2.1 Equações do Plano

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1 .1 Equações do Plano.1 Classi que as a rmações em verdadeiras ou falsas, justi cando cada resposta. ( ) Um ponto A (x; y; z) pertence ao eixo z se, e somente se, x = 0 e y = 0; ( ) Um ponto A (x; y; z) pertence ao plano xz se, e somente se, y = 0; ( ) Dados dois pontos A e B, existe um único plano que os contém; ( ) Se um plano é paralelo aos vetores ~u e ~v, então é ortogonal aos vetores ~u ~v e ~v ~u; ( ) Se os pontos A; B e C não estão alinhados, então existe um único plano que os contém; ( ) Dados um ponto A e um vetor ~v, existe uma única reta passando por A, ortogonal a ~v; ( ) Paralelo ao plano xy; existe um único plano que contem o ponto A (1; 1; 1) ; ( ) Se os planos ; e se interceptam dois a dois segundo uma reta, então os três planos têm uma reta em comum; ( ) Duas retas não paralelas sempre têm um ponto em comum; ( ) Se l e r são duas retas concorrentes, existe um único plano que as contém;.1b Enumere a coluna da direita, observando se o ponto pertence ao lugar geométrico. (1) A (0; 0; 1) ( ) plano x + y + z 6 = 0 () B (0; 1; 0) ( ) plano xy () C (1; 0; 0) ( ) reta l x = t; y = t; z = t (4) D (x; y; 0) ( ) eixo x (5) E (0; y; z) ( ) interseção de l x = t; y = t; z = t com x y + z = 6 (6) F (x; 0; z) ( ) plano y = 0 (7) G (1; ; ) ( ) eixo z () H (1; 1; 1) ( ) reta r x 1 = y = z 1 (9) I (1; ; 1) ( ) interseção dos planos z = 0 e x = 0 (10) J (1; 1; 1) ( ) plano x = 0.1C Seja o plano de equações paramétricas x = 4 + ; y = + e z =. (a) Veri que que o ponto A (4; ; 0) jaz no plano ;

2 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS MARIVAL P MATOS 15 (b) Determine dois outros pontos B e C do plano ; (c) Encontre dois vetores ~a e ~ b paralelos ao plano ; (d) Determine a equação cartesiana do plano.1d Determine o plano (nas formas cartesiana e paramétrica) que passa pelos pontos A (; 1; ) ; B (4; 1; 1) e C (; 0; ).1E Determine a equação do plano que contém o ponto A (; 1; 1) e é ortogonal ao vetor ~v =~i ~j + ~ k. Os pontos B (0; 1; 0) e C (; 1; 1) jazem nesse plano? Justi que..1f Determine quatro vetores LD, de normas 1,, e 4, respectivamente, paralelos ao plano x + y z = 4.1G Determine o plano que contém o eixo oz e passa pelo ponto A (4; ; 1).1H A equação x = 1 representa um ponto (em R); uma reta (em R ); um plano (em R ). Se representa o plano de equação x = 1, determine (a) dois pontos do plano ; (b) um vetor ~n, normal ao plano ; de comprimento..1i Determine as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A (1; ; ) e é paralelo aos vetores ~u = ~i + ~j ~ k e ~v = ~i ~j ~ k.1j Determine a equação cartesiana do plano que contém os pontos A (; 1; ) e B (; 1; ) e é paralelo ao vetor ~v = ~i ~j 4 ~ k.1k Determine o valor de m de modo que o ponto A (m; m + ; ) pertença ao plano x y z + 5 = 0 O plano passa pela origem? De forma genérica, como deve ser a equação de um plano que passa pela origem?.1l Descreva, de forma genérica, como se determina um vetor de norma ortogonal a um plano dado. Imagine o plano dado na forma cartesiana ou na forma paramétrica..1m Com base no exercício precedente, determine um vetor de comprimento 15, normal ao plano de equações paramétricas x = ; y = 1 + ; z =

3 16 RETAS & PLANOS CAP..1N O ponto A (; 1; 1) é o pé da perpendicular baixada da origem a um plano. Determine a equação cartesiana do plano.1o Seja o plano de equação x 5y + 4z =. Construa uma base ortonormal negativa f~u; ~v; ~wg, de modo que ~u seja normal e ~v e ~w sejam paralelos ao plano..1p Determine a equação cartesiana do plano que contém os pontos A (7; ; ) e B (5; 6; 4) e é paralelo ao eixo x..1q Determine as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 5x + y z + 6 = 0.1R Um plano contém o eixo oz e é paralelo ao vetor na direção da bissetriz do ângulo entre ~i e ~j. Determine a equação e dê uma idéia geométrica da posição do plano..1s Considere os pontos A (7; ; ) e B (5; 6; 4). Determine a equação do plano que passa pelo ponto médio e é ortogonal ao segmento AB.1TVeri que se o pares de planos são paralelos ou perpendiculares. < x = 1 + ; y = ; z = + < 4x + y 4z = 0 (a) (b) x = + ; y = 1 + ; z = + 1x + 6y 1z = 4.1U Determine os valores de m e n para que os seguintes pares de equações representem planos perpendiculares. < x 5y + mz = (a) x + y + z = 5 < x + my + z = 1 (b) nx + y z = 6 < x + 7y z = 0 (c) x + my + nz = 1.1V Determine os valores de m e n para que os seguintes pares de equações representem planos paralelos. < nx 6y 6z = 0 (a) x + my + z = 5 < x + my + z = 0 (b) x y + nz = < mx + y z = 1 (c) x 5y nz = 0.1X Ache o lugar geométrico dos pontos P (x; y; z) eqüidistantes de A ( ; 1; ) e B (; ; ).1W Em cada caso, determine a equação do plano que atende às condiçoes especi cadas.

4 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS MARIVAL P MATOS 17 (a) Contém o ponto A (1; ; 4) e é paralelo ao plano xz (b) Contém o ponto B (; ; 1) e é paralelo ao eixo y e ao eixo z (c) Contém os pontos A (1; 1; ) e B (; 1; 1) e é perpendicular ao plano x y + z = 5 (d) Contém o ponto A (1; ; ) e é perpendicular aos planos x y + z = 0 e x + y + z = 1. Equações da Reta.A Determine as equações dos eixos coordenados na forma paramétrica e como interseção de dois planos..b A reta l passa no ponto A (1; ; ) e é paralela ao vetor ~v = ~i ~j + ~ k. Determine as equações da reta l nas formas (i) vetorial, (ii) paramétrica e (iii) simétrica..c Determine as equações paramétricas da reta que passa nos pontos A (0; ; ) e B (5; 0; 6).D Considere a reta de equação vetorial equações da reta na forma (i) simétrica e (ii) paramétrica. OP =~i + ~j + ~ k + t(~i ~j + ~ k); t R. Escreva as.e Determine a equação vetorial do segmento de reta que une os pontos A e B.F Descreva a reta x = s; y = 4; z = s como interseção de dois planos.g Obtenha as equações paramétricas e vetorial da reta l x 1 = 5y + 4 = 6z + 9.H Em cada caso, obtenha um vetor unitário paralelo à reta r. (a) r x = 1 t; y = 5 + t; z = + 4t (b) r x 1 = z=7; y =.I Determine as equações da reta que passa pela origem e é perpendicular às retas r 1 x = + t; y = + 5t; z = 5 + 6t r x = 1 + s; y = s; z = 7 + s.j Seja r a reta interseção dos planos 1 x + y + z = 0 e x + y z = 4. Descreva a reta r na forma paramétrica..k Determine as equações paramétricas da reta r paralela aos planos x + y + z = 1 e x + y z = 0 e que passa no ponto A ( 1; 1; 0).

5 1 RETAS & PLANOS CAP..L Decomponha o vetor ~v = ~i + ~j + ~ k nas direções ~a e ~ b, sendo ~a e ~ b, respectivamente, paralelo e perpendicular à reta r x = 1 y = z + 1.M Sejam r 1 a reta interseção dos planos x + y + z = e x + y z = 4 e r a reta de equações paramétricas x = 1 + ; y = 5 6; z = 1 Determine o plano que contém as retas r 1 e r.n Determine as equações paramétricas da reta r que passa no ponto A (1; ; 1), é paralela ao plano x + y = 5 e perpendicular ao vetor ~v = ~j + ~ k.. Posições Relativas interseções, ângulos e distâncias.a Descreva, de modo sucinto, como você decide quando duas retas são (a) coincidentes (b) paralelas (c) concorrentes (d) reversas..b Em cada caso, veri que se as retas r 1 e r são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Determine o ângulo e, caso exista, a interseção entre elas. (a) r 1 x = 1; y = t; z = 1 r x = s; y = 0; z = 1 (b) r 1 x = z 7 ; y = 4 r x 6 = z 4 14 ; y = (c) r 1 x = 1 + t; y = + 5t; z = + 7t r x = 7 + 6s; y = s; z = s (d) r 1 x + 1 = y 1 ; z = 5 r x = 1 + 4s; y = 5 + s; z = + s (e) r 1 x = 1; y = s; z = 5 + s r x = 4 + 5t; y = + t; z = + t.c Em cada caso, estude a posição da reta r em relação ao plano. Determine o ângulo entre r e e, caso exista, o ponto onde a reta fura o plano. (a) r x = + 15t; y = 5 9t; z = 0 x + 5y = 1 (b) r x = y = z x = 5 ; y = 1 + 4; z = + 4 (c) r x = s; y = 1 + s; z = 1 + s x = 1 4; y = + ; z = 1 + (d) r OP = (1; ; ) + t (; 1; 1) x y 4z + 5 = 0.D Em cada caso, dertermine a posição relativa e o ângulo entre os planos 1 e.

6 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS MARIVAL P MATOS 19 (a) 1 x + y z = 1 x 5y + z = 4 (b) 1 x + y + z = 1 x + 4y + 6z = (c) 1 x y + 6z = 6 x = ; y = z = (d) 1 x + 6y + z = 7 x + 4y + z = 14.4 Interseção de Planos Representemos por ~n ; ~n e ~n os vetores normais aos aos planos ; e ; respectivamente. (1) Quando [~n ; ~n ; ~n ] 6= 0, então os planos ; e se interceptam em um único ponto, cujas coordenadas podem ser encontradas pela Regra de Cramer, por Escalonamento ou qualquer outro método. () No caso em que [~n ; ~n ; ~n ] = 0 e os três planos ; e não são paralelos (nem coincidem) então ou eles se interceptam segundo uma reta ou eles não têm ponto em comum. Para decidir, nesse caso, sobre a interseção dos planos proceda do modo seguinte primeiro encontre, caso exista, a reta r interseção entre dois deles, por exemplo, entre e e, depois, veri que se essa reta está contida no plano. Caso a rmativo a reta r será a interseção dos planos. As guras.1 e. correspondem ao caso em que os três planos se interceptam, enquanto as guras. e.4 ilustram situações onde não há ponto comum aos três planos, embora exista uma reta comum a dois deles. Fig..1 Fig..

7 0 RETAS & PLANOS CAP. Fig.. Fig..4.E.4A Discuta e determine, caso exista, a interseção entre os planos 1 ; e. (a) 1 x + y + z = 0 x + y + z = 1 x + y + z = (b) 1 x + y 4z = 0 x y = 0 x + y 6z = 0 (c) 1 x + y z = 0 x + 4y z = x y + z = 0 (d) 1 x + y + z = 0 x + 4y z = 1 x + y = 0 (e) 1 x + y + z = 0 x + y z = 4 x + y + z = 0 (f) 1 x y + z = 1 x + y + z = 1 6x + y + z = 0.4B Estude as interseções da reta r x = + t; y = 1 + 5t; z = t com os planos e eixos coordenados..4c Determine as interseções do plano x + y z = 5 com os eixos e com os planos coordenados..4d Mostre que as retas r 1 x = + t; y = 1 + t; z = t e r x paralelas e determine o plano que as contém. = y 1 = z + 1 são.i Mostre que as retas r 1 x determine o plano que as contém. = y 1 = z e r x 5 = y 1 = z são concorrentes e.j Considere a reta r x + 1 = y m = z + e o plano x y + 6z + 7 = 0 Determine, caso exista, o(s) valor(es) de m de modo que (a) r seja paralela a ; (b) r esteja contida em ; (c) r intercepte em um ponto..k Determine os valores de m e c para que a reta r x m = y + 1 = 5 z e o plano 4 x y + cz + 1 = 0 sejam perpendiculares e encontre o ponto onde a reta intercepta o plano.

8 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS MARIVAL P MATOS 1.L Considere a reta r 1 x = + t; y = t; z = t Determine duas retas r e r, de modo que r 1 e r sejam reversas e r 1 e r concorrentes..m Calcule a distância do ponto A (1; ; ) ao plano que passa pelos pontos B ( 1; 0; 0), C (1; 0; 1) e D ( ; ; 0).N Considere o ponto A (1; ; 1) e determine o ponto B; simétrico de A; em relação (a) à origem (b) à reta r x = 1 + t; y = t; z = 1t (c) ao ponto B (; 1; 1) (d) ao plano x + y z + 1 = 0.O Seja r a reta determinada pela interseção dos planos 1 x+y z = 1 e x y+z = 0. Encontre a reta que passa pelo ponto A (1; 0; 1) e intercepta r ortogonalmente.p Uma reta r jaz no plano x y + z = 7, passa no ponto A (; ; 1) e é ortogonal à reta l x = 1 + t; y = 1 + t; z = 1 + t. Ache as equações da reta r e sua distância à origem..q Determine a reta r que passa no ponto A (1; ; 1) e intercepta as retas reversas r 1 x = 1 + t; y = + t; z = t e r x = + s; y = 1 + s; z = s.56 Determine o lugar geométrico dos pontos P (x; y; 0) que satisfazem à equação x y = 0 < x y + z 6 = 0.57 Considere a reta r x y 1 = 0 da reta r mais próximo de P 0 e calcule dist(p 0 ; r) e o ponto P 0 (1; ; 1). Determine o ponto P 1.5 Veri que que a reta r x = y + = z está contida no plano x y + z = 6.59 Encontre dois planos ortogonais cuja interseção é a reta r x = 1 t; y = 1+9t; z = 7t.60 Seja o plano z = 0 e determine dois planos não paralelos e tais que (i) \ 6=? e \ 6=? e (ii) \ \ =?.61 Encontre a reta r que passa no ponto P 0 (; 6; 4), intercepta o eixo z e é paralela ao plano x y + 5z = 6

9 RETAS & PLANOS CAP..6 Sejam A; B e C as interseções do plano 4x + y + z = 16 com os eixos coordenados. Calcule a área do triângulo ABC.6 Determine a equação do plano que passa nos pontos A (1; ; 1) e B (1; ; ) e faz com o plano x + y + z = 11 um ângulo de = rad.64 Calcule a altura do tetraedro de vértices A (1; 6; ) ; B (; ; 0) ; C ( ; ; 4) e D (0; 6; 0), baixada do vértice A.65 Dado um ponto P 0, a equação n P 0 P = 0 representa o plano que passa por P 0 e é normal ao vetor ~n. Identi que o lugar geométrico descrito pela desigualdade n P 0 P > 0.66 Determine sob que condições os pontos P 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) e P (x ; y ; z ) estão do mesmo lado do plano ax + by + cz + d = 0.67 Veri que que os planos 1 x + y z = 1 e x 4y + z = 10 são paralelos e encontre o plano eqüidistante de 1 e o eixo x..6 Determine o plano que contém os pontos A (1; ; ) e B ( ; 1; 1), mas não intercepta.69 Considere a reta r x = x 0 + at; y = y 0 + bt; z = z 0 + ct. Interprete geometricamente as condições abaixo impostas à reta r (a) x 0 = y 0 = z 0 = 0 (b) a = 0 (c) a = 0 e b = 0 (d) 5a b + 7c = 0.70 Se ; e são os ângulos diretores de um vetor unitário ~u, mostre que a equação do plano que contém o ponto P 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) e é normal ao vetor ~u é (x x 0 ) cos + (y y 0 ) cos + (z z 0 ) cos = 0.71 Interprete geometricamente as condições abaixo impostas ao plano ax+by+cz+d = 0 (a) a = 0 (b) b = 0 (c) c = 0 (d) a = 0 e b = 0 (e) d = 0.7 Considere os pontos A (; 4; 6) ; B ( 4; ; ) e C (1; 1; 0). Determine a mediatriz do segmento AB, que passa no ponto C

10 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS MARIVAL P MATOS a 9..7 Ache o lugar geométrico dos pontos P (x; y; z) cuja distância ao plano x y = 0 é igual.74 Determine o baricentro do triângulo de vértices A ( 1; ; 4) ; B (4; ; 7) e C (; ; ).75 Determine de modo que o ângulo entre as retas r 1 x = 1 + t; y = 1 + t; z = 5t e r x = 1 + t; y = t; z = 1 + t seja =4..76 Determine, na forma paramétrica, as retas interseções do plano x + y + z = 1 com os planos coordenados. Esboce no 1 o octante o plano e destaque as interseseções..77 Encontre o ponto do plano x + y z + 6 = 0 mais próximo do ponto A (1; 1; ).7 Veri que que as retas r 1 x + 1 são coincidentes. = y = z e r x = t; y = 14+5t; z = t.79 Determine condições para que a reta r 1 x = mz + p; y = nz + q esteja contida no plano ax + by + cz + d = 0.0 Considere as retas r 1 x = 1 t; y = 1+t; z = t e r x = t; y = 1+t; z = t Acompanhe pela gura.5 abaixo a resolução de cada ítem a seguir. (a) Para a reta r i ; i = 1; ; selecione um ponto P i e um vetor paralelo (diretor) ~v i ; (b) Veri que que ~v 1 ~v 6= ~0 e r 1 \ r =? Deduza que as retas r 1 e r são reversas; (c) Encontre o plano que contém a reta r e é paralelo à reta r 1 ; (d) Encontre o plano que contém o ponto P e é paralelo aos vetores ~v e ~v 1 ~v ; (e) Determine o ponto A 1 de interseção da reta r 1 com o plano ; (f) Encontre a reta l que passa pelo ponto A 1 e é paralela ao vetor ~v 1 ~v. Deduza que l é ortogonal às retas r 1 e r ; (g) Determine o ponto A de interseção da reta l com a reta r ; (h) Veri que que A 1 A = Proj ~v1 ~v P 1 P ; (i) Considerando que a distância entre as retas r 1 e r é, por de nição, o número real dist (r 1 ; r ) = jja 1 A jj, deduza a seguinte fómula para a distância entre duas retas reversas P 1 P (~v 1 ~v ) dist (r 1 ; r ) = (.1) k~v 1 ~v k

11 4 RETAS & PLANOS CAP. Nota A fórmula da distância (.1) se aplica, também, no caso em que as retas são concorrentes. Nesse caso, é claro, dist (r 1 ; r ) = 0

12 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS MARIVAL P MATOS 5 Respostas e Sugestões.1 V, V, F, V, V, F, V, F, F, V. De cima para baixo, a seqüência é 7, 4,,, 10, 6, 1, 9, e 5. (a) o ponto A é obtido com = 0 e = 0; (b) com = 1 e = 0, obtemos B (; ; ) e com = 0 e = 1 obtemos C (6; ; 1) ; (c) AB = ~i + ~j + ~ k e AC = ~i ~ k; (d) x 5y + z + 6 = 0.4 x y + z 4 = 0 ou x = + ; y = 1 ; z =.5 x y + z + = 0; B = e C.6 Dados A, B, C, D e E em, construímos AB ~v 1 = jj ABjj ; ~v = AC jj ACjj ; ~v = AD e ~v 4 = 4 AE jjadjj jj AEjj.7 x 4y = 0. (a) qualquer ponto do tipo (1; y; z) está no plano; (b) ~n = ~i.9 x = ; y = + ; z = ; ou x y + z = x y + 7z 40 = 0.11 m = e o plano não passa pela origem. Um plano que contém a origem é do tipo ax + by + cz = 0.1 Dado ax + by + cz + d = 0, seja ~v = (a ~i + b~j + c ~ k) p.1 ~n = 15 a + b + c 5 ( ~i ~j + 5 ~ k).14 x y z = 6.15 ~u = 1 p 5 ( ~i 5~j + 4 ~ k), ~v = 1 p 5 ( ~i + ~ k) e ~w = 1 ( ~i ~j ~ k).16 y + 4z + 10 = 0.17 x = + ; y = 5; z = ; ou 5x + y z = 0.1 x y = 0.19 x 4y + z + 15 = 0.0 (a) perpendiculares (b) paralelos.1 (a) m = 6 (b) m + n = 9 (c) 7m n =. (a) m = ; n = 4 (b) m = =; n = (c) m = 6=5; n = 10=. o plano 4x y + 5z = 4 que passa no ponto médio e é ortogonal ao segmento AB.4 (a) y + = 0 (b) x = 0 (c) 9x y 4z 0 = 0 (d) 7x y 5z + 10 = 0.5 eixo x x = t; y = 0; z = 0; eixo y x = 0; y = t; z = 0; eixo z x = 0; y = 0; z = t. O eixo x pode ser visto como interseção dos planos y = 0 e z = 0.6 (i) OP = OA + t~v; (ii) x = 1 + t; y = t; z = + t (iii) x 1 = y = z.7 x = 4t; y = t; z = +t. (i) x 1 = y = z (ii) x = 1+t; y = t; z = +t.9 OP = OA + t AB, 0 t 1 ou P = (1 t) A + tb; 0 t 1.0 x + z = 6; y = 4.1 x = 1 + t; y = t; z = 1 6 t ou OP = (1; 4=5; =) + t(~i + ~ 1 5 j ~ 6 k). (a) ~v = 1 p 1 ( ~i + ~j + 4 ~ k) (b) ~v = 1 5 p ( ~i 7 ~ k). x = 4t; y = 16t; z = 14t.4 r x = 4t; y = 1 + t; z = 1 + t.5 r x = 1 4t; y = 1 + 4t; z = 0.6 ~v = ( 7 ~ i ~ j 14 ~ k)+( 10 7 ~ i ~ j ~ k).7 x+5y+17z 16 = 0. r x = 1 t; y = + t; z = 1 t.9 Usar os vetores diretores e a distância.40 (a) concorrentes em A (1; 0; 1) e (r 1 ; r ) = = (b) concorrentes em A (1; ; ) e cos(r 1 ; r ) = p (c) paralelas (d) reversas e cos(r 1 ; r ) = p 145 ; (e) concorrentes em A (1; 5; 1) e cos(r 1 ; r ) = p

13 6 RETAS & PLANOS CAP. (a) r ; (b) r? ; A (; ; ), (c) r==; (d) r==.4 (a) ortogonais, com reta comum r x = t; y = t; z = t; (b) cooincidentes; (c) paralelos; (d) paralelos..4 (a) P ( ; 1; 1) ; (b) x = t; y = t; z = t; (c) não há interseção; (d) não há interseção; (e) não há interseção; (f) não há interseção.44 a reta intercepta os planos xy; xz e yz, respectivamente nos pontos A (7; 9; 0) ; B( 17 5 ; 0; 9 5 ) e C(0; 17 ; 7 ). Não há interseção com os eixos coordenados..45 o plano intercepta os eixos x; y e z, respectivamente, nos pontos A (5=; 0; 0) ; B(0; 5=; 0) e C(0; 0; 5); A interseção com o plano xy é a reta r 1 x = 5 t; y = t; z = 0; com o plano xz a reta r x = t; y = 0; z = t; e com o plano yz a reta r x = 0; y = t; z = t.46 x 4y + z = x 4y 7z = 11.4 (a) m = 5; m; (c) m 6= 5.49 m = 6; c = 1; A( 1; 1; 4).50 r x = t; y = 1 + t; z = t; r 1 x = ; y = t; z = t.51 dist (A; ) = 4= p 46.5 (a) B ( 1; ; 1); (b) B (5; 0; ); 4 (c) B (5=; 4=; 5=); (d) B ( ; 0; 1).5 x = 1 5 t; y = 4 5 t; z = t.54 x = 5t; y = t; z = 1 + t; dist (O; r) = q x = 1; y = + t; z = 1 + t.56 As retas r 1 x y = 0; z = 0 e r x+y = 0; z = 0.57 P 1 ; 5 ; 7 ; dist (P0 ; r) = p 4=.59 7x + z + 7 = 0; 1x + 5y 6z + 71 = 0.60 y = 0 e y + z = 1.61 r x = t; y = 6t; z = 1 4t x p 15y + p 15z = 5 p =7.65 o conjunto dos pontos do lado do plano para o qual ~n aponta.66 as expressões ax 1 + by 1 + cz 1 + d e ax + by + cz + d devem ter o mesmo sinal.67 x + y z =.6 y z = 1.69 (a) passa pela origem; (b) perpendicular ao eixo x; (c) paralela ao eixo z; (d) perpendicular ao vetor 5~i ~j + 7 ~ k.71 (a) paralelo ao eixo x; (b) paralelo ao eixo y; (c) paralelo ao eixo z; (d) paralelo ao plano xy; (e) passa pela origem..7 x = 1 + t; y = 1; z = 4 4t.7 os planos x y = 9 p.74 (5=; =; 19=).75 = 4 ou = 5.77 (4=11; 10=11; 40=11).79 ap+bq+d = 0 e am+bn+c = 0.0 (b) 1 (1; 1; ; ) ; ~v 1 = ~i+~j ~ k; (0; 1; ) ; ~v = ~i+~j ~ k (c) x+7y +z = 1 (d) 4x 9y + 1z +17 = 0 (e) A 1 ( ; 15 (g) A ( 0 59 ; ; 7 59 ) 59 ; 4 59 ) (f) x = t; y = t; z = 4 59 t