Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro. Biomatemática/ Matemática I FOLHAS PRÁTICAS

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1 Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Biomatemática/ Matemática I FOLHAS PRÁTICAS Licenciaturas em Arquitectura Paisagista, Biologia e Geologia (ensino) e Biologia (cientíco) Ano lectivo 004/005

2 Biomat/MatI-004/05 Funções Reais de Variável Real. Determine o domínio das seguintes funções: a) f() = 3 b) g() = 4 3 ln( ) c) h() = ln j() = sin(π) +. Analise a injectividade e sobrejectividade das seguintes funções: a) f : IR IR b) g :], 0[ [, + [ IR c) h : IR IR Estude a paridade das funções seguintes: a) f() = b) g() = ln ( ) + c) h() = Mostre que as funções seguintes são periódicas e determine os respectivos períodos fundamentais: a) f() = sin(4) b) f() = tg(4 + ) c) f() = π + cos( 5) 5. Dena as funções compostas f g e g f, quando tal for possível, para os seguintes casos: a) f() = e g() = b) f() = e g() = 5 c) f() = + e g() = f() = e g() = + 6. Caracterize a inversa das seguintes funções: a) f() = sin() b) g() = cos() c) h() = tan() i() = cot() e) j() = cos( + π 4 ) f) k() = π arctan( ) 3 g) l() = sinh() h) m() = cosh() i) n() = tanh() 7. Calcule: a) cos ( arcsin ) b) arccos ( cos π 3 cos( arccos 4 5 ) e) arctg ( 3 3 ) ) ( ) + arccos c) tg ( ) arccos 3 f) ch (argth) g) argcotgh (sh ln 3) h) arctg (cosh(0)) 8. Prove as seguintes identidades: a) ch sh = ; b) th = sech ; c) cotgh = cosech ; sh ( + y) = sh ch y + sh y ch

3 Biomat/MatI-004/05 Limites e continuidade de funções 9. Calcule, se eistirem, os seguintes limites: [ tan(3) arcsin( ) a) lim 0 sin() ; b) lim + cos( ) ] ; c) lim arccos() ; lim 0 tan sin() ; e) lim 0 + ; f) lim 0 + cos. 0. Indique, justicando convenientemente, o valor lógico das seguintes proposições: ( ) ( ) a) lim sin = 0; b) lim 0 0 sin = 0; ( sin cos ) c) lim = 0; lim sin + cos ( ) = ; 0 0 e) lim + sin = ; f) lim cos. Averigúe se são contínuas em = 0 as funções denidas por: a) f() = ( sin ) se 0 0 se = 0 c) h() = e se 0 0 se = 0 = 3. sin() sin se 0 b) g() = se = 0 i() = ( ) sin se < 0 0 se = 0 ( + ) se > 0. Averigúe se eiste k de modo que as funções f e g sejam contínuas nos pontos = e = 0, respectivamente: 3 se < f() = se = k + 7 se > e g() = sin(π) π k ( arctg ) se < 0 se = 0 se > 0.

4 Biomat/MatI-004/ Determine K de modo que a função g denida por seja contínua em = 0. K se 0 g() = 4K se = 0 4. Determine K de modo que a função f denida por seja contínua em =. f() = se > sin(ln ) K se = [ ] tan( ) se < ( ) 5. Considere a função h denida por ] (cot ) ln(sin ) se 0, π ] 4 h() = /e se = 0 se [ π [ + e 4, 0 Mostre que a função não é contínua em = Considere a função f denida por a) Esboce o gráco de f; b) Prove que f é contínua em IR. + se 0 f() = se > 0 ) f ( π 4 7. Se f() = cot, conrme que f ( π 4. Isto contradiz o teorema de Bolzano? Justique. π 4 ) < 0. Mostre que f não se anula entre π 8. Se f() = arctan, aplicando o teorema de Bolzano, justique a eistência de pelo menos um zero da função no intervalo [, ]. 4 e

5 Biomat/MatI-004/05 4 Derivadas 9. Aplicando a denição de derivada de uma função num ponto, determine f (a) nos pontos indicados, sendo: a) f() = + em a = 0; b) f() = sin() em a = 0; c) f() = ln( + e) em a = 0; f() = em a =. 0. Determine, usando a denição, a epressão analítica da função derivada de f, nas alíneas seguintes: a) f() = e ; b) f() = ln ; c) f() = b com b IR + \ {}; f() = e.. Calcule as derivadas laterais das funções f e g, nos pontos das seguintes funções: f() = { se + 5 se > e g() = e se < 0 sin se 0 < π 4 se π 4. Determine a epressão analítica da derivada de cada uma das seguintes funções: ( a) f() = arctan ; b) g() = ) arctan ; e ( ) ( ) c) h() = arcsin ; i() = arccos Determine (f g) () para os seguintes pares de funções: a) f() = e, g() = ; b) f() = ln, g() = cos ; c) f() = arcsin, g() = 3 sin ( ) cos ; f() = e, g() = arctan.. 4. Dadas as funções f e g denidas por f() = 5tg determine: + 3 e g() = π arctan( ), (a) Uma equação da recta tangente ao gráco de g no ponto de abcissa ; (b) a derivada de f g no ponto de abcissa.

6 Biomat/MatI-004/ Determine, usando o teorema da derivada da função inversa, as derivadas das funções denidas por: a) f() = ln ; b) g() = arccotg; c) h() = tg. Aplicações das Derivadas 6. A função denida por f() = 5 4 anula-se nas etremidades do intervalo [-,]. Verique que a derivada desta função não se anula em nenhum ponto do intervalo ]-,[. Eplique por que não se pode aplicar aqui o teorema de Rolle. 7. Mostre, usando o teorema de Rolle que a equação = 0, tem uma e uma só raíz no intervalo ]0,[. 8. Considere a função f denida por: f() = (a) Mostre que, no intervalo [-,], a função f satisfaz as condições do teorema de Rolle; (b) Determine c ], [ tal que f (c) = A equação e = + tem a raiz = 0. Prove, utilizando o teorema de Rolle, que esta equação não pode ter outra raiz real. 30. O teorema de Lagrange diz-nos que, para um c adequado, a recta tangente em (c, f(c)) é paralela à corda que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Em cada uma das alíneas seguintes são dados uma curva e o intervalo [a, b]. Encontre o valor de c satisfazendo as condições do teorema de Lagrange. a) y =, [, 3]; b) y =, : [5, 36]; c) y =, [7., 7.] Considere a função f() =. Sendo a = e b = as abcissas dos etremos de uma corda do gráco da função f, determine as coordenadas do ponto do gráco onde a tangente é paralela a essa corda.

7 Biomat/MatI-004/ A taa de crescimento de uma dada população de seres vivos é dada por, dp dt = r(n P )P isto é, o crescimento é proporcional à população actual e à diferença entre a população actual e o valor máimo permitido N para um crescimento sustentável. A evolução da população ao longo do tempo, P (t), para uma população inicial P 0 quando t = t 0 é dada por NP 0 P (t) = P 0 + (N P 0 ) e rn(t t 0) a) Mostre que a taa de crescimento da população, dp dt, é máima quando P = N ; b) Para que valor tende a população quando t?; c) Faça o esboço dos grácos de P (t) e dp dt ; Mostre que a população P (t) atinge o valor de N ao m de unidades de tempo. τ = t 0 ( ) ( ) P0 ln rn N P O teorema de Lagrange é aplicável à função f, denida por f() =, no intervalo [0, ]? Justique. 34. Calcule, usando a Regra de L'Hôpital, os seguintes limites: a) lim + ln 3 + ; b) lim 0 sin 3 ; c) lim 0 cos sin ; lim (π ) tan ; e) lim π + 0 [ 5 ln( + ) 3 ] ; f) lim + {[ln( + ) ln ] } ; g) lim 0 + ( ) ; h) lim 0 (tan ) cos ; i) lim e ; j) lim 0 (e + 3) ; k) lim (cotg )tan ; l) lim m) lim ( + ) ; n) lim 0 0 ; o) lim. + ( )ln( ) ;

8 Biomat/MatI-004/05 7 Primitivas 35. Determine a função f denida em IR que verica as seguintes condições: a) f () = cos f(0) = b) f () = sec f(π) = 3 c) f () = f(0) = 0 f () = + f() = e) f () = e f (0) = 6 f(0) = f) f () =, > 0 f () = f() = Primitivas Imediatas 36. Calcule as seguintes primitivas: a) 5a 7 d b) d c) a + b 3 d d e) a b 3k 3 d f) sin cos d g) tan sec d h) arcsin d i) e + e d j) a + 3 d k) e +3 d l) sin e cos d m) p) s) v) e arctan + d n) e arcsin() 4 d o) ln d d q) t) tan d w) ln ( ln ) d r) (4 + ) arctan ( ) d u) 4 d ) + d ln ln(ln ) d cos + sin d 6 3 d y) e 4 d z) d

9 Biomat/MatI-004/05 8 Primitivação por Partes 37. Calcule as seguintes primitivas: a) cos d b) ln d c) e cos d arccos d e) ln( + a ) d f) ln(ln ) d g) e d h) arcsin d i) cos(ln ) d j) arcsin d k) ( arctan ) d l) e 3 d m) 3 cos d n) cos ln + cos d o) e arcsin d Primitivas de Funções Trigonométricas 38. Calcule as seguintes primitivas: a) cos 3 d b) sin d c) sin () cos 3 () d g) cos 3 sin 4 d e) tan 3 d h) sin 3 () cos 3 () d f) cot 4 d i) sin 4 d sec 4 d j) sec cosec d k) cosec 3 d l) sinh 3 d

10 Biomat/MatI-004/05 9 Primitivas de Substituição 39. Calcule as seguintes primitivas: a) e d e + e b) e e d d e) 3 d f) + + c) 5 d d g) j) m) d h) 4 d k) cos sin 6 sin + 5 d n) d i) + d 9 d l) d 3 3 sin + 5 cos d o) + d Primitivas de Fracções Racionais 40. Calcule as seguintes primitivas: a) d ( + ) d b) e) d c) + 3 d + 6 ( 3) ( ) d f) ( )( + ) d 4. Calcule as seguintes primitivas: a) d b) d c) 3 sin d g) log 5 log d e) 3 d h) log(log ) 4 d f) d d i) sin + 3 cos d j) n log d k) m) cos(log ) d n) ( + ) 4 d l) ( )e + d d

11 Biomat/MatI-004/05 0 Cálculo integral 4. Considere a função real de variável real denida por: f() = +. a) Indique a função g tal que g () = f() e g() = 0. b) Indique a função g tal que g () = f() e lim c) Determine o valor de Calcule os seguintes integrais: f() d. g() = 3. a) ( + 3) d b) e sin(ln) d c) 5 3 d 0 e d e) e ln d d f) y 3 y + dy g) 4 d h) π 6 π 6 sin d i) 0 e e d j) d l) d m) d

12 Biomat/MatI-004/05 Aplicações do Cálculo Integral 44. Esboce a região, do quadrante, limitada pelas seguintes curvas e determine a sua área: a) y =, y = 4 e y = 3 ; b) y = e = 3y; c) y = tan, y = cot, y = 0, = 0 e = π. 45. Considere as regiões planas descritas em coordenadas cartesianas por: S = { (, y) IR : y + }; S = { (, y) IR : y sin 0 π }; S 3 = { (, y) IR : e y e 0 }; S 4 = { (, y) IR : + y y y 4 }; S 5 = { (, y) IR : y y 4 }; S 6 = { (, y) IR : + y + 3 }. a) Represente gracamente cada uma das regiões. b) Determine, usando integrais, a área das regiões S, S, S 3, S 4, S 5 e S 6. c) Determine, usando integrais, o volume do sólido gerado por rotação em torno do eio dos, das regiões S, S, S 3, S 5 e S 6. Determine, usando integrais, o volume do sólido gerado por rotação em torno do eio dos yy, das regiões S 5, S 4, S e S Determine, usando integrais, o comprimento do arco de curva das seguintes funções: a) y = 3 6 +, para [, 3]; b) =, para y [0, π 3 ]; c) = 4 y ln y, entre os pontos ( 4, ) e ( ln, ).