INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física 0-ésima Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos. Vamos fazer em sala uma demonstração de que é um número irracional. a. Determine um número racional r, tal que 0 < r < 0 5. b. Prove que, se p é um número primo, então p é irracional. c. Mais geralmente, prove que se p,..., p k são primos distintos, então p p... p k é irracional.. Resolva as inequações: a. ( ( + > 0 b c. ( d Decida quais afirmações são verdadeiras: a. < 3 ( < 9 b. > < c. > 3 < 3 e = 0 d. ( 5 < 4( + 5 < ( e. Se = então ++ > > 3(. 4. Resolva os sistemas e interprete geometricamente: a. y = + y = 4 b. y = y = 4 5. Esboce os gráficos das funções abaio: a. f ( = b. f ( = 4 c. f ( = sin d. f ( = e. f ( = 3 5 f. f ( = 3 cos g. f ( = + 3 h. f ( = tan ( + π i. f ( = 3 9 j. f ( = ( k. f ( = l. f ( = m. f ( = n. f ( = 3 o. f ( = 6. Resolva as seguintes inequações: a. sin b Esboce (rusticamente os gráficos de: a. f ( = sin b. f ( = sin c. f ( = sin d. f ( = sin, se Q e. f ( = 0, se Q. 8. Verifique que: a. a n b n = (a b n k=0, se = 5, se =. a n k b k = (a b(a n + a n b ab n + b n, para todos a, b R e n um inteiro positivo. b. a = ( 5 5 a ( a + 5 a + 5 a a 4, para todos a, R. c. ( ( 3 ( ( =, para todo R. 9. Complete as lacunas, usando as fatorações ilustradas no eercício acima : a. 8 = ( 3 3 ( ; b. + = ( + + ( ; c. 4 = ( ( ; O motivo para isso aparecerá na próima lista.

2 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física Primeira Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos EXERCÍCIOS. Calcule, quando eistirem, os limites abaio: a. lim d. lim / 4 g. lim 0 sin 0 sin 30 j. lim 0 3 cos sin(3 5 + m. lim p. lim 0 s. lim v. lim +. LIMITES DE FUNÇÕES b. lim 3 e. lim h. lim 0 sin(sin k. lim π cos π sin n. lim sin w. lim sin y. lim β. lim + ɛ. lim + c. lim f. lim + q. lim 3 3 r. lim + t. lim u. lim z. lim cos ( sin + cos 4 sin ( γ. lim ζ. lim i. lim tan(3 cossec( l. lim 3 3 sin 3 ( ( sin o. lim 0. lim + sin ( δ. lim sin( 3 cos ( ( sin( 4 α. lim cos + sin ( η. lim + +. A resolução abaio está incorreta. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite corretamente. ( lim + = lim = lim + + }} 0 }} 0 = lim 0 = Sejam c, L 3 + c + c R tais que lim = L. Determine c e L.

3 4. Seja f : R R uma função. f ( f ( a. Supondo que lim =, calcule lim. f ( b. Supondo que lim = 0, calcule lim f (. 0 0 c. Supondo que lim + f ( + = +, calcule lim + f (. 5. Decida se cada uma das afirmações abaio é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a. Se f, g : R R sao funções tais que f é limitada e positiva e lim g( = +, então + tem-se que lim f (g( = +. + b. Se f, g : R R sao funções tais que f é limitada e lim g( = +, então tem-se que + lim f ( + g( = +. + c. Se f, g : R R sao funções tais que lim + 6. Dê eemplos de funções f e g tais que a. lim f ( = +, lim g( = + e lim b. lim f ( = +, lim g( = + e lim c. lim f ( g( = 0 e lim 0 d. lim + + f ( g( = ; f ( g( = e lim f ( g( = 0. 0 f ( g( = +, então lim f ( g( = +. + f ( g( = 0; f ( g( = ; f ( 7. Mostre que se lim = e g é limitada então lim f ( g( = 0. a g( a f ( 8. Seja f : R R uma função tal que f ( para todo 3 R. Calcule lim Seja f : R R uma função tal ( que f ( sec Calcule lim f ( e lim f ( cos para todo R. 0. Sejam f, g : R R tais que sin f ( 3 e 0 g( + sin(, para todo R. Calcule lim 0 f (g( + cos.. Sejam C o círculo de raio e centro em (, 0 e C r o círculo de raio r, 0 < r <, e centro em (0, 0. Sejam ainda P r o ponto (0, r e Q r o ponto de interseção dos círculos C e C r situado no primeiro quadrante. Se L r é a interseção da reta P r Q r com o eio O, o que acontecerá com L r, quando C r encolher arbitrariamente?. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EXERCÍCIOS. Determine, se eistir, o valor de L R para que cada uma das funções abaio sejam contínuas. sin( + sin( +, se = 0, a. f ( = L, se = b. f ( =, se = 0 L, se = 0. MAT 0 (05 de 6

4 . Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaio. sin( 4 + 5, se > a. f ( = , se = 3, se < b. f ( = 3, se = 3. 5, =. c. f ( = + ( 0, se é irracional e 0 < <, sin(π d. f ( = q, se = p q, com mdc(p, q =. Obs.: é o maior inteiro menor ou igual a. 3. Seja I R um intervalo. Mostre que se f : I R é continua e bijetora, então sua inversa também é contínua. O que acontece se I não é um intervalo? 4. Construa uma função f : R R que é contínua em um único ponto. 5. Construa uma função f : R R que é contínua somente em dois pontos. EXERCÍCIOS 3. DERIVADAS f (, se a,. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a I e h( = g(, se < a. Mostre que h é derivável em a se e somente se f (a = g(a e f (a = g (a. Construa contraeemplos removendo uma das condições de cada vez.. Verifique se cada uma das funções abaio é contínua e se é derivável no ponto 0 indicado. a. f ( = 0; c. f ( = ( + cos (, se = 0 0, se = 0 sin (, se = 0 0, se = 0, 0 = b. f ( =, 0 = 0; d. f ( = 3. Construa uma função f : R R derivável num único ponto. sin (, se = 0 0, se = 0 sin, se = 0, se = 0, 0 = 0., 0 = 0; tan(3 + tan 9 4. Calcule lim Calcule f (0, sendo f ( = g( sin (, se = 0 0, se = 0 e g(0 = g (0 = Eplicite as derivadas de a. f ( = tan ; b. f ( = cot ; c. f ( = sec ; d. f ( = cosec 7. Derive: a. f ( = b. f ( = ( c. f ( = sin ( d. f ( = cos ( 4 + tan ( + e. f ( = sec(tan f. f ( = (sin (cos g. f ( = ( + a5 5 b 5 h. f ( = sen ( sen i. f ( = cot( MAT 0 (05 3 de 6

5 8. Seja f : R R tal que f ( 3 +, para todo R. Mostre que f é derivável em 0 = 0. f ( f (a 9. Sabendo-se que f : R R é derivável em a ]0, + [, calcule lim a a de f (a. em termos 0. Considere a função f ( =. Decida se f é derivável em 0 = 0 e calcule f (0 em caso afirmativo.. Decida em que pontos as funções a seguire são deriváveis. a. f ( = ; b. f ( = Sejam f : R R derivável em 0 = 0 tal que f (0 = f (0 = 0 e g : R R uma função limitada (não necessariamente derivável em X 0 = 0. A função h( = f (g( é derivável em 0 = 0? Eiba h (0 em caso afirmativo. 3. Responda, justificando: a. Se f + g é derivável em 0, é verdade que necessariamente que f e g também são deriváveis em 0? b. Se f g é derivável em 0, quais condições sobre f garantem diferenciabilidade de g em 0? 4. Prove que: a. Se f é derivável em 0 então f ( é derivável em 0, desde que f ( 0 = 0. Dê contraeemplo no caso em que f ( 0 = 0. b. Se f, g são duas funções deriváveis em 0 então as funções h ( = ma f (, g(} e h ( = min f (, g(} são deriváveis em 0, desde que f ( 0 = g( 0. Dê contraeemplo no caso em que f ( 0 = g( Encontre uma função g( tal que g ( = f ( quando a. f ( = a n n + a n n a + a 0. b. f ( = b + b b 3 k. k c. Ache mais uma g para cada um dos itens acima. d. Eiste alguma função da forma f ( = a n n + a n n a + a 0 + b + b + b b k k tal que f ( =? Justifique. 6. Dizemos que 0 é uma raiz dupla de uma função polinomial f se f ( = ( 0 g(, para alguma outra função polinomial g. a. Mostre que 0 é raiz dupla de f se e somente se 0 é raiz tanto de f quanto de f. b. Quando f ( = a + b + c tem raiz dupla? Interprete geometricamente. 7. Seja f uma função derivável em 0 e considere a função d( = f ( f (a( a f (a. Calcule d(a e d (a. 8. Suponha que f ( = g(, onde g é uma função contínua em 0 = 0. Mostre que f é derivável em 0 = 0 e calcule f (0 em termos de g. 9. Suponha que f é uma função derivável em 0 = 0 e que f (0 = 0. Mostre que f ( = g( para alguma função g que é contínua em 0 = 0. Dica. O que acontece se você tentar escrever g( = f (? 0. Prove que é impossível escrever = f (g( com f, g deriváveis tais que f (0 = g(0 = 0. Dica. Que tal derivar? MAT 0 (05 4 de 6

6 . Interprete geometricamente os resultados obtidos no eercício 7.. Determine todos os pontos ( 0, y 0 sobre a curva y = tais que a tangente à curva em ( 0, y 0 seja paralela à reta 6 y + 5 = Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a, (a = 0 tem como interseção um ponto que esta numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 4. Seja y = f ( uma função dada implicitamente pela equação = y 3 ( y. Admitindo que f é derivável, determine a reta tangente ao grafico de f no ponto (,. 5. Seja f : I R derivável, onde I é um intervalo aberto contendo =. Suponha que f 3 ( f ( + f ( =, para todo I. Encontre f ( e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f (. 4. TAXAS RELACIONADAS EXERCÍCIOS. Um objeto circular varia de tamanho de maneira desconhecida, mas sabe-se que quando seu raio é 6m, a taa de variação deste é 4m/s. Determine a taa de variação da área do objeto no instante em que seu raio é 6m.. Suponha agora que o objeto circular do eercício é, na verdade, uma seção de um objeto esférico. Determine a taa de variação do volume do objeto e de sua área, quando no instante em que o raio é 6m. Dica. Você pode epressar o volume em termos do raio da esfera, ou então a partir da área 3. A área entre dois círculos concêntricos variáveis é constante igual a 9πm. A taa de variação da área do círculo maior é de 0πm /s. Qual a taa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área 6π? 4. A partícula A se move ao longo do semi-eio positivo O e a partícula B move-se ao longo do gráfico da função f ( = 3, 0. Num certo instante, a partícula A está no ponto (5, 0 e move-se a com velocidade 3 unidades por segundo e a distância de B até a origem é 3 unidades, movendo-se com velocidade 4 unidades por segundo. Qual a taa de variação da distância entre A e B nesse instante? 5. Num certo instante t 0, a altura de um triangulo cresce à razão cm/min e sua área aumenta à razão de cm /min. No instante t 0, sabendo que sua altura á 0cm e sua área é 00cm, qual a taa de variação em relação ao tempo da base do triângulo? 6. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de.m, a taa de variação com que a areia é despejada é de 0, 08m 3 /min. Qual a taa de variação da altura do monte neste instante? 7. Uma lâmpada está acesa no solo a 5m de um edifício. Um homem de.8m de altura anda a partir da luz em direcão ao edifício a.m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele esta a m do edifício e quando ele está a 9m do edifício. 8. Num motor à combustão, um bastão de 7cm tem uma de suas etremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3cm. Na outra etremidade do bastão está um pistão que se move quando a manivela gira. Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taa constante de 00 rotacões por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é π/3 (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco. MAT 0 (05 5 de 6

7 9. Uma escada de 5m está encostada na parede de uma casa e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7m da parede e sua velocidade é de m/s. a. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante? b. Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7m da parede. c. Calcule a taa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7m da parede. 0. Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro m e comprimento 3m. A figura a representa uma seçãoo transversal do tanque no instante t. O ângulo θ varia de zero (tanque vazio a π (tanque cheio. No instante em que a altura h do líquido é de 0.5m, a vazão é de 0.9m 3 /min. Determine a taa de variação do ângulo θ nesse instante. Determine também a taa de variação da altura h do neste mesmo instante.. Num filtro com formato de cone, como na figura b, um líquido escoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis. Num certo instante, a altura H do líquido depositado na parte inferior é 8cm, a altura h do líquido da parte superior é 0cm e h está diminuindo a uma taa de variação instantânea de cm/min. Calcule a taa de variacão de H em relação ao tempo nesse instante. 0cm 30cm r h θ(t h(t H 30cm R (A Tanque 0cm (B Filtro FIGURA. Figuras para as questões 0 e. 5. DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS EXERCÍCIOS. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, f, também seja derivável. Mostre que ( f ( = f ( f (.. Calcule a derivada das seguintes funções: a. f ( = arctan(; b. f ( = arcsin(; c. f ( = arccos(. 3. Derive: a. f ( = cos ( arctan( ; b. f ( = tan(3 arctan(3 ; c. f ( = arcsin(;. MAT 0 (05 6 de 6

8 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física Segunda Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos. Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: (a f ( = (e + e (b f ( = (e e (c f ( = e e (d f ( = e + e (e f ( = e / + e (f f ( = e arctg (g f ( = (ln + ( + 3 (h f ( = ln ( + + (i f ( = π + π (j f ( = + 3 (k f ( = ln(arctg (l f ( = ( + cos sen (m f ( = (e + 3 arcsen( (n f ( = (3 + cos tg ( (o f ( = ln( e cos (p f ( = ( + sen (5 + (q f ( = ln (r f ( = ( + arctg /4 Observação 0.. As funções (a e (b são chamadas, respectivamente, de cosseno hiperbólico e de seno hiperbólico e são denotadas, respectivamente, por cosh e senh. Verifique que cosh ( senh ( =, cosh ( = senh( e senh ( = cosh(, para todo R.. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades: (a sen b sen a b a, para todos a, b R. (b a b a b, para todos a, b R, com a e b. (c ln a b a b, para todos a, b R, com a e b. (d b b a a > a a (b a, para todos a, b R com a < b. (e e e y y, para todos, y com y Sejam f ( = e g a função inversa de f. Admitindo que g e g são deriváveis, calcule g e g em termos de g. Determine g (0. 4. Sejam f ( = 3 + ln, > 0 e g a função inversa de f. Admitindo que g é derivável, calcule g em termos de g. Determine g (. 5. Sejam I um intervalo de R com 0 I e f : I R uma função injetora tal que (, f ( é solução da equação y 5 + ye + 3e y+ + = 7sen, para todo I. Seja g a inversa de f. Supondo que f e g são funções deriváveis, determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa. 6. Seja h( = + cos. Mostre que h é bijetora e, admitindo h derivável, determine (h (. 7. Seja f ( = e seja g a sua inversa. Sejam a, b R com a < b. Mostre que g(b g(a (b a. 8. Seja f uma função derivável no intervalo ], + [ tal que f (0 = 0 e 0 < f (, para todo > 0. Mostre que 0 < f (, para todo > Mostre que f ( = ( + / é estritamente decrescente em ]0, + [. Conclua que 0. Prove as seguintes desigualdades: (a > 3, para todo > (b (c tg b tg a > b a, para 0 < a < b < π ( + π e < ( + e π. eπ > π e (d 3 3! < sen < 3 3! + 5 5!, para > 0 (e + < +, para > 0. (f arctg > ln( +, para > 0. (g ln b b ln a a b a a, para a < b e.

9 . Seja f derivável em R e seja g dada por g( = f (, = 0. Suponha que 0 seja um ponto crítico da função g. Prove que 0 f ( 0 f ( 0 = 0 e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 passa pela origem.. Calcule, caso eista ln( ln 00 ln (a lim (b lim tg (π + 5 (c lim 0 + cotg ln e (d lim (ln (e lim + + e (f lim + e (g lim p ln, p > 0 (h lim sen ( ( p (ilim cos ( (jlim 0 ln( + e (k lim (sen tg (llim(e ( 0 (m lim tg ( (n lim ln arctg( (olim 0 ln( + 3 (plim 0 ln( + arctg (s lim (tg sec sec (t lim π + (v lim (sen ln 0 + (qlim( ( (w lim ( sen + (rlim 0 e + e (ulim( + sen sen 0 arctg( ( lim ( cos 0 + ( ln( ln( π (y lim ( tg ( (z lim + 3. No seu livro de Cálculo de 696, L Hospital ilustrou sua regra com o cálculo do seguinte limite: a 3 4 a 3 a lim a a 4 a 3 sendo a > 0 um número fiado. Calcule este limite. 4. Determine c R para que a função f ( = c tenha uma única raiz real. 5. Para que valores de k R a equação = k tem três soluções reais distintas? 6. Seja f ( = 7 + π e +. Quantas são as soluções reais distintas tem da equação f ( = 0? Mostre que a equação f ( = 0 tem eatamente três soluções reais distintas. 7. Seja g( = e sen (π. Mostre que g tem eatamente uma raiz real (isto é, g se anula uma única vez e localize-a entre dois inteiros consecutivos. 8. Seja f ( = ( + 6e /. Para quais valores de k a equação f ( = k tem eatamente duas soluções reais? 9. Suponha f : [0, ] R contínua e 0 f (, para todo [0, ]. Prove que eiste c [0, ] tal que f (c = c. 0. Prove que eiste um único c R tal que cos( cπ = 3c.. Prove que, se p é um polinômio, então a equação e p( = 0 não pode ter infinitas soluções reais.. Suponha f : [0, ] R contínua, f (0 = e f ( um número racional para todo [0, ]. Prove que f ( =, para todo [0, ]. 3. Seja f um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de infleão, que é a média aritmética das três raízes. 4. Seja f : R R derivável e com um único ponto crítico 0. Prove que, se 0 for ponto de mínimo (máimo local de f, então 0 será o único ponto de mínimo (máimo global de f. 5. Sejam f : R R derivável e a, b R tais que f (a = f (b = 0. Mostre que se f (a f (b > 0, então eiste c entre a e b tal que f (c = Determine todos os números positivos a tais que a curva y = a corta a reta y =. 7. Sejam I um intervalo aberto e f : I R uma função derivável. (a Mostre que se a, b I, com a b, então para todo y entre f (a e f (b, eiste [a, b] tal que f ( = y. (Não supomos f de classe C. Estude máimos e mínimos de φ( = f ( y em [a, b]. (b Conclua que não eiste função f : R R, derivável, tal que f (0 = e f ( = 0 para todo = 0. (c Determine uma função f : R R, derivável em todo ponto, tal que f não seja contínua. MAT 0 (05 de 6

10 8. Determine, caso eista, a constante a para que f ( = + a tenha: (a um ponto de mínimo local em =. (b um ponto de mínimo local em = 3. Mostre ainda que, para qualquer valor de a, a função f não terá um ponto de máimo local. 9. Seja f uma função cuja derivada tem o gráfico esboçado na figura abaio: y y = f ( FIGURA. Gráfico de f para a questão 9 Em que intervalos f é crescente ou decrescente? Para quais valores 0 a função f tem um ponto máimo local em 0 ou um ponto mínimo local em 0? Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baio? Ache os pontos de infleão de f. Admitindo que f (0 = 0, faça um esboço do possível gráfico de f. 30. Esboce o gráfico das funções abaio e dê as equações das assíntotas, quando eistirem. (a f ( = (b f ( = 3 + (d f ( = 3 (g f ( = e (e f ( = (c f ( = ( (f f ( = ln (h f ( = 5 ln( (i f ( = arctg(ln (j f ( = ln (k f ( = e / (l f ( = (3 6 e/ 8 ln ( + 3 (m f ( = ( + 3 (n f ( = ln( ln(3 + 3 (o f ( = 3 3 (p f ( = e e 3 (q f ( = 3 ( (r f ( = 3. Seja f ( = Prove que f tem eatamente um ponto de infleão e que esse ponto pertence ao intervalo ] 3, [. Esboce o gráfico de f. 3. Seja f : R R uma função derivável e seja a R fiado. Verifique se as afirmações abaio são verdadeiras ou falsas. Justifique. (a Se f ( > 0, para todo > a, então lim f ( = +. + (b Se f é derivável até segunda ordem e, para todo > a, temos f ( > 0 e f ( > 0, então f ( = +. lim + (c Se lim f ( = 0, então lim f ( = L R. + + (d Se eiste uma assíntota para f (quando + com coeficiente angular m e se então L = m. lim f ( = L, + (e Se lim + f ( = m R, m = 0, então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m. 33. (a Ache o ponto de mínimo de f ( = e no intervalo ]0, + [. (b Prove que ea+b ab e, para todos a > 0 e b > (a Esboce o gráfico de f ( = e. (b Determine, em função de k, o número de soluções reais da equação ke =. MAT 0 (05 3 de 6

11 35. Achar os valores máimo e mínimo de: (a f ( = sen cos, [0, π] (b f ( = 3 + 3,. (c f ( = + ln, 4. (d f ( = 3 3,. (e f ( = 4 3, Seja f ( = 5 + a, > 0, onde a > 0. Ache o menor valor de a para o qual tem-se f ( 8 para 5 todo > Qual é o menor valor de a R para o qual a desigualdade a + é válida para todo > 0? 38. Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. (a Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b Por que as latas encontradas no mercado não são em geral como em (a? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas (ou então recicladas. Ache, neste caso, a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado para fazer a lata. 39. Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a. Determine o raio da esfera que maimiza e o que minimiza a soma de seus volumes. 4. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. 4. Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eio, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y =. Qual é o maior volume que tal cilindro pode + ter? 43. Sejam r e s duas retas paralelas com a distância entre elas igual. Fie um ponto C sobre a reta s. Fie dois pontos A e B sobre a reta r de modo que a distância entre os pontos A e B seja. É possível encontrar um ponto D na reta s, de modo que o segmento BD intercepte o segmento AC em um ponto P de forma que a soma das áreas dos triângulos ABP e DCP seja mínima? E seja máima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, determine a altura h do triângulo ABP. 44. Sejam a, b > 0. Determine, caso eista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura (relativa à base dada a. 45. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB (ver figura A. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máima. 46. Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 0m de diâmetro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante em linha reta até o ponto B (veja a figura B. Seja α o ângulo AOC. Sabendo que ela pode caminhar duas vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α, as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo. (OBSERVAÇÃO. Considere que a pessoa pode somente caminhar ou somente nadar. 47. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura C. Achar a inclinação dos lados com a vertical de modo a obter a máima capacidade. A C a B A α O B L θ θ L C L (A (B (C FIGURA. Figuras para as questões 45, 46 e 47. MAT 0 (05 4 de 6

12 48. Um muro de metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas etremidades se apóiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro? 49. Seja k um número real. Prove que todas as funções f : R R tais que f ( = k f (, para todo R são da forma ce k, com c R. 50. Calcule as integrais indefinidas abaio: (a ( d (b d (c cos(7 d (d sec (5 d (e tg (6 d (f cos (3 d (g sen (9 d (h 3e 6 d (i + 6 d (j + (3 + d ( (k + 3sen (4 d (l + ( d ( (m d (n + 3 d e ( (o d ( + 8 (q + 6 d ( (p (r ( d (5 + d 3 8 Eercícios Complementares 5. Seja I R um intervalo. Mostre que se f : I R é continua e bijetora, então sua inversa também é contínua. O que acontece se I não é um intervalo? 5. Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B, veja figura 3A. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo α a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m >. 53. Um corpo de peso P apoiado sobre um plano horizontal deve ser deslocado horizontalmente pela aplicação de uma força F, de intensidade F, conforme figura 3B. Qual o ângulo α com a horizontal deve formar a força para que a intensidade da mesma necessária para mover o corpo seja mínima, admitindo coeficiente de atrito µ > 0? Observação 0.. Para cada α [0, π ] fio, o valor mínimo de intensidade da força F para movimentar o bloco é tal que a diferença entre a componente horizontal de F e a força de atrito R seja positiva, ou seja, F cos α µ(p Fsen α 0. B F α β ferrovia R α A rodovia P (A (B FIGURA 3. Figura para as questões 5 e 53. MAT 0 (05 5 de 6

13 54. (LEI DE REFRAÇÃO DE SNELLIUS Admita válido o princípio de Fermat, segundo o qual a trajetória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso. Sejam P R um ponto no semi-plano superior e Q R um ponto no semi-plano inferior, ambos fiados (vide figura 4. Uma partícula vai de P a um ponto M = (, 0 sobre o eio O com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constante v, também em movimento retilíneo. Seja T : R R tal que, para todo R, T( é o tempo de percurso de P a Q. Mostre que T possui um único ponto de mínimo 0 R. Verifique que 0 (0, b e que, se = 0, então vsen α = usen β. Observação 0.3. A lei da refleão plana também pode ser obtida como conseqüência do mesmo princípio. P = (0, a α M = (, 0 β Q = (b, c FIGURA 4. Figura para a questão Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? RESPOSTAS 3. g (0 = g ( = y = (a 0; (b 0; (c 0; (d ; (e 0; (f 0; (g 0; (h p; (i 6 ; (j ; (k ; (l e4 ; (m ; (n + ; (o 3 ; (p ; (q e5 ; (r 3; (s ; (t 3 e; (u e ; (v e; (w e 3/ ; ( ; (y e /π ; (z a. 4. c < 7 ou c > < k < f ( = 0 tem solução real única. 7. Raiz em ]0, [ < k < 4e / ou k > 9e /3. 6. a e e. 8. (a a = 6; (b a = Verdadeiras: (b e (d =. 34. não há soluções se k < 0; uma solução se k = 0 ou k > 4 e ; duas soluções se k = 4 e e três soluções se 0 < k < 4 e. 35. (a e ; (b e ; (c 4 + ln 4 e ; (d 3 3 e 0; (e 0 e a = a =. 38 (a ; (b 4 π. 39 Altura: 4; raio:. 40 Maimiza: π ; minimiza: π+. 4 π Soma mínima: h =. A soma não pode ser máima. 44 b + b + 4a Menor tempo: α = π; maior tempo: α = π/3. 47 θ = π ( /. 5 π maβ, arccos( m }. 53 arctg µ. 55 (a /3 + b /3 3/. MAT 0 (05 6 de 6

14 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física Terceira Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos Calcule as primitivas abaio: d d 3. cos(7 d 4. sec (5 d 5. tg (6 d 6. cos (3 d 7. sen (9 d 8. 3e 6 d d 0. + (3 + d. + 3sen (4 d +. ( d d e d d ( d d 8. d ( ln d d sin. + cos d. ( + 05 d 3. ln d 4. arctan d 5. sin cos 3 d sin 6. d cos ( ( d d d d e d ln ( + + d sin(ln d + d 3 d ( + d sin 3 ( cos5 ( d sin 3 cos 5 d cos sin 6 d sin cos 4 d + d 3 d arctan d d + ( + 4 d + e d + e d ln( + d + e d 5 e 3 d 9 3 d + 4 d (Dica: faça u = 6.

15 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física Quarta Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos. POLINÔMIO DE TAYLOR EXERCÍCIOS. Determine o polinômio de Taylor de ordem para cada função abaio em torno do ponto 0 indicado. a. f ( = ln( + e 0 = 0; b. f ( = e e 0 = 0; c. f ( = 3 e 0 = ; d. f ( = e 0 = 0; e. f ( = e 0 = 4.. Determine os polinômios de Taylor de ordem 3 para f ( = e sin(, f ( = e 3 e também f ( = tan em torno de 0 = Determine o polinômio de Taylor de f ( = em torno de 0 =. 4. Calcule, com precisão até a seta casa decimal, os seguintes valores: a. ln, 3; b. e 0,03 ; c. 3, 9; d. cos 0,. 5. Utilize polinômios de Taylor e seus restos para calcular os seguintes limites: sin sin a. lim 0 ; b. lim Considere a função f ( = 8 sin, = 0; 0, = 0 a. Determine o polinômio de Taylor de ordem para f ( em torno de 0 = 0. b. Mostre que, dado a > 0, não eiste M > 0 tal que f ( < M, para todo [0, a]. 7. Determine o polinômio de Taylor de ordem ( n para f ( = ( + α, α R, em ( torno de α α(α... (α m + α 0 = 0, estimando o erro, em termos de =, m N e :=. m m! 0 8. Mostre que, para cada R tal que <, temos lim n E n ( = Use os eercícios 7 e 8 para obter polinômios de Taylor de ordem n para f ( = ln( + e f ( = arcsin em torno de 0 = 0.. EXERCÍCIOS. RUDIMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. É possível que os gráficos de duas soluções da equação f ( = + f ( se interceptem num ponto ( 0, y 0? Justifique sua resposta.. Eplicite soluções para as equações diferenciais abaio, eplicitando o domínio máimo de definição da solução em cada caso. a. y = y ; b. y = y; c. yy = ; d. y = ( y( y; e. + 3y y = 0; f. y = y + e. 3. Determine a solução de cada um dos problemas de valor inicial abaio: a. y = + y, y(0 = ; b. cos t sin t =, (π = π; c. y = ( + y, y(0 =.

16 4. Eiba duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada: a. y = 5y 4 5, y(0 = 0; b. y = 3 3 y (3 +, y(0 = Resolva as equações a seguir: a. y = e y ; b. y y = + ; c. y sin + y cos = ; d. y = y. 6. Uma Equação de Bernoulli é uma equação não linear de primeira ordem da forma (. y + p(y = q(y α, onde α R. Se α = temos uma equação linear homogênea e, para todo α R, temos que y( 0 é solução. Mostre que, para α =, a mudança z = y α transforma (. na equação linear z + ( αp(z = ( αq(. 7. Utilize a ideia do eercício 6 para resolver as seguintes equações: a. y(6 y + + y = 0; b. y = y + e 3 y 4 ; c. 3 y = y(y + 3 ; d. 3 y = y( 3 y O problema de determinar uma função f : [0, a] R cujo gráfico tem comprimento igual a área entre ele e o eio O, no intervalo [0, t], para todo 0 t a, produz a seguinte equação diferencial: + (y = y. Encontre a solução do problema tal que y(0 = Determine uma função y = f ( cujo gráfico passe pelo ponto (, tal que, para todo p em seu domínio, a área do triângulo de vértices (p, 0, ( p, f (p e M seja, onde M é o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de f em ( p, f (p com o eio O. 0. Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos. Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas, fazemos z = y e obtemos uma equação de primeira ordem. Eemplo: Fazendo z = y na equação y y = 3 temos a equação z z = 3. Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação não estiver presente (somente y e suas derivadas, fazemos u = y = dy d, donde y = u = du d = du dy dy d = u du dy e então obtemos duas equações de primeira ordem. Eemplo: Fazendo isso na equação y + y = 0 temos as equações u du + y = 0, que dy resolvemos para u(y, e u = dy, que permite encontrar y(, depois de determinada d u(y. Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial. a. y y = 3 ; y y = (y 3 ; y = y + (y ; y + y =. b. y + 4y = 0; y 9y = 0; yy + (y = 0; c. ( + y y + y = 0, com y ( = 0; y( =. Analise a solução de condições iniciais y (0 = 0 e y(0 =. d. yy = y y + (y, com y(0 = e y (0 =.. Determine todas as soluções das equações: a. y + y + y = 0; b. y 4y + 4y = 0; c. y 4y + 8y = 0; d. y 9y + 0y = 0. MAT 0 (05 de 3

17 . Uma equação linear da forma y + αy + βy = 0, onde α e β são constantes reais, é chamada Equação de Euler de Segunda Ordem. Mostre que a mudança de variável = e z se > 0 (ou = e z, se < 0 transforma a equação de Euler numa equação linear de coeficientes constantes. Aplique este resultado para resolver as seguintes equações: a. y + y + y = 0; b. y 3y + 4y = 0; c. y + 3y + 0y = 0; d. y + 4y 4y = 0; 3. Determine as soluções gerais das seguintes equações: a. y + 3y + y = e ; b. y + y 6y = sin ; c. y + y = ; d. y + y + y = e ln ; e. y y 3y = 64e ; f. y + y 5y = e sec(; g. y + y = cos. 4. Princípio da superposição: se y ( e y ( são soluções de y + P(y + Q(y = R ( e de y + P(y + Q(y = R ( respectivamente, mostre que y( = y ( + y ( é solução de y + P(y + Q(y = R ( + R (. 5. Utilize o resultado do eercício 4 para encontrar as soluções gerais das equações abaio. a. y + 3y + y = e + e ; b. y + y 6y = sin + e ; c. y + y = + + e ; d. y + y y = 6e + 4; e. y + y = cos + 8. MAT 0 (05 3 de 3