1 + tg x. 3 sen 16x sen 2x + cos 4x. cos x cotg x (x) 1 + x2 + 1 (z) sec x cos x. (j) f(x) = 1 t. (n) f(x) = x 2 arctan(2x) + tan 3 (4x) sec 4 (x 2 )

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1 Lista de Eercicios de Cálculo I () Calcule, utilizando a denic~ao, a derivada das seguintes func~oes: (a) f() = 5 (b) f() = + (c) f() = k (d) f() = (e) f() = (f) f() = (g) f() = (h) f() = n ara n (i) f() = n ara n + () Calcule f 0 () onde f() e igual a (a) 5 (b) + (c) + 4 cos (e) (f) (g) + tg (d) (h) + ( + sen ) csc (i) sen + cos (j) cotg (l) sen + cos (m) + + (n) ( ) ( + ) (o) ( + ) sen () sen 6 sen + cos 4 (q) + tg + (r) sen (s) sen(cos ) (t) cos 5 + cos + sen (u) sen (v) sen q r q: cos cotg () + + (z) (aa) sec cos () Calcule a derivada das seguintes func~oes: (a) f() = e (b) f() = e sin + sin e (c) f() = + (d) f() = arcsin (e) f() = arccos (f) f() = ( + ln ) (g) f() = ( + )(sin cos ) (h) f() = + (i) f() = (t t + ) 9 (j) f() = t (t arcsin t + ) 9 (k) f() = cos 5 (sin ( + + log )) (l) f() = r q + + sin( ) (m) f() = (n) f() = arctan() + tan (4) sec 4 ( ) + (o) f() = () f() = (4) Determine se as seguintes func~oes s~ao derivaveis no onto dado. + se < (a) = ; f() = (b) = 0; g() = + 4 se 8 < (c) = 0; h() = : sin( ) se > 0 0 se = 0 cos( ) se < 0 (d) = ; w() = se 0 cos() se < 0 ( tan() se < se (5) Verique se as seguientes func~oes s~ao derivaveis no dado. se < 0 (a) = 0; f() = (b) = 0; + se < 0 f() = + se 0 se 0 (c) = 0; arcsin se 6= 0 f() = 0 se = 0 + se < (6) Mostre que a func~ao f() = n~ao e derivavel em =. Esboce o graco de f. + 4 se

2 (7) Mostre que a func~ao f() = graco de f. + se < + se e derivavel em = e calcule f 0 (). Esboce o (8) D^e um eemlo de uma func~ao f, denida e derivavel em R, tal que (a) f 0 () = 0 (b) f 0 () > 0; ara todo R (c) f 0 (0) < f 0 () (d) f() 0 > 0; ara < 0; f 0 () < 0; ara 0 < < e f 0 () > 0; ara > (e) f 0 (0) = f 0 () = 0 (f) f 0 () > 0; ara < e f 0 () < 0 ara > + se < (9) Seja f() = se : f e contnua em? f e derivavel em? Justique sua resosta. se 0 (0) Seja f() = se > 0: f e contnua em 0? f e derivavel em 0? Justique sua resosta. + se () Seja f() = se > : f e contnua em? f e derivavel em? Justique sua resosta. () Determine a equac~ao da reta tangente ao graco da func~ao f em (; f()) nos seguintes casos: (a) f() = em = (b) f() = em = 4 (c) f() = em = (d) f() = = em = (e) f() = cos em = (f) f() = sen em = =4 () Determine a reta que e tangente ao graco de f() = e e aralela a reta y = 4 +. (4) Determine o onto do graco de f() = + ao eio. em que a reta tangente, neste onto, seja aralela (5) Seja r a reta tangente ao graco de f() = = no onto de abscissa. Verique que r interceta o eio no onto de abscissa. (6) Mostre que eistem eatamente duas retas tangentes ao graco de y = ( + ) que assam ela origem. D^e as equac~oes dessas retas. (7) Sejam f e g duas func~oes. Dizemos que os gracos de fe g s~ao tangentes em (; q) se ambos os gracos ossuem a mesma reta tangente nesse onto. Mostre que os gracos de y = e y = + s~ao tangentes em (; ). (8) Seja f() = ++. Dado um onto (; f()), com 6=, no graco de f, determine um onto (q; f(q)) tal que a reta tangente ao graco de f no onto (; f()) seja erendicular a reta tangente ao graco de f no onto (q; f(q)). (9) Determine a equac~ao da reta tangente ao graco da func~ao f() = + (a) que e aralela a reta de equac~ao y 4 + = 0. (b) que e erendicular a reta de equac~ao y = 0. (c) que e aralela ao eio OX. (0) D^e um eemlo (or meio de um graco) de uma func~ao f, denida e derivavel em R tal que f 0 () = 0. () D^e um eemlo (or meio de um graco) de uma func~ao f, denida e derivavel em R tal que f 0 () > 0 ara todo R. () D^e um eemlo (or meio de um graco) de uma func~ao f, denida e derivavel em R tal que f 0 () n~ao eista. () D^e um eemlo (or meio de um graco) de uma func~ao f, denida e derivavel em R tal que f 0 (0) = 0 e f 0 () = 0. (4) Estude o sinal de f 0 (), onde f() e igual a (a) + (b) cos (c) (d) sen + cos (e) + + (f) tg (g) + (5) Seja () = a + b + c + d. Se (0) = 4, 0 (0) =, 00 (0) = 5 e 000 (0) =, quanto vale a; b; c e d?

3 (6) Esboce os gracos de f, f 0 e f 00 se: (a) f() = + se (b) f() = 5 se > : (7) Seja y =. Mostre que d y d (8)Seja y = =. Mostre que d y d = 6dy d. dy d =. (9) Seja = cos!t, onde! e constante. Mostre que d dt +! = 0. (0) A func~ao diferenciavel y = f() e tal que ara todo dom(f), o onto (; f()) e soluc~ao da equac~ao y +y + = 4. Calcule a equac~ao da reta tangente ao gr fico de f no onto (; f()) sabendo que f() =. () Seja f : [ r; r]! R uma func~ao derivavel. Mostre que (a) Se f for uma func~ao mar, ent~ao f 0 sera ar. (b) Se f for uma func~ao ar, ent~ao f 0 sera mar. () Seja g : R! R uma func~ao derivavel tal que g() = g 0 () =. Calcule H 0 (), sendo a func~ao H dada or H() = g(g(g())). () Prove que ara todo > 0, a arabola y = + assa elo onto (0; ). Para que valor de o faz tangenciando a reta y = +? (4) Encontre a equac~ao da reta tangente y da reta normal ao graco da func~ao no onto (; f()). f() = + + (5) Dadas as func~oes i) f() = + + ii) f() = 4 + iii) f() = + iv) f() = + v) f() = vi) f() = e + vii) f() = + sin( ) se 6= 0 viii) f() = + i) f() = 0 se = 0 Encontre: (a) Pontos crticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f. (b) Pontos de ine~ao e intervalos de concavidade e conveidade de f. (c) Ache as asntotas de f, se estas eistirem. (d) Esboce o graco de f. (6) Para cada uma das func~oes abaio, determine os ontos de maimo e de mnimo, os intervalos de crescimento e decrescimento, os ontos de ine~ao, estude a concavidade e esboce o graco. 4 (c) f() = (a) f() = + (b) f() = + (d) f() = + (e) f() = jj (f) f() = + (g) f() = + (h) f() = e = (i) f() = e =

4 4 7) Calcule maimos e mnimos locais e globais das seguintes func~oes a) f() = b) f() = e c) f() = d) f() = sin() + cos(), ara [0; ] : e) f() = f) f() = tg() g) f() = cos( ), se 6= 0 h) f() = i) f() = 4 0, se = 0 (8)Estude a func~aoo dada, com relac~ao a maimos e mnimos locais e globais no domnio dado. a) f() = + ; R b) f() = e ; R c) f() = cos + sen ; [0; ] d) f() = [ ; ] e) f() = e ; [ ; ] f) f() = + ; R g) f() = ln ; [; ] h) f() = e e ; [0; ] (9)Se for um onto de ine~ao de f e se f 0 () = 0, dizemos que e um onto de ine~ao horizontal. Seja f() = 5 + b 4 + c +. Que condic~oes b e c devem satisfazer ara que seja onto de ine~ao de f? Justique sua resosta. Eistem b e c que tornam onto de ine~ao horizontal? Em caso armativo, determine-os. (40) Um carro em reouso desloca-se sobre uma rodovia cuja func~ao osic~ao e dada or (t) = t + 7t 0, ara t 0. (a) Em que temo o carro consegue a maior dist> ncia do onto de origem? (b) Qual e a velocidade do carro no instante t? (c) Qual e a acelerac~ao do carro no instante t? (d) Em que intervalo de temo o carro avanca? e onde retrocede? (e) Em que intervalo de temo a acelerac~ao do carro e ositiva? e onde e negativa? (f) Esboce o graco da func~ao osic~ao. (4) Deseja-se construir uma caia de forma cilndrica de m de volume. Nas laterais e no fundo sera utilizado material que custa R$0 o metro quadrado, e na tama material de R$0; 00 o metro quadrado. Determine quais s~ao as dimens~oes da caia que minimizam o custo do material emregado. (4) Determine a altura do cilindro circular reto, de volume maimo, inscrito na esfera de raio R dado. (4) Dois vertices de um ret^angulo R est~ao sobre o eio e os outros dois sobre o graco de y = +, > 0. Considere o cilindro que se obtem girando o ret^angulo R em torno do eio. Determine o ret^angulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior ossvel. (44) Um objeto com eso W e arrastado ao longo de um lano horizontal or uma forca agindo ao longo de uma corda resa ao objeto. Se a corda zer um angulo com o lano, ent~ao a magnitude da forca e W F = sen + cos ; onde e uma constante ositiva chamada coeciente de atrito e 0 =: Mostre F e minimizada quando tg = : (45) Determine o numero real ositivo cuja diferenca entre ele e o seu quadrado seja maima. (46) Determine a altura do cone circular reto, de volume mimo, inscrito numa esfera de raio R: (47) Determine o retangulo de area maima e lados aralelos aos eios coordenados, inscrito na elise 4 + y =

5 5 (48) Do onto A; situado numa das margens de um rio de 9m de largura, deve-se levar energia eletrica ao onto B situado na outra margem do rio situado a uma distancia de 5m de A: O o a ser utilizado na agua custa R$5 o metro e o que sera utilizado na terra custa R$ o metro. Como devera ser feita a ligac~ao ara que o gasto com os os seja o menor ossvel? Considere as margens do rio retilneas e aralelas. (49) Usando L'Hosital, calcule os seguintes limites: a) lim! 5 + e d) lim e) lim!+ g) lim!0 + h) lim!+ + tg j) lim!0 + sen m) lim! b) lim! 0 c) lim!0 + e!+ ( + ) ln f) lim sen ln!0 + i) lim +! e tg k) lim l) lim!+!0 n) lim!0 + e= ) lim!+ ( + ) = ln q) lim!+ ; > 0 r) lim e! o) lim ( cos )=!0 ln (50) Sejam f() = sen = e g() =. f() Mostre que lim f() = lim g() = 0, lim!0!0!0 g() = 0 e que f 0 () lim!0 g 0 n~ao eiste. () Ha alguma contradic~ao com a Primeira Regra de L'Hosital? Justique sua resosta. (5) Encontre o olin^omio de Taylor de grau n de f em 0 : a) f() = n ; 0 = ; n = b) f() = ln( + ); 0 = 0; n = c) f() = cos ; 0 = 0; n N d) f() = ; 0 = ; n = e) f() = e ; 0 = 0; n = f) f() = + ; 0 = 0; n = (5) Utilizando olin^o de Taylor de ordem, calcule un valor aroimado de a) ln : b) 4: c) 8: d)e 0:00 f) sen 0: g) cos 0: