Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim

Transcrição

1 Lista de Férias Bases Matemáticas/FUV Encontre uma epressão para a função inversa: + 3 a) e b) e c) d) ln( + 3) 6 Prove a partir da definição de ite que: a) 3 ( + 6) = 9 b) = c) 2 = 4 2 d) 4 = 4 3 e) 3 = 4 3 f) = Esboce os gráficos das funções: a) cos(3 + π) b) 3 sen() c) + sen() d) 2 3 Faça o gráfico da equação + y = + y. 4 Faça o gráfico f() = Calcule a) 2 b) c) c d) cotg() 0 e) 0 cotg(2) cossec() f) sen( ) Prove que a função f() = ite quando 0 8 Calcule os seguintes Limites: 3 + a) 2 + b) c) /2 d) 2 ( + ) ( ) e) ( + h) 3 3 h h f) g) Calcule os seguintes iites: a) não possui

2 3 b) c) d) e) Ache os seguintes Limiites: a) sen 4 0 b) sen(n) 0 sen(m) c) sen sen a a a d) 2 e) π/4 tan π + 2 sen cos tan Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados: a) f() = 4 em = b) f() = em = 0 c) f() = em = 4 d) f() = 5 2 em = Limites Laterais 2 Calcule os ites laterais: a) + b) f() f() c) onde + { 3 se f() = 2 se < f() f() d) onde { 3 se f() = 2 se < f() f(2) e) onde { 3 se 2 f() = 6 2 se < 2 f) 3 g) Suponha que para todo Calcule 0 g(). g() 4. 4 Calcule os seguintes ites usando o teorema do confronto: a) 2 sen ( 0 b) sen ) 2 ( ) 2 5 Seja f() = a função maior inteiro. Para que valores de a eiste a f(). 6 Eiste um número a tal que o ite a + a eiste? Caso afirmativo encontre a e o valor do ite. 7 Seja f() = a) Esboçe o gráfico de f() b) Se n for um inteiro calcule: f() e f() n n + c) Para quais valores de a eiste a f() 2

3 8 Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua: { c + se 3 f() = c 2 se > 3 9 Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua: { f() = 2 c se < 4 c + 20 se 4 20 Use o teorema do valor intermédiario para provar que eiste uma raiz da equação no intervalo especificado: a) = 0 (, 2) b) 3 (0, ) c) cos() = (0, ) d) ln = e (, 2) 3 + c) 0+ d) 3+ e) sen() Calcule os seguintes Limites ( a) + k ) ( ) b) + ( ) + c) 2 d) ( + sen()) 0 e) ln( + ) 0 f) (ln(2 + ) ln( + 2)) 2 Use o teorema do valor intermediário para provar que eiste um número c tal que c 2 = 2. (Ou seja, demonstre a eistência de 2) 22 Calcule os seguintes ites: a) b) c) d) 2 e) + 5 f) + 23 Calcule os seguintes ites: a) 4+ b) O que ocorre com as raizes da equação a 2 b + c = 0 Se o coeficiente a tende a zero e os coeficientes b, c ficam constantes? 26 Demonstrar que todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real. 27 Ache as constantes k e b de modo que [ ] k + b = 0 + Qual o significado da reta k + b? 28 Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. (Esboce os gráficos e confira usando algum software computacional) a) y = b) y =

4 c) y = d) y = Encontre se 4 para todo > 5. < f() < Calcule a derivada das seguintes funções: a) u 2 + u 2 b) + c) e + e e a + d) (a) 2 e) a + e e a + f) sec() g) sec() tg() h) cossec() i) sen() cos() j) cos() + 2 cos()+ k) cos(sen(e )) l) m) ( t ) 5 2 t + + a) = 2 = 2 b) = 2 =. c) = 2 =.0 d) = 2 = + h 32 A que valor tende o ite da secante no último caso quando h 0? 33 Ache a razão y para a função y = a) no ponto 2 e = b) no ponto 2 e = 0. c) no ponto 2 e = Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do ite do quociente de Newton: f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h a) derivada de f() = no ponto a = 0 b) derivada de f() = no ponto a = c) derivada de f() = 2 no ponto a = d) derivada de f() = 2 no ponto a = 2 e) derivada de f() = 3 no ponto a = f) derivada de f() = 4 no ponto a = 0 g) derivada de f() = no ponto a = 4 h) derivada de f() = 3 no ponto a = 8 i) derivada de f() = j) derivada de f() = no ponto a = no ponto a = n) Ache o coeficiente angular da reta secante a parabola y = 2 2 se as abscissas dos pontos de intersecção são iguais a: 35 Prove que d d cos() = sen() 36 Mostre d d e = e ). d d a = ln(a)a. (Use que 4

5 37 Escreva a equação da reta tangente as curvas y = f() no ponto especificado: a) y = 3 no ponto = 3 b) y = no ponto = c) y = sen() no ponto = π d) y = 2 no ponto = 2 e) y = cos() + 2 no ponto = 0 38 Quantas retas tangentes a curva y = + passam pelo ponto (, 2). Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? 39 Encontre as derivadas das seguintes funções: a) f() = b) f() = π c) f() = a 2 + b + c d) f() = a m + b m+n e) f() = π + ln(4) ln(7) f) f() = g) f() = a 2 + a a a h) f() = a Seja b 3 2 cosh() := e + e senh() := e e 2 Esboce os gráficos de senh() e de cosh(). Mostre que: a) cosh 2 () senh 2 () = b) senh( ) = senh() c) cosh( ) = cosh() d) (senh()) = cosh() e) (cosh()) = senh() 4 Calcule as seguintes derivadas: 2 a) f() = ( ) 30 b) f() = 2 c) f() = (3 2 sen()) 5 d) f() = 3 a + b 3 e) f() = 3 sen 2 () + cos 3 () f) f() = sen(5) + cos( 7 ) + tg( g) f() = sen( ) + tg( a ) h) f() = log 0 (sen()) i) f() = ln(e + 5 sen() 4 3 ) m j) f() = a + bn a b n k) f() = 4 (a 2 3 ) 2 l) f() = 3 cotg( ) 42 Em que ponto a tangente a parábola y = é paralela a reta 5 + y 3 = Achar a equação da tangente e da normal a curva y = no ponto 2, Dado f() = Encontre os pontos do gráfico de f nos quais a tangente é horizontal. 45 Dado o polinômio p() = a 3 + b 2 + c + d. Determine a, b, c, d se p(0) = p() = 2 p (0) = e p (0) = O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação y(t) = sen(0πt) a) Encontre a velocidade da partícula após t segundos b) Em quais instantes de tempo a partícula está parada? c) Em quais instantes de tempo a partícula está subindo? 5

6 47 O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função eponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é s(t) = 2e.5t sen(2πt) onnde s é medida em centímetros e t em segundos. a) Encontre a velocidade após t segundos. b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes. c) Mostre que t s(t) = 0. Interprete o significado desse ite. 6

7 Respostas dos Eercícios 8 a) b) 0 c) 6 f) 0 g) /3 0 a) 4 b)n/m c) cos(a) e) / ; -. 8 /3 22 a) b) c) - d) /2 e) f)/2 23 a) b) c) d) e) 24 a) e k b) e 2 (Dica: Use o item a) c) /4 d) e e) f) ln(2) 3 a)- d) -h 33 a) -/6 b) -5/2 c) -50/20 34 a) b) c) 2 d) 4 e) 3 f) 0 38 Dois pontos, ( 2 ± 3, ( 3)/2) 39 b) d)am m + b(m + n) m+n 4 a) 30( ) 29 (3 0) b) 2 c) 0 cos()(3 2 sen()) 4 b 2 d) (a + b 3 ) f) 2 5 sen(5) 7 sen( 7 ) + sec2 ( ) 2 h) cotg() log 0 e j) 2abmn n (a + bn ) m (a b n ) m+ l) 43 (a 2 3 )(a 5 3 ) 43 y 5 = = 0 3 7