3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2).

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1 Lista II: Retas, Planos e Distâncias Professora: Ivanete Zuchi Siple. Equação geral do plano que contém o ponto A = (,, ) e é paralelo aos vetores u = (,, ) e v = (,, ).. Achar a equação do plano que passa pelos pontos P = (,, ) e Q = (,, ) e tem a direção do vetor v = i + k.. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (,, ), B = (,, ) e C = (,, ). 4. Obter a equação segmentária do plano α : x + y 4z 4 =. 5. Obter os pontos de intersecção do plano x + y 4z + 5 = com os eixos coordenados. 6. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A = (,, ) e que corta os eixos coordenados em segmentos iguais. 7. Equação geral do plano que intercepta os eixos y e z em segmentos de comprimento e e passa pelo ponto A = (,, ). 8. Determinar o volume do tetraedro limitado pelo plano x + y + z 6 = e pelos planos coordenados. 9. Equação geral do plano que contém o ponto P = (,, ) e que seja ortogonal ao vetor n = (,, 5).. Determine um vetor unitário perpendicular ao plano x + y z + 5 =.. Dado o plano α : x + y + z =, pergunta-se se os pontos A = (,, ) e B = (,, ) pertencem a α.. Obter a equação do plano que passa por P = (,, ) e Q = (,, ) e seja paralelo ao eixo y.. Calcular a equação do plano passante por P = (,, ) e paralelo ao plano xy. 4. Plano que contém o eixo x e o ponto A = (,, ). 5. Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A = (,, ) e B = (,, ) e que seja paralelo ao eixo x. 6. Achar m para que o ponto A = (m,, ) pertença ao plano x + y z + 5 =. 7. Nas guras abaixo, determine as equações dos planos, sabendo-se que: (a) α é paralelo ao plano yz; (b) α passa por P e contém o eixo z; (c) α é paralelo ao eixo y. 8. Achar a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular ao vetor u = (,, ).

2 Figura : Exercío 7 9. A gura abaixo representa um galpão. Os números representam as dimensões do galpão. Determine: (a) equações dos planos que contêm os telhados e paredes; (b) o volume do galpão. Figura : Exercío 9. Calcular a e b para que os planos x+y + = e (a )x+6y +(b )z +5 = sejam paralelos.. Determinar k para que os planos x + z = e x + y + kz + = sejam ortogonais.. Equação do plano que contenha P = (,, ) e seja paralelo a α : x + y z + 5 =.. Equação do plano que passa pelo ponto A = (, 5, ) e é: (a) paralelo ao plano α : x + y z + = ; (b) ortogonal aos planos α : x + y + z = e α : x y + z = 4. Obter o plano que contém P = (,, ) e é ortogonal aos planos α : x + y z + 5 = e α : x + y + z + =. 5. Obter a equação do plano que passa pelos pontos P = (,, ) e P = (,, ) e é ortogonal ao plano α : x + y z + =.

3 6. Equação geral do plano que passa pelos pontos A = (,, 5) e B = (,, ) e é perpendicular ao plano α : x + y z 7 =. 7. Obter a equação do plano perpendicular ao plano xy e que contenha os pontos A = ( 4, 7, ) e B = (,, ). 8. Determinar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P = (,, ) sobre o plano α : 4x z + =. 9. Achar a projeção ortogonal do ponto A = (,, ) sobre o plano α : x + y + z 4 =.. Dado o ponto P = (, 6, ) e um plano α : x + y + z =, achar o ponto P, simétrico de P em relação a α.. Obter a equação do plano que contém a reta: r : eixo das abscissas. { α : x + y z + = α : x y + z + 5 =. Pede-se a equação do plano que passa pela origem e que contém a reta r : e seja paralelo ao { x + y z 8 = x + z + 4 =. Calcular a equação do plano que contém a reta r : π : x + z =. { x + y + z = y + z = e é perpendicular ao plano 4. Determinar a equação do plano que passa pela reta de interseção dos planos x y z + = e x + y z + = e é perpendicular ao plano yz. { x + y = 5. Equação do plano determinado pelo ponto A = (,, ) e pela reta r : x + z = 6. Dado o feixe de planos: x + y z λ(x + y 5z + ) = pede-se a equação do plano pertencente ao feixe e que passa pela origem do sistema cartesiano. 7. Os planos α : 6x 5y + z 8 =, α : x y z + = e α : 6x + y 5z = se interceptam em um único ponto P. Determine-o. 8. Calcular a distância do ponto P (,, ) ao plano α : x + y z + =. 9. Os planos α : x + y + z 4 = e α : x + y + z = são paralelos. Determinar a distância entre eles. 4. Achar o ponto do eixo das cotas equidistantes do ponto A = (,, ) e do plano x+y+6z 9 =. 4. Obter as equações dos planos paralelos ao plano x + y z + = e que distam unidades da origem. 4. Quais os valores de k para que o plano x + y z + k = diste da origem 4 unidades? 4. Encontrar um ponto do eixo y cuja distância ao plano x + y z = é de unidades. 44. Dados os planos α : x + y z = e α : x y + z 5 =, obter: (a) a equação dos planos bissetores; (b) o ângulo agudo entre os planos α e α.

4 45. Determinar o valor de k para que seja de 6 o o ângulo entre os planos α : kx + y + z + = e α : x y + z + =. 46. Escrever as equações dos planos que contém a reta r : α : x + y + z = um ângulo de 6 o. { x z = y = e que formam com o plano 47. Calcular o ângulo entre o plano coordenado yz e o plano x + y + z =. 48. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = (,, ) e é paralela ao vetor v = (, 4, ). 49. Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A = (,, ) e B = (5,, ). 5. A reta r passa pelo ponto P = (,, ) e tem a direção do vetor v = i + j k. Determinar as equações reduzidas de r (com variável independente x). 5. Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P = (, 4, 5) e Q = (,, ). x = + t 5. São dadas as equações paramétricas de r : y = + t. Obter as equações simétricas de r. z = 5t 5. Vericar se os pontos P = (4,, ) e Q = (,, ) percentem à reta r : = z = z+ 54. Determinar o ponto da reta r : diretor de r. x = + t y = + t z = 4 t que tenha ordenada 5.. Pede-se também o vetor 55. O ponto A = (, x, y) pertence à reta determinada pelos pontos P = (,, ) e Q = (,, ). Achar A. 56. Complete: (a) A reta = y = z+ (b) A reta x+ = y+ = z (c) A reta x+ = y (d) A reta r : é paralela ao plano: é paralela ao eixo:, z = é paralela ao plano: x = y = + t z = é paralela ao eixo: 57. Dada e reta r como interseção de dois planos, obter a sua equação simétrica. Dada r : 58. Pede-se a equação simétrica de s : { x y + z + = 4x + y 5z + =. { x + y + z = x + y z = 59. Equação do plano que contém a reta r e o ponto A. Dados A = (,, ) e r : x = y + = z. { x + y = 6. Obter a equação do plano determinado pelo ponto A = (,, ) e pela reta r : x + z = 4

5 6. Achar a equação do plano α e que concomitantemente: (a) passe pelo ponto A = (,, ); (b) seja paralela à r : x = y = z+ ; (c) seja perpendicular ao plano β : x + y z + =. 6. Encontrar a projeção da reta r : x = y = z sobre o plano coordenado xy. 6. Calcule as medidas dos ângulos que a reta r : x 5 = y = z 6 forma com os eixos coordenados. 64. A reta r passa pelo ponto A = (,, ) e forma com os eixos x, y e z respetivamente ângulos de 6 o, 9 o e o. 65. Achar a reta r obtida pela interseção do plano α : x + y + 4z = com o plano xy. 66. Equação do plano que contém o ponto A = (,, ) e é paralelo às retas: r : s : { x = z y = z + x = + t y = + t z = e 67. Num cubo são conhecidos 4 de seus vértices: P = (,, ), P = (, 4, ), P = (, 4, ) e P 4 = (,, ). Determine os pontos onde a reta r : = y = z fura o cubo. 68. Achar o ponto P em que a reta r : { x + y + z = x + y z = intercepta o plano coordenado xy. 69. Dada a gura abaixo, onde o plano α é paralelo ao eixo z e o plano β é paralelo ao plano xy. A reta r é a interseção de α e β. Pede-se: (a) equações simétricas de r; (b) equação do feixe de planos por r. Figura : Exercío Equação da reta que passa por P = (,, ) e é paralela à reta r : x+ = y = z. 5

6 { { x + y + = x + y + = 7. Provar que as retas r : x y + z = e s : x y + 6z + = são paralelas. 7. Determinar as equações simétricas da reta r sabendo-se que passa pelo ponto P = (, 5, ) e é concomitantemente ortogonal ao eixo x e à reta s : = y = z+. { x = + t y = kx + 7. Calcular k para que as retas r e s sejam ortogonais. Dadas: r : e s : y = t z = x z = t 74. Provar que as retas r e s são coplanares. Dadas: r : = y = z+ 75. Calcular m para que as retas r e s sejam coplanares. Dadas: r : e s : x = y+ = z+ x = t y = + t z = t + e s : { y = mx + z = x 76. As retas r e r são coplanares. Achar a equação do plano que as contém. Dadas: r : x+ y = z e r : x+5 4 = y+ = z 77. Achar a equação do plano que contém as retas = y = z+ e x = y+ = z+ 78. Obter as equações { simétricas { da reta r que passa pelo ponto A = (,, ) e que intercepta as y = y = x + retas r : z = x + e r : z = 79. Equações { simétricas da reta{ que passa por P = (,, ) e que intercepta as retas r e s. Dadas: x z = x z + = r : y z + = e s : y z = = 8. Achar o ponto de interseção da reta r com o plano α. Dados: x+ r : x 5y + z =. = y+4 = z e α : 8. Econtrar as coordenadas do ponto de interseção de α : x+y+4z = com a reta determinada pelos pontos P = (,, ) e P = (, 4, ). 8. As retas r : = y = z+ coordenadas de P. x e s : = y+ = z+ se interceptam num ponto P. Achar as 8. Calcular o ponto de interseção das retas r : x = y = z+ x e s : = y { x + y + z + = 84. Achar o ponto de interseção de r e r. Dadas r : e r x + z = : = z. { y + = y + z = 85. Calcular as equações simétricas da reta s que passa pelo ponto A = (,, ) e é ortogonal à reta r : x = y = z. { x z + 6 = 86. A reta r passa por P = (,, ) e é ortogonal à reta s :. Achar o ponto de y 5z + 4 = interseção de r e s. 87. Dados o ponto P = (,, ) e a reta t : = y+ = z, obter: (a) a reta r que passa por P e intercepta ortogonalmente a reta t; (b) o ponto de interseção de r e t; 6

7 (c) a distância do ponto P à reta t. 88. Achar o ponto A simétrico de A = (,, 6) em relação à reta r : x = y = z A interseção das retas r : x = y+ = z e s : distância do ponto P ao plano α : x y + z =. = y+ = z é o ponto P. Determine a 9. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r : e r : x = t y = t z = + t 9. Vericar se a reta r : = y+ = z e é, ao mesmo tempo, perpendicular a r e r. é paralela ao plano α : x z + =. x = + t y = + t z = t 9. Obter a equação da reta que passa por P = (,, ) e é ortogonal ao plano α : x + 4y + =. 9. Determinar a equação do plano ortogonal ao segmento de extremidades P = (,, ) e Q = (,, 4) em seu ponto médio. 94. Achar o ponto P simétrico de P = (,, ) em relação ao plano α : x z + =. 95. Calcular as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = (,, 5) e é paralela aos planos α : x + y + z + = e α : x z + =. 96. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto P = (, 5, ) e é paralela aos planos x + y z + = e x + y + z + 4 =. 97. Determinar a distância da reta r ao plano α, sendo: r : = y+ = z 98. Obter as equações da reta r tais que: (a) passe por P = (,, 5); (b) seja paralela ao plano α : x z + = ; { x = z (c) intercepte a reta s : y = e α : 4x y z + =. 99. Equação da reta r que passa pelo ponto A = (,, ), é paralela ao plano α : x + y + z = e ortogonal à reta s : x = y = z. x. Provar que a reta r está contida no plano α. Dados r : = y = z e α : 4x y + 5z 5 =.. O plano α é determinado pelos pontos A = (,, ), B = (,, ) e C = (,, ). A reta por x = + t r : y = + t. Sabendo-se paralelos r e α, calcular a distância entre a reta e o plano. z = + t. Achar a equação do plano que passa pela reta r : x+ = y = z+ 7. { x + y z + = x + y + = e é paralelo à reta s :. Obter as equações simétricas da reta r situada no plano α : x + y z + = e que intercepta ortogonalmente a reta s : = y = z+. 7

8 { x + y + z = 4. Calcular a distância do ponto A = (,, ) à reta r : x + y z = 5. Achar a distância do ponto A = (,, ) à reta determinada pelos pontos P = (4,, ) e Q = (,, ). 6. As retas r e r são paralelas. Determinar a distância entre elas. Dadas: r : x = y = z r : x+ = y = z 4. e 7. Obter as equações simétricas das retas que passem pelo ponto A = (,, ), distem do sistema cartesiano e sejam paralelas ao plano x y + =. 8. Dadas as retas r : x = y = z (a) a distância entre as retas r e r ; e r : = y = z (b) a reta n, perpendicular comum às retas r e r. calcular: da origem 9. Sendo r : { x + z = y = e r : { x y = z = calcular: (a) a distância entre as retas r e r ; (b) os pés da normal comum; (c) a normal comum às retas r e r.. Achar o ângulo entre as retas r : = y = z+ 7 e s : x+ = y+ = z. Pede-se o ângulo entre α : x + y + = e r : x+ = y = z+. Achar o ângulo que a reta r : { x + y z = x + 4y z + 5 =. forma com o eixo das cotas.. Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A = (,, ), seja paralela ao plano α : x z + = e forme um ângulo de π rad com o plano β : x + y z + 4 = Calcule o ângulo agudo que a reta r : = y = z 6 forma com o plano xy. 5. Calcular as equações das retas r passantes pelos pontos A = (,, ) e que interceptam a reta s : = y+ = z segundo um ângulo de 45o.. x y + z 9 =. y =. x + y z = 4. x + y + z = A = ( 5,, ) B = (, 5, ) C = (,, 5 4 ) 6. x + y + z = 7. x + y + z = Respostas 8

9 8. u.v. 9. x + y + 5z 7 =. (,, ) ou seu oposto.. A α e B / α.. x + z =. z = 4. y z = 5. y + z = 6. m = 5 7. (a) α : x = ; (b) α : x y = ; (c) α : x + z 4 =. 8. x y + z = 9. (a) (EIF H)y z + 4 = ; (IHDG)y + z 6 = ; (ABF G)x = ; (BCDG)y = ; (OEAF )y = ; (OEDC)x =. (b).6u.v.. a = 6 e b =. k =. x + y z =. (a) x + y z = (b) x + y z 4 = 4. x y + = 5. x + y + z 4 = 6. x y z + = 7. 4x + 5y 9 = 8. N = ( 5,, 9 5 ) 9. N = (,, ). P = (5, 8, ). y z =. 5x + y + z =. x y z + 6 = 9

10 4. y + z 7 = 5. x + y + 4z 5 = 6. 9x + 4y z = 7. P = (,, ) P = (,, ) ou P = (,, 8 ) 4. x + y z ± 9 = 4. ± 4. P = (,, ) ou P = (, 4, ) 44. (a) x y + 5z 4 = e 4x + y z 6 = (b) θ = arccos( 5 4 ) = 69o k = ± x ± 6y z ± 6 = 47. θ = arccos( ) 48. = y 4 = z 49. = y 4 = z 5. y = x+5 ; z = x+ 5. y = x 4; z = x 5 5. = y+ = z 5 5. P r e Q r 54. P = (7, 5, ) e r = (,, ) 55. A = (,, ) 56. (a) yz; (b) x; (c) xy; (d) y. 57. r : x = y = z 58. s : x = y = z 59. x + y z + 5 =

11 6. x + y + 4z 5 = 6. x 4y z + 8 = 6. r : x = y = z 6. cos α = 7 (α 7o ); cos β = 7 (β 65o ); cos γ = 6 7 (γ o ). 64. = y+ = z+ 65. x 6 6 = y 4 = z 66. x y 5z + = 67. P = (,, ) e P = (, 4, ) 68. P = (,, ) 69. (a) r : x = y = z 4 (b) x + y λ(z 4) = ou z 4 + λ(x + y 6) = 7. = y = z x =, y 5 = z 7. k = m = x 6y 5z + = 77. x y 4z 7 = x+ = y = z+ = y+ = z P = (,, ) 8. P = (,, 4 ) 8. P = (,, ) 8. P = (,, ) 84. P = (,, ) 85. = y+ = z (,, 4) 87. (a) r : x = y+ = z (b) N = ( 5,, 5 )

12 (c) d(p, t) = d(p, N) = A = (5,, 4) x = y+ 5 = z 9. A reta é paralela ao plano. 9. x = y = z 4 9. x y + z = 94. P = ( 4,, 5) 95. = y+ = z x = y 5 = z x+ = y+ 5 6 x = y 4 = z 5 = z... x + y z + 4 =. r : x+ = y+8 = z x = y = z ± 8. (a) d(r, r ) = (b) n : x = y = z 9. (a) d(r, r ) = 6 (b) N = ( 4,, ); N = ( 5,, ) (c) n : x 4/ = y. θ = π 4 rad.. ϕ = π rad. = z /. arccos. = y ± = z 6

13 4. ϕ = arccos o 5. x = y+ = z ou x = y+ = z

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