I Lista Introodução a Planos

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1 Colegiado de Engenharia Elétrica Prof. Pedro Macário de Moura Geometria Analítica Discente CPF Turma I Lista Introodução a Planos 01. Determine a equação do plano que contém: a) O ponto A (, 0, - ) e é perpendicular ao vetor v = (5, 6, 2). b) O ponto (2,1,2) e tem vetor normal n = i c) O ponto (1,0,) e tem vetor normal n = k. d) O ponto (,2,2) e é perpendicular à reta x 1 y 2 z e) As retas x 1 y z 2 e x 2 y 1 z Determinar a equação do plano definido pelos pontos. Esboce o plano. a) A (, 1, - 2), B (5, 2, 1) e C (2, 0, 2). b) A (0, 0, 0), B (2, 1, 0) e C (1, 0, 0). c) A (2, - 1, ), B (0, 2, 1) e C (1,, 2) 0. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (1,, - 2) e B (, 5, ). 0. Determine a equação do plano que contém o ponto A (1, 1, 1) e é perpendicular ao vetor v = (2, -1, 8). 05. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto (, -2, ) e é perpendicular à reta de parâmetros diretores 2, 2, Escrever uma equação do plano: a) Paralelo ao eixo z e que contém os pontos (2,0,0) e (0,,2) b) Paralelo ao eixo y e que contém os pontos (2,1,0) e (0,2,1) c) Paralelo ao plano yz e que contém o ponto (,, -1) d) Perpendicular ao eixo z e que contém o ponto (1,1,1). 07. Determine uma equação do plano cujas interseções com os eixos de coordenadas são os pontos (,0,0), (0,-2,0) e (0,0,-). 1

2 08. Escrever a equação do plano p que passa pelo ponto (,1,-) e é paralelo ao plano x 2y + z 6 = Determinar a equação do plano que passa por (2,1,-1) e é perpendicular à reta x = - + t, y = 1 +2t, z = t. 10. Determinar a equação do plano que passa por (1,-,) e é paralelo aos vetores v = (,1,-2) e u = ( 1, -1, 1). 11. Estabelecer a equação do plano que contém a reta r : x =, y = e o ponto (-, 2, 1). 12. Verifique se os planos são paralelos ou ortogonais. Se não forem nem paralelos nem ortogonais, determine o ângulo entre eles. a) 5x y + z =, x + y + 7z = 1 b) x + y z =, 9x y + 12z = c) x y + 6z =, 5x + y z = d) x + 2y z = 7, x y + 2z = 0 e) x 5y z = 1, 5x 25y 5z = - f) 2x z = 1, x + y + 8z = Mostre que as retas x 2 y z 2 x 2y z 2 0 r : e s : são 1 x y 2z 1 0 concorrentes e determine uma equação geral do plano que contém essas retas. 1. Determinar a equação geral ( cartesiana) do plano que contém as retas x 1 2t y 2x 1 r : e s : y t z x 2 z 6t, t em R x y z 0 x y z Mostre que as retas r : e s : são 8x 2y z 1 0 x y z 5 0 paralelas e determine uma equação geral do plano definido por elas. 16. Qual a posição relativa entre R(t) = [5t, 2+t, 8] e 2x + y z = 0? 17. Apresente o vetor unitário, perpendicular a P(s, t) = [ 2 - t, 5 s + t, 5t + s ] e que forma um ângulo agudo com o eixo positivo OZ. 2

3 18. Determine a posição relativa entre e i j k 19. Qual a posição relativa entre 2x +y 5z =0 e T(t) = (2+t) i -7 j + t k? 20. Qual a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular à reta U(t) = [2-t, t, t-]? 21. Pelos pontos A(1,1,1), B(2,,) e C(,-2,1) passa um plano. Pelos pontos O(0,0,0), P(,,) e Q(-2,2,5) passa um plano. Determine a posição relativa entre estes planos. 22. Apresente as equações paramétricas das retas perpendiculares ao eixo OX que são paralelas ao plano 2x y + z =. 2. Qual a equação vetorial da reta que: passa pela origem; é perpendicular ao eixo OZ; é perpendicular à reta AB? x 2 y 1 2 z 1 2. Verificar se a reta r : é perpendicular ao plano : 9x 6y z 5 0 x 2 t 25. Verificar se a reta r : y 1 t está contida no plano : x y 2z 1 0. z 2t 26. Determinar a equação da reta intersecção dos planos :5x 2y z 7 0 :x y z Determinar o ponto de intersecção da reta : x 5y 2z 9 0. y z r : x com o plano Determine o ângulo formado: a) pelos planos x - 2y + z - 10 = 0 e x - y + z + 7 = 0. b) pelo plano x + 2y - z + 12 = 0 e a reta x = 2 - ; y = - + 2; z = 6 +. c) pelo plano 2x - 2y + z - 5 = 0 e a reta (x - 1)/2 = (y - 9)/- = z/. 29. Determine a equação do plano e o ângulo formado pelo plano definido pelos pontos (2, -1, 7), (6, 1, 6) e (,, -) e a reta que passa pelos pontos (0, 1, 1) e (2, 1, ).

4 0. Determine os valores de m e n para que a reta x = 2 -, y = 5 -, z = 8-8 esteja contida no plano 1. Para os conjuntos abaixo, dê a posição relativa da reta ou do plano em relação ao plano. 1. x - 2y + 6z - 10 = 0 e 6x - y + 12 z - 2 = x + y - z + = 0 e 2x + 2y + z - 5 = 0.. x - 2y + 6z - 10 = 0 e 6x - y + 12 z - 20 = 0.. 2x - y + z - 5 = 0 e x + y - 2z - 10 = x + 2y + z - 12 = 0 e (x - )/2 = (y + 1)/ = (z - )/6. 6. x + 2y - z + 1 = 0 e (x - 1)/5 = (x + 2)/2 = z/. 7. x + 2y - z + 1 = 0 e [x = 1 +, y = 1 +, z = Determine o ponto A', simétrico de A (1,,2) em relação ao plano : xy+z2 =0. RESP: R: A'(,2,). Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,) e B(,2,5) RESP: :x+z6=0. Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos 1: x 2y z1=0 e 2: x +2yz7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,1). RESP: : 9x+2y5z1=0 5. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada uma dos planos 1: 2x y z+1=0 e 2:x+y+z+5=0. RESP: x 1 2t y t x 7t 6. Determinar equação geral do plano,que passa ponto A(, 1, 0) e é perpendicular aos planos e - RESP: : 2x8y+ z=0 7. Determinar a equação do plano que contém o ponto A(,2,1) e a reta x 2y z 1 0. RESP: :2x+y+x+1=0 2x y z Determinar a equação do plano, que passa pelo ponto P(2, 5, ) e é perpendicular à reta r, interseção dos planos 1: x 2y + z 1 = 0 e 2:x + 2y z + 5 = 0. RESP: : 2x + y + z 1 = 0

5 UNIVASF 9. Dados os planos 1:2x + y z + 1 = 0, 2: x + y + z + 1 = 0 e : x 2y + z + 5 = 0, ache uma equação do plano que contém 12 e é perpendicular a. RESP: :x + y + z +1= 0 0. Dado o plano 1:2x+5y+z+=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x=0. RESP: : x Dado o ponto A(1, 1, -8) e o vetor normal n =(, 1, -1). Determine: a) a equação geral do plano π que passa por A; b) o ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada ; c) o ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2; d) o valor de k para que o ponto P(k, 2, k - 1) Є π; e) o ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota. 2. Determine a equação do plano mediador do segmento de extremos e. Resolver os exercícios dos livros da bibliografia abaixo 1. BOULO, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica um tratamento vetorial. ª ed. São Paulo: Pearson, REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. Geometria Analítica, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica, 2ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, ANTON, Cálculo Vol. 2, 10ª ed. Porto Alegre: Bookman, ESPINOSA, Isabel C. de O. Navarro; BARBIERI FILHO, Plínio. Geometria Analítica para computação. Rio de Janeiro: LTC, SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes: Uma introdução à álgebra linear, ª ed. São Paulo: Cengage Learning, STEWART, James. Cálculo Vol. 2, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 201 Bom estudo! 5

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