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1 . INTEGRAL MÚLTIPLA CÁLCULO :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::: INTEGRAIS UPLAS ITERAAS. Em cada caso abaixo, observe a região e escreva a integral dula integral iterada (reetida) de modo a obter o cálculo mais simles. f (x; y) da como uma. Calcule as seguintes integrais sobre as regiões retangulares: (a) Z 3 Z xy 8x 3 dydx (b) Z Z (x 3 ln y) dxdy (c) Z Z 3 jx j sen ydxdy: 3. Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. (a) (d) (g) (j) (m) Z Z jxj Z 3 Z x x Z Z x Z Z cos y Z Z x dydx xydydx x e y=x dydx (b) Z Z x (e) (h) x sen ydxdy x 3 xydydx (n) Z Z y y Z Z e x (k) cos x dydx sen xdxdy dydx (i) Z Z x Z Z x x sen ydydx 4. Inverta a ordem de integração e calcule: (c) (f) Z Z 3x+ x +4x Z = y Z 4 Z (y 4)= ydydx (o) dydx: Z y xydxdy: 4 y xydxdy: (l) Z Z = Z = Z 4 y (x cos y y cos x) dydx: 4 y ydxdy: (a) Z Z x e x dydx (b) Z Z y sen x 3 dxdy (c) Z Z y cos x dxdy:

2 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS 5. Em cada caso, esboce a região e calcule a integral dula (a) é a região descrita or: x ; x y ; e f = e y. (b) é a região descrita or: y 8; 3 y x ; e f = xy: (c) é a região descrita or: x ; x + y ; e f = x : f (x; y) da. (d) é a região descrita or: x ; 4 x y 4 x ; e f = : (e) é a região triangular de vértices (; ) ; (; ) e ( ; 4) ; e f = x y : (f) é a região delimitada or y = x; x = e y = ; e f = ex (x=y) : (g) é a região delimitada or y = x = e y = x; e f = x x + y : (h) é a região delimitada or y = x; y = ; x = 5 e xy = 6; e f = : (i) é a região delimitada or y = e x ; y = ln x; x + y = e x + y = + e; e f = : (j) é a região delimitada or y = x ; y = e x + y = ; e f = xy: (k) é a região triangular de vértices (; 9) ; (; ) e ( ; ) ; e f = xy : (l) é a região retangular de vértices ( ; ) ; (; ) (; 4) e ( ; 4) ; f = x + y: (m) é a região delimitada or 8y = x 3 ; y = x e 4x + y = 9; e f = x: (n) é a região do o quadrante delimitada or x + y = e f = x y :.. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: MUANÇA E VARIÁVEL EM INTEGRAL UPLA. Use coordenadas olares e calcule as seguintes integrais dulas: Z Z y y Z Z x (a) (b) x y y xdxdy + y dydx Z a Z a x (c) (e) a x +y ex x y dydx (d) x + y da (f) x + y da; : x 3; y x (x + y) da; : x + y y :. Com a mudança de variável u = x + y e v = x y; calcule a integral dula (x + y) sen (x y) dxdy sobre a região : jxj + jyj :

3 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 3 3. A fronteira da região é o aralelogramo de vértices (; ) ; (; ) (; ) e (; ). Use a mudança de variáveis do exercício recedente e calcule a integral dula (x y) cos (x + y) dxdy: 4. Com a mudança de variável do Exercício desta seçaõ, calcule a integral dula: x sen y x + y da: sendo a região delimitada elo quadrilátero de vértices (; ) ; (; ) (4; ) ; e (; ) : 5. Use a mudança de variáveis u = xy; y = v e calcule a integral dula RR x + y da, sendo a região do lano xy delimitada elas curvas xy = ; xy = ; y = jxj e y = x: 6. Use a mudança de variáveis x = u v; y = u v e calcule a integral dula RR xyda, sendo a região do lano xy delimitada elas retas y = x; y = x ; y = x e y = x + : 7. Use a mudança de variáveis u = y; v = x y e calcule a integral dula da função f (x; y) = x y + y =4, sobre a região delimitada elo triângulo de vértices (; ) ; (4; ) e (4; ) : 8. Calcule x da; sobre a região delimitada ela cardióide : r = cos : 9. Use coordenadas olares e calcule a integral dula xy; do rimeiro quadrante, delimitada elas curvas y = x x e y = x: x + y da, sendo a região do lano.3. :::: ::::::::::::::::::::: ÁREA & VOLUME. Por integração dula calcule a área de um círculo de raio R e da elise de semi-eixos a e b:. Em cada caso calcule, or integral dula, a área da região do lano xy delimitada elas curvas indicadas: (a) : x = ; x = ; y = x e y = =x (b) : x = ; x = 4; y = x e y = x (c) : y = x e y = = + x (d) : y = x; x y = 4; y = e y = (e) : y = ; x + y = 3a e y = 4ax; a > (f) : y = e x ; y = sen x; x = e x = :

4 4 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS 3. Por integração dula, calcule a área da região comreendida entre o círculo r = a e a cardióide r = a ( + sen ) : 4. Calcule a área da região delimitada elas arábolas x = y; x = y; y = x e y = x: (use a mudança de variável x = yu e y = xv) 5. Calcule a área da região delimitada elas retas y = x; e y = e elos círculos x + y = x e x + y = 4x: 6. Em coordenadas olares, a área de certa região vem dada or: A () = Identi que e calcule o valor da área. Z = Z +cos = rdrd: 7. Calcule a área da região delimitada elas arábolas y = x + 5 e y = 6x + 9: 8. Calclule, or integral dula, a área da região indicada na gura: 9. Calcule a área da região no rimeiro quadrante delimitada elas retas y = x; y = e x = 8 e ela curva xy = 6:. Calcule o volume do sólido delimitado elos lanos x = ; y = ; z = e x + y + z = :. A base de um sólido é a região do lano xy delimitada elo disco x + y a ; a > ; e a arte suerior é a suerfície do arabolóide az = x + y. Calcule o volume do sólido.. Calcule o volume do sólido limitado inferiormente elo lano xy, nas laterais elas suerfícies y = 4 x e y = 3x e cuja arte suerior jaz no lano z = x + 4:

5 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 5 3. Ao calcular o volume de um sólido ; abaixo de um arabolóide e acima de certa região do lano xy; obteve-se a seguinte exressão: vol () = Z Z y x + y dxdy + Z Z y x + y dxdy: Identi que a região, exresse vol () or uma integral dula iterada com a ordem invertida e, em seguida, calcule a integral. 4. Calcule o volume da região comum aos cilindros x + y = a e x + z = a ; a > : 5. Um sólido no rimeiro octante tem seu volume calculado ela exressão: vol () = Z Z Identi que o sólido e calcule o seu volume. Idem ara: vol () = x Z Z x ( x y) dydx: ( x) dydx: 6. Calcule o volume do sólido limitado elo cilindro x + z = e elos lanos y = ; z = e y = x: 7. Calcule o volume do sólido limitado elo lano z = ; elo cilindro x + y = x e elo cone x + y = z : 8. Calcule o volume do sólido interior à esfera de centro na origem e raio R = 5 e exterior ao cilindro x + y = 9: 9. Calcule o volume do sólido interior ao cubo x ; y ; z e exterior ao arabolóide x + y = z:. Calucule o volume do sólido limitado elos lanos y = e z =, elo arabolóide x + y = z e elo cilindro y = x :. Ver que que o arabolóide x + y = z divide o cilindro x + y = 4; z 4; em dois sólidos de volumes iguais:. Calcule o volume da orção do elisóide 4x + 4y + z = 6 cortada elo cilindro x + y = : 3. Calcule o volume da região interior à esfera x + y + z = 6 e ao cilindro x + y = 4y:.4. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: MASSA, CENTRO E MASSA & MOMENTO E INÉRCIA

6 6 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS. Calcule a massa de um disco de raio a, se a densidade no onto (x; y) do disco é roorcional ao quadrado da distância a um onto da circunferência.. Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isóceles com lados iguais de comrimento a. A densidade de massa or área em cada onto da lâmina é diretamente roorcional ao quadrado da distância do onto ao vértice oosto à hiotenusa. etermine o centro de massa da lâmina. 3. etermine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia I x ; I y da lâmina de densidade (x; y) e formato : (a) : y = x; x = 9; y = ; = x + y (b) : y = 3 x; x = 8; y = ; = y (c) : y = x ; y = 4; = ky (d) : x + y = ; = jxj : 4. Uma lâmina tem a forma da região do lano xy delimitada ela arábola x = y e ela reta x = 4. etermine o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa or área em cada onto da lâmina é roorcional à distância do onto ao eixo y. 5. Uma lâmina homogênea, isto é, com densidade constante, tem o formato de um quadrado de lado a. etermine o momento de inércia com relação a um lado, a uma diagonal e ao centro de massa..5. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::: INTEGRAL UPLA IMPRÓPRIA As integrais dulas dos Exercícios, e 3 abaixo diferem daquelas tratadas até o momento em dois asectos: (i) ou a região de integração não é limitada; (ii) ou a função f (x; y) que se deseja integrar torna-se ilimitada na região. Esses são os casos em que a integral dula recebe a denominação de integral imrória.. Calcule as seguintes integrais imrórias: dxdy dxdy (a) (b) (c) x + y x y ln x + y dxdy (d) x +y Z Z (g) R e x dxdy xy y dxdy (e) (h) x +y x +y Z Z Z Z x e x y dxdy (f) dxdy + x + y x +y dxdy (i) e x=y dxdy; : x y ; y jx yj

7 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 7. Use o resultado do Exercício (g) e deduza que Z e x dx = : 3. Mostre que a função f (x; y) = = (x y) não é integrável em : y < x, embora seja contínua neste conjunto. Este exemlo mostra que não basta ser contínua ara ser integrável..6. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: INTEGRAIS TRIPLAS ITERAAS O cálculo de integrais trilas se reduz ao cálculo de uma integral dula seguida de uma integral simles e, deendendo da região de integração, a integral ode ser calculada de forma Z iterada como três integrais simles. A seguir mostra-se algumas situações ara o cálculo da integral f (x; y; z) dv: (a) = (x; y; z) R 3 ; (x; y) e ' (x; y) z (x; y) : Neste caso, é a rojeção no lano xy da região de integração e o cálculo da integral trila se reduz ao cálculo de uma integral simles seguida de uma integral dula: Z " Z # (x;y) f (x; y; z) dv = f (x; y; z) dz da: '(x;y) (b) = (x; y; z) R 3 ; a x b; ' (x) y (x) e (x; y) z q (x; y) : Neste caso, a integral trila é calculada como uma integral iterada: Z Z ( b Z " (x) Z # ) q(x;y) f (x; y; z) dv = f (x; y; z) dz dy dx: a '(x) Naturalmente, uma mudança na descrição da região acarretará inversões na ordem de integração. Z. Exresse a integral trila f (x; y; z) dv como uma integral iterada e, em seguida, calcule o (x;y) seu valor no caso em que f (x; y; z) = xyz e a região é descrita or: (a) x ; y ; z (b) y x y; y 4; z 4 y (c) x ; x y ; z x + y (d) x z ; x z y x + z; z :. Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem dzdydx : (a) Z Z z Z (z ) y f (x; y; z) dxdydz (b) Z Z y Z x +y f (x; y; z) dzdxdy 3. Em cada caso, identi que o sólido e calcule seu volume or integração trila.

8 8 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS (a) é delimitado elo cilindro y = x e elos lanos y + z = 4 e z = ; (b) é delimitado elo cilindro z = y e elos lanos x = z; x = e y = ; (c) é delimitado elos cilindros z = 3x e z = 4 x e elos lanos y + z = 6 e y = ; (d) é delimitado elo lano xy e elas suerfícies x + y = x e z = x + y :.7. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: MUANÇA E VARIÁVEL EM INTEGRAL TRIPLA. As coordenadas cilíndricas de um onto P são: r = ; = =4 e z =. etermine as coordenadas cartesianas e esféricas do onto P:. Em cada caso, identi que a suerfície descrita em coordenadas cilíndricas. (a) r = 4 (b) r = cos (c) z = r (d) 3r + z = 9 (e) r + z = 6: 3. Identi que a região do R 3 descrita em coordenadas esféricas or: (a) = 3 (b) = cos ' (c) = =6 (d) ' = =4 4. As suerfícies dadas abaixo estão reresentadas or suas equações cartesianas. Passe as equações ara coordenadas cilíndricas e esféricas. (a) Esfera: x + y + z = 4 (b) Cilindro: x + y = 4 (c) Cone: x + y 4z = (d) Parabolóide: 4z = x + y : 5. Por integração trila, calcule o volume de um sólido esférico de raio R. Calclule a integral trila de duas maneiras: rimeiro use coordenadas cilíndricas e, deois, coordenadas esféricas. 6. Calcule o volume do elisóide x a + y b + z c. 7. Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais: Z Z y Z 4 x y Z (a) zdzdxdy (b) Z (c) xydv ; : x + y ; z (d) 8. Use coordenadas esféricas e calcule as seguintes integrais: Z x x Z x +y x x Z Z x Z xdzdydx x + y dzdydx (a) Z Z 4 x Z 8 x y 4 x x +y x + y + z dzdydx:

9 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 9 (b) Z Z 4 y Z 4 x y x + y + z dzdxdy: y 9. Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido ; nos seguintes casos: (a) é delimitado elas suerfícies: S : x + y = az, S : x + y = ax; a > ; e S 3 : z =. (b) é delimitado elos arabolóides x + y = z e x + y + = z: (c) é a intersecção da bola x + y + (z ) com o cone x + y z ; z : (d) é delimitado elo arabolóide x + y = z e elo lano z = 4: (e) é interior à esfera x + y + z = 4y; limitado sueriormente elo cone x + z = y :. Faz-se um orifício circular em uma esfera, o eixo do orifício coincidindo com o eixo da esfera. O volume do sólido resultante vem dado or: Z V = Z 3 Z 4 z rdrdzd, Por observação da integral determine o raio do orifício e o raio da esfera. Calcule o valor de V:.8. :::: :::::::::::::::::::::::::::::: CONSIERAÇÕES FÍSICAS Reresentamos or (x; y; z) a densidade volumétrica de um sólido. Quando a densidade for a mesma em cada onto do sólido, este será denominado sólido homogêneo. Por de nição, a densidade é igual a massa or unidade de volume, isto é, = m V e a integral trila RRR (x; y; z) dv é interretada como a massa de. Procedendo como no caso bidimensional, em que o objeto foi interretado como uma lâmina lana, ara um sólido as coordenadas do centro de massa são calculadas elas fórmulas: x = Z Z Z xdv; y = Z Z Z ydv e z = Z Z Z zdv m m m e o momento de inércia em relação a um eixo L é calculado or: Z Z Z I L = (x; y; z) dv, sendo = (x; y; z) a distância do onto P (x; y; z) do sólido ao eixo L. No caso em que o eixo L é o eixo coordenado x, y ou z; deduz-se facilmente as seguintes fórmulas ara os momentos de inércia I x ; I y e I z : Z Z Z I x = Z Z Z (y + z )dv; I y = Z Z Z (x + z )dv e I z = (x + y )dv:

10 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS. Calcule a massa de uma bola de raio R, se densidade de massa é diretamente roorcional à distância r ao centro da esfera. Qual seria a massa da bola, se a densidade fosse inversamente roorcional à r?. etermine a massa do sólido delimitado elo cone z = x + y ; z 4; se a densidade em um onto P do cone é roorcional à distância do onto P ao eixo z: 3. Calcule a massa do sólido cortado da bola x + y + z 4 elo cilindro x + y = y; se a densidade no onto P é roorcional à distâcia de P ao lano xy: 4. Qual o centro de massa do hemisfério x + y + z R ; z ; com densidade (x; y; z) = kz: 5. Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura H e raio R, se a densidade no onto (x; y; z) é (x; y; z) = k x + y : 6. Mostre que o centróide do hemisfério z R x y é o onto C (; ; 3R=8) : 7. Qual o centróide do sólido delimitado abaixo elo cone ' = 4 e acima ela esfera = a? RESPOSTAS & SUGESTÕES. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. A ordem de integração dydx é adequada às regiões do tio vertical simles, isto é, regiões descritas or : a x b; ' (x) y (x), enquanto dxdy é a ordem utilizada ara regiões do tio horizontal simles, ou seja aquelas descritas or : c y d; (y) x q (y). centróide é a denominação dada ao centro de massa de um sólido homogêneo com densidade = :

11 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA Em alguns casos é necessário articionar a região como ocorre com a gura 3.(d). Neste caso, temos = + e, assim: f (x; y) da = Z a Z b x a x f (x; y) dydx + Z b Z b x a f (x; y) dydx: No caso da gura 3.(e) o cálculo ode ser feito diretamente, identi cando a região como do o tio (horizontal simles): : c y d; (y) x q (y). Neste caso temos: f (x; y) da = Z d Z q(y) c (y). (a) 36 (b) 7 6 ln (c) cos : 3. Como ilustração, faremos o cálculo em alguns casos. (a) I = (b) Temos: Z Z jxj I = (c) 9=: dydx = Z Z Z x jxj dx = Z cos x dydx = ( x) dx + Z Z f (x; y) dxdy: x cos x dx = xdx = + = : Z cos udu = sen : (d) : (e) I = (f) I = (g) I = Z Z = Z (h) e 3: [cos y cos ( y)] dx = x y y dy = y Z Z = dx = : y y dy = x (e e x ) dx = e (xe x e x )j = e : Z = y y 3 dy = =6: (i) 8=3 (j) =3 (k) =3 (l) (m) =48 (n) 3 sen cos (o) 8=3. 4. (a) (e ) (b) 3 ( cos ) (c) sen : 5. Para facilitar a comreensão, comece esboçando a região de integração e siga as seguintes etaas ara calcular as integrais múltilas: I Esboce a região de integração.

12 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS I I Escolha a ordem de integração adequada. Transforme a integral múltila em um integral iterada (reetida) e calcule-a. (a) Integrando na ordem dxdy, encontramos: I = Z Z y= (b) Na ordem dydx, temos: I = Z Z x 3 e y dxdy = xydydx = Z Z y e y dy = 4 y x x 3 Z 4 dx = (c) O cálculo torna-se mais simles em coordenadas olares. Temos (d) Na ordem dydx, temos I = (e) 54 5 (f) = Z Z 4 x I = 4 x dydx = Z = = Z (g) Em coordenadas olares, o cálculo se reduz a: r 3 cos drd = 3=8: e t dt = 4 e4 : Z x 7 dx = 6: 4 x x dx = : Z =4 Z sec tan cos drd = Z =4 tan d = ln = = ln : (h) ln (5=4) (i) A artir da ilustração grá ca, deduzimos que a reta x + y = + e interceta as curvas y = e x e y = ln x nos ontos de abscissa x = e x = e, resectivamente. Um cálculo direto nos dá: dxdy = e + e 3: (j) = (k) 7=4 (l) 75= (m) 9=3 (n) 7=4:. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::

13 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 3. Se a região do lano xy é descrita em coordenadas olares or: : a r b; ; então temos a fórmula de mudança de variável (a) I = Z Z f(x; y)dxdy = Z Z sen Z r 3 cos drd = 3 Z Z b a sen 3 cos d = : f(r cos ; r sin )r drd. (b) Em coordenadas olares a região de integração é governada elas desigualdades =4; = cos r = cos : Logo, I = Z =4 Z = cos = cos r r drd = Z =4 [ln (= cos ) ln (= cos )] = 4 ln : (c) [ ex a ]: (d) Veja nas suas anotações de Cálculo o valor de R sec 3 d, que será usado aqui. (e) =4: (f) I =. 4 =3: Z Z sen I = (sen 6 sen ) : Z =4 Z 3= cos r drd = 9 r (cos + sen ) drd = 3 Z =4 Z 4. Com a mudança sugerida, a integral se transforma em: : 6. 7: 7. 74=5: Z 4 Z u sen (v=u) dvdu = Z 4 sec 3 d = 9 h + ln( + ) i : sen 3 (cos + sen ) d = : u ( cos ) du = 3 3 cos :

14 4 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS 8. 49=3: 9. 9 (6 ):.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. R e ab:. (a) 7 6 (b) 73 6 (c) + 3 (d) 33 (e) 3 a (f) e e : 3. a ( + =4) : 4. = : 6. + =4: : 8. (a) arctg (b) 7 + 9= (c) 56=3: ln. =6:. a3 :. 65=: 3. 4=3: 4. 6a 3 =3: 5. 6 e 4 3 : 6. =3: 7. 3=9: 8. 56=3: 9. =3:

15 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 5. 88=5:. Cada arte da divisão tem volume 4:. 3 (64 4 3): (3 4) :.4 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. 3ka 4 =:. C M ( a 5 ; a 5 ): 3. (a) M = 349 ; C M (6:35; :4) ; I x = 69; 4; I y = 594; 3: (b) M = 3 3 ; C M (6=3; 9=7) ; I x = 3; I y = 4=9: (c) M = 8k 5 ; C M (; 5=7) ; I x = 5k=7; I y = 5k=: (d) M = 4 3 ; C M (; ) ; I x = 4 5 ; I y = =3: 4. C M ( 7 ; ): 5. I L = a 4 =3; I = a 5 =6 e I O = a 4 =3..5 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. (a) (b) (c) (d) 4 (e) =8 (f) (g) (h) 8=3 (i) =.. o Exercício (g) desta seção, temos: = y dxdy = = R e x Z ex Z Z x Z dx ex ex x ex y dydx y Z dy = ex t dt : 3. Integre a função f (x; y) sobre a região : x ; y x e observe que: f (x; y) da = lim! f (x; y) da = : A integral é, ortanto, divergente!

16 6 CÁLCULO E VÁRIAS VARIÁEIS MARIVALO P. MATOS.6 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. (a) 9=8 (b) (c) 67=43 (d) =7:. (a) Z Z x Z x +y f (x; y; z) dzdydx (b) Z Z x Z x +y f (x; y; z) dzdydx: 3. (a) 56=5 (b) 4=5 (c) 34=5 (d) 3=9..7 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. x = ; y = e z = ; = ; = 4 e ' = 4 :. Veja as relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas no Exercício.9(7g). (a) O cilindro circular reto: x + y = 6: (b) O cilindro circular reto: (x ) + y = : (c) A folha suerior do cone: z = 4 x + y : (d) O elisóide: 9x + 9y + 3z = 7: (e) A esfera: x + y + z = 4: 3. Veja as relações entre coordenadas cartesianas e esféricas. (a) A esfera de centro (; ; ) e raio 3: (b) A esfera x + y + (z ) = 4: (c) Parte do lano y = x: (d) O cone z = x + y : 4. Veja as fórmulas de mudança de coordenadas cartesianas ara curvilíneas. (a) Cilíndricas: r + z = 4 Esféricas: = : (ESFERA E RAIO R = ) (b) Cilíndricas: r = ; Esféricas: sen ' = 4: (CILINRO) (c) Cilíndricas: r 4z = ; Esféricas: cos ' = : (CONE)

17 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS. INTEGRAL MÚLTIPLA 7 (d) Cilíndricas: 4z = r ; Esféricas: = 4 cotg ' cosec ': (PARABOLOIE) R3 : abc: 7. (a) 7=6 (b) =3 (c) (d) =3: 8. (a) 56 5 ( ) (b) R4 =6: 9. (a) 3 a3 (b) =4 (c) (d) 4 (e) 8=3:. r = ; R = e V = EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. kr 4 e kr :. 8k=3: 3. 9k=3: 4. C M (; ; 8R 5 ): 5. I z = 5 khr5 : 6. C M (; ; 3R 8 ): 7. vol () = 3 a 3 :

3.1 Integrais Iteradas

3.1 Integrais Iteradas .1 Integrais Iteradas ZZ.1A Em cada caso abaixo, observe a região D e escreva a integral dula uma integral iterada (reetida) de modo a obter o cálculo mais simles. D f (x; y) da como.1b Calcule as seguintes

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LISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h) 1 LISTA E CÁLCULO III (A) Integrais uplas 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) 1 y y a a 2 x 2 a 1 y 1 2 2 x x 2 y 2 dxdy; a 2 x 2 (x + y)dydx; e x+y dxdy; x 1 +

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