MATEMÁTICA MÓDULO 13 FUNDAMENTOS 1. INTRODUÇÃO 1.1. POSTULADOS PRINCIPAIS 1.2. DETERMINAÇÃO DO PLANO. Conceitos primitivos: ponto, reta e plano.

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1 FUNDAMENTOS 1. INTRODUÇÃO Conceitos primitivos: ponto, reta e plano POSTULADOS PRINCIPAIS Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida nesse plano. Se dois planos possuem um ponto comum, então possuem pelo menos algum outro ponto comum. Isso indica que a interseção de dois planos distintos que se interceptam é uma reta. Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma, reta paralela à primeira. (Euclides) 1.2. DETERMINAÇÃO DO PLANO Um único plano fica determinado por: a) Três pontos não colineares. b) Uma reta e um ponto exterior. c) Duas retas concorrentes. 1

2 d) Duas retas paralelas distintas. Determinação de um plano três pontos não colineares uma reta e um ponto fora dela duas retas concorrentes duas retas paralelas distintas 1.3. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS RETAS COPLANARES a) Concorrentes: um ponto de interseção b) Paralelas Coincidentes: infinitos pontos de interseção r s c) Paralelas Distintas: não há pontos de interseção 2

3 PROF. MATHEUS SECCO RETAS NÃO COPLANARES RETAS REVERSAS: não há pontos de interseção Posições relativas entre duas retas interseção coplanares concorrentes 1 ponto paralelas coincidentes toda a reta distintas vazia não coplanares reversas vazia 1.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO a) Reta e plano contidos: infinitos pontos de interseção. b) Reta e plano paralelos: não há pontos de interseção. 3

4 c) Reta e plano secantes: um único ponto de interseção. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UM PLANO contida todos os pontos da reta pertencem ao plano paralela não têm ponto em comum concorrente (ou secante) têm somente um ponto em comum 1.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS Posições relativas entre dois planos interseção paralelos coincidentes distintos todo o plano vazia secantes (ou concorrentes) uma única reta (traço) a) Planos paralelos coincidentes: a interseção é todo o plano. 4

5 b) Planos paralelos distintos: não há pontos de interseção. c) Planos secantes (ou concorrentes): a interseção é uma reta. r 2. PARALELISMO Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, eles não têm ponto em comum. TEOREMA: A condição necessária e suficiente para que uma reta não contida em um plano seja paralela a esse plano é que ela seja paralela a uma reta do plano. 5

6 Dois planos são paralelos se, e somente se, não têm ponto em comum ou são coincidentes. Por um ponto fora de um plano passa um único plano paralelo a esse plano. TEOREMA: A condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos, é que um deles contenha duas retas concorrentes, paralelas ao outro. r,s r e s concorrentes r e s Se dois planos são secantes e uma reta de um deles é paralela ao outro, então essa reta é paralela à interseção. 6

7 e secantes s s r s Se duas retas distintas são paralelas entre si e um plano paralelo à primeira contém um ponto da segunda, então esse plano contém a segunda. Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção desses planos. e secantes s r s e s Se dois planos são paralelos a um terceiro, então eles são paralelos entre si. Se dois planos paralelos entre si são interceptados por um terceiro, então as interseções são paralelas entre si. 7

8 r r s s 3. PERPENDICULARIDADE 3.1. RETAS ORTOGONAIS Ângulo entre retas reversas é o ângulo formado por duas retas concorrentes paralelas às retas dadas. Retas ortogonais são retas reversas que formam ângulo reto RETA E PLANO PERPENDICULARES Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, a reta é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano. 8

9 Se uma reta e um plano são perpendiculares, o traço (P) da reta no plano é o pé da perpendicular. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular ou ortogonal a qualquer reta do plano. Uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, é perpendicular (ou ortogonal) a duas retas concorrentes desse plano PLANOS PERPENDICULARES Um plano é perpendicular a um plano se, e somente se, contém uma reta perpendicular a. r r Por uma reta r não perpendicular a um plano, existe um único plano perpendicular a. Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular ao outro plano. 9

10 r r s Dois planos secantes são perpendiculares se, e somente se, toda reta de um deles, perpendicular à interseção, é perpendicular ao outro. Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha é perpendicular ao primeiro. Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à interseção desses planos. r 10

11 4. DISTÂNCIAS Distância entre dois pontos A e B Distância entre um ponto e uma reta Distância entre duas retas paralelas Distância entre ponto e plano Distância entre reta e planos paralelos Distância entre planos paralelos Distância entre duas retas reversas segmento de reta AB distância do ponto ao pé da perpendicular à reta conduzida pelo ponto distância entre um ponto qualquer de uma das retas e a outra reta distância entre o ponto e o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto distância entre um ponto qualquer da reta e o plano distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira PERPENDICULAR COMUM: dadas duas retas reversas, existe uma única reta que é perpendicular comum a essas retas. De todos os segmentos que têm extremidades em cada uma das retas reversas, o menor é o da perpendicular comum. Todo plano que passa pelo ponto médio de um segmento é equidistante das extremidades do segmento. 5. PROJEÇÃO ORTOGONAL Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano: é o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. Projeção ortogonal de uma figura sobre um plano: é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre o plano. Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano: 11

12 1. reta perpendicular ao plano: traço da reta sobre o plano 2. reta não perpendicular ao plano: A projeção ortogonal da reta r sobre o plano é o traço em do plano, perpendicular a, conduzido por r. plano de projeção plano projetante Projeção ortogonal de um segmento de reta AB sobre um plano, contido numa reta não perpendicular a esse plano é o segmento A B de onde A e B são as projeções ortogonais de A e B, respectivamente, sobre o plano. 6. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO O ângulo entre uma reta e um plano oblíquos é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano. O ângulo entre uma reta e um plano perpendiculares é reto. Se a reta é paralela ou está contida no plano, o ângulo entre a reta e o plano é nulo. Se uma reta é oblíqua a um plano e o intercepta em A, então o ângulo agudo de r com sua projeção ortogonal r sobre é menor que o ângulo agudo de r com qualquer outra reta de que passe por A. Se dois planos e são oblíquos, r é sua intersecção, e por um ponto P de, não pertencente a r, são conduzidas duas retas concorrentes a e b, sendo a perpendicular a r, então o ângulo entre a reta a e é maior que o ângulo entre a reta b e. Reta de maior declive de um plano em relação a outro: se dois planos e são oblíquos, toda reta de perpendicular à interseção dos planos é chamada reta de maior declive de em relação a. A reta de maior declive é a reta de que forma ângulo máximo com. 12

13 EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. Considere as seguintes afirmativas sobre pontos, retas e planos no espaço: I. Três pontos distintos determinam um único plano. II. Um ponto e uma reta determinam um único plano. III. Duas retas concorrentes determinam um único plano. IV. Duas retas paralelas determinam um único plano. Pode-se afirmar que: a) nenhuma das afirmativas é verdadeira. b) apenas uma das afirmativas é verdadeira. c) apenas duas das afirmativas são verdadeiras. d) apenas três das afirmativas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 2. Assinale a opção que apresenta a afirmativa INCORRETA. a) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. b) Duas retas que não possuem pontos em comum não são necessariamente paralelas. c) A reta interseção de dois planos perpendiculares a um terceiro é perpendicular a este. d) Dados uma reta e um ponto, existe apenas um plano perpendicular à reta que contém o ponto. e) Por uma reta não paralela e não perpendicular a um plano passa um único plano perpendicular a. 3. (EN-04) Analise as afirmativas abaixo. I. Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Duas retas ou são coplanares ou são reversas. IV. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. Assinale a alternativa correta. a) Apenas a afirmativa III é verdadeira. b) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. c) Todas as afirmativas são falsas. d) Apenas a afirmativa I é verdadeira. e) Apenas a afirmativa II é falsa. 13

14 4. (AFA-06) Considere as afirmativas abaixo: I. Se e são planos interceptando-se na reta re a retas é paralela a e a, então s também é paralela a r. II. Se uma reta intercepta um plano, existe um plano paralelo a que não é interceptado pela reta. III. Se dois planos são paralelos, toda reta contida em um deles é paralela ao outro plano. IV. Dois planos perpendiculares a um terceiro plano são sempre paralelos entre si. V. Se três retas têm um ponto comum, elas são coplanares. O número de afirmativas verdadeiras é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 5. Sejam as afirmações: I. Por um ponto passa uma única reta. II. Um ponto e uma reta determinam um único plano. III. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano. IV. Por um ponto situado fora de uma reta, existe uma reta paralela à reta dada. Podemos garantir que: a) apenas (III) é verdadeira; b) (I) e (II) são falsas; c) apenas (I) é falsa; d) apenas (II) e (III) são verdadeiras; e) apenas (III) e (IV) são verdadeiras. 6. Coloque V ou F nas assertivas abaixo: I. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto. II. Uma reta e um plano paralelos não têm ponto em comum. III. Se dois planos são paralelos então uma reta de um deles pode ser paralela a uma reta do outro. IV. Se um plano contém duas retas distintas paralelas a um outro plano então os planos são paralelos. a) apenas uma é verdadeira b) apenas duas são verdadeiras c) apenas três são verdadeiras d) todas são verdadeiras 14

15 7. Entre todas as retas suportes das arestas de um certo cubo, considere duas, r e s, reversas. Seja t a perpendicular comum a r e a s. Então: a) t é a reta suporte de uma das diagonais de uma das faces do cubo. b) t é a reta suporte de uma das diagonais do cubo. c) t é a reta suporte de uma das arestas do cubo. d) t é a reta que passa pelos pontos médios das arestas contidas em r e s. e) t é a reta perpendicular a duas faces do cubo, por seus pontos médios. 8. Na cadeira representada na figura a seguir, o encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão. a) Os planos EFN e FGJ são paralelos. b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH. c) Os planos HIJ e EGN são paralelos. d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG. e) as retas IJ e EF são reversas. 9. Marque a opção que indica quantos pares de retas reversas são formados pelas retassuportes das arestas de um tetraedro. a) Um par. b) Dois pares. c) Três pares. d) Quatro pares. e) Cinco pares. 10. Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um plano. c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano. e) Se é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s. 15

16 11. (AFA-96) Os planos e são paralelos. A reta r é perpendicular a e a reta s é perpendicular a. Pode-se concluir que r e s são: a) coplanares. b) reversas. c) ortogonais. d) perpendiculares. 12. (AFA-94) Se a reta r é paralela ao plano, r α, então: a) todas as retas de são paralelas a r. b) existem em retas paralelas e perpendiculares a r. c) a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de. d) existem em retas paralelas a r e retas reversas a r. 13. Nas proposições abaixo, coloque, na coluna da esquerda (V) quando a proposição for verdadeira e (F) quando for falsa. ( ) Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes. ( ) Se duas retas r e s do ( ) Duas retas concorrentes no 3 R são ambas perpendiculares a uma reta t, então r e s são paralelas. 3 R determinam um único plano. ( ) Se dois planos A e B são ambos perpendiculares a um outro plano C, então os planos A e B são paralelos. ( ) Se duas retas r e s no 3 R são paralelas a um plano A então r e s são paralelas. Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se: a) F F V F F. b) V F V F F. c) V V V F F. d) F V V F F. e) F F V V V. 14. O lugar geométrico dos pontos do espaço que eqüidistam de três pontos não colineares distintos é: a) uma reta b) um plano c) uma esfera d) um ponto e) vazio 16

17 15. Considere um triângulo equilátero ABC de lado 2k. O lado AB está contido na interseção dos planos 1 e 2. H 1 é a projeção ortogonal de C sobre 1 e H 2 é a projeção ortogonal de C sobre 2. Calcule CH 1 em função de k, supondo que o ângulo AHˆ 1B =

18 GABARITO 1. FALSA, pois se os pontos forem colineares, determinarão infinitos planos. FALSA, pois se o ponto pertencer à reta, serão determinados infinitos pontos. VERDADEIRA. VERDADEIRA. RESPOSTA: C 2. Opção Falsa (A), pois se uma reta é paralela a dois planos ela será paralela à interseção dos mesmos. RESPOSTA: A 3. I. FALSA, pois a reta e o plano têm um ponto comum e existem retas no plano que não passam por este ponto. II. FALSA, pois elas serão paralelas a retas do plano que não são necessariamente paralelas entre si. III. VERDADEIRA IV. FALSA, pois ela pode ser paralela à interseção dos planos. RESPOSTA: A 4. RESPOSTA B 5. I. Falsa: P 18

19 II. Falsa: quando o ponto pertencer à reta, existirão infinitos pontos P r III. Verdadeira: A B r IV. Verdadeira: P r s (E) RESPOSTA E 6. I. VERDADEIRA II. VERDADEIRA III. VERDADEIRA IV. FALSA Contraexemplo: Considere dois planos secantes e cuja interseção é a reta t. Tome em duas retas r e s distintas e paralelas a t. As retas r e s são paralelas ao plano. Logo, o plano contém duas retas distintas paralelas ao plano e os planos não são paralelos RESPOSTA: C 19

20 7. RESPOSTA: C 8. a) (F) os planos são perpendiculares b) (F) EF é o segmento que pertence à reta comum aos dois planos c) (F) não são paralelos pois têm pelo menos o ponto G como intersecção e não são coincidentes d) (V) EHG e EFN são dois planos perpendiculares e EF está sobre a reta comum e) (F) elas são paralelas, pois ambas são paralelas a HG. RESPOSTA: D 9. RESPOSTA: C 10. a) Falsa: pois se os três pontos forem colineares, haverá infinitos planos. b) Falsa: pois se o ponto pertencer à reta, existirão infinitos planos. c) Falsa: pois dois planos se interceptam em uma reta. d) Falsa: pois existirão retas reversas à reta dada no plano. e) Verdadeira RESPOSTA E 20

21 11. r s Como os planos são paralelos, qualquer reta perpendicular a um, também será perpendicular ao outro. Assim, as retas são paralelas e, com isso, coplanares. RESPOSTA A 12. RESPOSTA: D 13. RESPOSTA: B 14. RESPOSTA: A 15. RESPOSTA: 2k 6 3 AM k k 8k CH 1 k 3 k HM k 6 CH

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