linear. Se temos que T v = λv, v 0, para λ K. Dizemos que λ é um autovalor de T e v autovetor de T associado a λ. Observe que λ
Leia mais1 Vetores no Plano e no Espaço
1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no
Leia maisSECÇÕES CÔNICAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS Prof. Vasco Ricardo Aquino da Silva
SECÇÕES CÔNICAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS Prof. Vasco Ricardo Aquino da Silva SECÇÕES CÔNICAS Usando o programa winplot visualize as cônicas disponíveis em nosso AVA Moodle. 1. Elementos da Elipse: F1, F2:
Leia mais6.1 equações canônicas de círculos e esferas
6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que
Leia maisDeduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L.
Deduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L. Esquema do problema Consideremos uma corda longa, fixa nas extremidades, por onde se
Leia maisTransformações geométricas planas
9 Transformações geométricas planas Sumário 9.1 Introdução....................... 2 9.2 Transformações no plano............... 2 9.3 Transformações lineares................ 5 9.4 Operações com transformações...........
Leia maisTecnologia em Construções de Edifícios
1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até
Leia maisSistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesiano Geometria Analítica Prof. Rossini Bezerra Definição Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano Um esquema reticulado necessário
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Grupo I As
Leia maisNotas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares
Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 11 Conceito e Elementos Definição 1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos
Leia maisCÔNICAS: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA E ALGÉBRICA
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT (Mestrado) SILVIO TOME DA SILVA CÔNICAS:
Leia maisUniversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 03 de Julho de Prof o. E.T.
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M é
Leia maisEquação Geral do Segundo Grau em R 2
8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................
Leia maisDetermine o módulo do campo elétrico de uma esfera condutora maciça carregada com uma carga Q em todo o espaço. carga da esfera: Q.
Determine o módulo do campo elétrico de uma esfera condutora maciça carregada com uma carga Q em todo o espaço. Dados do problema carga da esfera: Q. Esquema do problema Vamos assumir que a esfera está
Leia maisCurso de Geometria Analítica. Hipérbole
Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 03 - Cônicas- Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola
Leia maisInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,
Leia maisGeometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA
Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 2011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na
Leia maisCapítulo 19. Coordenadas polares
Capítulo 19 Coordenadas polares Neste capítulo, veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados,
Leia maisUniversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T.
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M
Leia maisNotas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares
Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 1.1 Conceito e Elementos Definição 1.1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l. Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto
Leia maisTRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS
TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS Parte II Transformações nos Espaços Bidimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra
Leia maisQuestão 2: Considere a hipérbole descrita pela equação 9x 2 16y 2 = 144. vértices, focos e esboce seu gráco.
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 8 - Cônicas e Quádricas
Leia maisObter as equações paramétricas das cônicas.
MÓDULO 1 - AULA 1 Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Objetivo Obter as equações paramétricas das cônicas. Estudando as retas no plano, você viu que a reta s, determinada pelos pontos P = (x 1, y
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso:
5 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justique todas as suas respostas.. Dados os vetores u = (, ) e v = (, ), determine os vetores m e n tais que: { m n = u, v u + v m + n = P roj u
Leia maisPortal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta Terceiro Ano - Médio Autor: Prof Angelo Papa Neto Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Condição de alinhamento de três pontos Consideremos
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio. Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M.
Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta Terceiro Ano - Médio Autor: Prof Angelo Papa Neto Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Condição de alinhamento de três pontos Consideremos
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 4 1 Resolva o exercício 11 da página 80 do seu manual Considere
Leia maisMatemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização. y = ax² + bx + c
47 6. Função Quadrática É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = ax² + bx + c Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim. Já estudamos um tipo de função
Leia maisx = 3 1 = 2 y = 5 2 = 3 Aula Teórica 3 ATIVIDADE 1 Professor Responsável: Profa. Maria Helena S. S. Bizelli
Aula Teórica 3 ATIVIDADE. Represente, no plano cartesiano xy descrito abaixo, os dois pontos (x 0,y 0) = (,) e (x,y ) = (3,5).. Trace a reta r que passa pelos pontos e, no plano cartesiano acima. 3. Determine
Leia maisResolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)
R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a
Leia maisExercícios de Geometria Analítica - Prof. Ademir
Exercícios de Geometria nalítica - Prof. demir Vetores 1. onsidere o triângulo, onde = (1, 1, 1), = (2, 1, 0) e = (3, 2, 3). Verifique que este triângulo é retângulo, diga qual vértice contém o ângulo
Leia maisFigura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).
9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes
Leia maisAula Elipse. Definição 1. Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis:
Aula 18 Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Vamos considerar primeiro os casos em que B = 0. Isto é,
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA 2017
GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro -
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 14. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes
Leia maisJorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP
Vetores no Espaço Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Vetores no Espaço 2 3 4 Vetor no espaço Vetores no Espaço Operações
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros
Leia mais1 Geometria Analítica Plana
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. out/ São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto todas
Leia maisLista 10 - Funções Trigonométricas. Obs.: A resolução da Lista 10.1 encontra-se depois desta lista.
Lista 10 - Funções Trigonométricas Obs.: A resolução da Lista 10.1 encontra-se depois desta lista. 1) Resolução: a) Período 2 Imagem [ 2; 4] Gráfico da função sen x transladado unidades para a direita.
Leia mais