Exercício 7. Usar as rectas tangentes às curvas nos pontos x 1 indicados, para obter estimativas dos valores das funções nos pontos x 2.

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1 Capítulo. Cálculo Integral Cálculo I - EC, EEC, EM 28/9 [Complementos de derivadas] Optimização. Aproimação linear. Derivação implícita. Derivada da função inversa. Regra de l'hôpital. Derivadas de ordem superior. Etremos de funções Eercício. Mostrar que o cilindro recto de volume máimo que pode ser inscrito num cone recto circular, tem 4/9 do volume do cone (gura ). Eercício 2. Calcular as dimensões do rectângulo de área máima que pode ser inscrito no triângulo, nos casos indicados na gura 2. Eercício. Calcular as dimensões do rectângulo de área máima que pode ser inscrito na elipse (/4) 2 + (y/) 2 = (gura ). Eercício 4. Um homem está numa margem de um rio e quer chegar à cidade na outra margem, como mostra a gura 4. Para isso ele vai remar em linha recta até um certo ponto na margem oposta e depois caminhar em direcção à cidade. Dado que o homem consegue caminhar à velocidade de 5 milhas por hora e remar à velocidade de milhas por hora, para que ponto da margem oposta se deve dirigir de modo a chegar à cidade no menor tempo possível? Eercício 5. Um automóvel desloca-se em linha recta à velocidade constante de 5km/h, sendo seguido por uma câmara a num ponto (ver gura 5). O tempo t começa a contar quando o automóvel se encontra na vertical com a câmara. Escrever uma fórmula para a função θ(t). Determinar a taa de variação instantânea de θ com t. Escrever uma fórmula para a função r(t). Eercício 6. Um corpo é largado de uma altura de 2m, no instante t = s. Em que momento atinge o solo? Qual a velocidade do corpo no momento em que embate no solo? Qual a fórmula para a distância ao solo em função do tempo? Eercício 7. Usar as rectas tangentes às curvas nos pontos indicados, para obter estimativas dos valores das funções nos pontos 2. 2, = 2, 2 = , = 2, 2 =.96 Eercício 8. Em que intervalos é que as seguintes funções são injectivas? f() = f() = f() = 2 + sen() Mário Abrantes mar/

2 Capítulo. Cálculo Integral Eercício 9. Calcular as derivadas das funções implícitas e, se possível, as equações das rectas tangentes às curvas nos pontos indicados. 2 + y 2 = 8, (, y) = (2, 2) 4 2 2y 2 = 9, (, y) = (4, 2) + y = y, (, y) = (, ) (d) 5y 2 + sen(y) = 2, (, y) = (, ) Eercício. Calcular as derivadas das funções inversas. f() = f() = / 2, > Eercício. * Utilizar o teorema de Rolle para justicar as armações seguintes. A função y = tem um ponto estacionário no intervalo ], 2[. A função t = ln( 2 + ) tem um ponto estacionário no intervalo ] 2, 2[. Eercício 2. * Calcular as derivadas de primeira ordem, dy d, segunda ordem, d2 y d 2 e terceira ordem, d y d, das funções. y = f() = ln y = sen() (d) f() = e Eercício. Calcular os limites (usando a regra de l'hôpital, se necessário) e interpretar os valores obtidos. lim sen() (d) lim (e) sen() lim + lim tan() ln() + lim (f) lim 2 e ( ln() ) Eercício 4. Localizar os pontos de etremo das funções. y = y = + y = ln( + 2 ) (d) y = csc() Funções trigonométricas inversas Eercício 5. Escrever os valores eactos das epressões. sen ( ) cos ( ) sen ( 2 ) (d) cos ( 2 ) (e) tan ( ) (f) sec ( ) (g) arctan() (h) arcsec( 2) Eercício 6. Sendo θ = arcsen( /2), calcular os valores eactos de cos(θ), tan(θ), cot(θ), sec(θ), csc(θ). Mário Abrantes mar/ 2

3 Capítulo. Cálculo Integral Cálculo I - EC, EEC, EM 28/9 Eercício 7. Completar as igualdades. sec () = cos ( ) sen(sen ()) = tan (tan()) = (d) tan(cos ()) = (e) csc(tan ()) = (f) cot(csc ()) = Cálculo Integral Eercício 8. * Numa habitação são ligados os seguintes dispositivos eléctricos: uma lâmpada de 5W, das 7h às 2h; uma máquina de lavar roupa de W, das 7.h às 2h; um aquecedor de W, das 8.h às 22.5h. Considerando para preço do kw h (`Quilowatt-hora') o valor de.5e, qual a despesa tida no consumo de energia eléctrica? Eercício 9. Determinar valores aproimados para as áreas da regiões denidas pelos grácos das funções e o eio dos, nos intervalos indicados. f() = 2, [, ] f() = ln(), [, ] f() =, [ 4, ] (d) f() = e, [, 2] Eercício 2. Escrever usando uma fórmula de integral. d ( + 2) = d d + 2 d (e ) = ( + )e d ( ) tan() = sec 2 () (d) d ( ) b = b d d ln Eercício 2. Calcular os integrais indenidos. d d (e) 2d (f) d (i) 2 d (j) 5 d (m) d (n) d (g) (k) (o) d (d) ln(2)d 2 d (h) 2 d 2 d (l) d e d (p) e 2 d Eercício 22. Calcular os integrais indenidos. ( 4 ( e t )d (2 )d 2 + ) t + d t ( (d) e e ) d (e) d (f) (2 2 ) 2 d ( ) (g) + d (h) d (i) 4 d (j) d (k) dy (2 + y) 2 (l) ln()d Mário Abrantes mar/

4 Capítulo. Cálculo Integral Eercício 2. Calcular os integrais indenidos (usar a tabela de primitivas, se necessário) d + sen(t) 2 d cos 2 (t) dt ln() (d) cos(θ)tg(θ)dθ (e) ln( 2 ) d (f) ( ) (2 + )d (g) ( 2) d (h) 5 2 d (i) e e + 4 d arcsen(t) (j) ( 2 + ) 5 2d (k) e cos(2e )d (l) 2 t dt 2 Eercício 24. Calcular os integrais indenidos (usar a tabela de primitivas, se necessário). ( ) (4sec 2 2 () + csc()cot())d sec()(sec() + tan())d θ + sen 2 dt (θ) ( ) ( ) (d) d (e) sen 2 d (f) cos 2 d + sen() 2 2 Eercício 25. Integrar por substituição. 2e 2 d, u = d, = u2 (d) (e) cot()csc 2 ()d, u = cot() (f) + d, u = d, u = 2 ( + sen(t)) 9 cos(t)dt, u = + sen(t) Eercício 26. Integrar por substituição. e y e dy d y (d) tan (5)sec 2 (5)d (e) e d (f) (4 2 + ) d sen n (a + b)cos(a + b)d, n N Eercício 27. Calcular os integrais denidos. Identicar aqueles que correspondem ao cálculo de uma área e fazer um esboço das regiões do plano correspondentes. (d) π d cos()d (e) 2π d cos()d (f) 4 2 d 2 d Eercício 28. Calcular os integrais denidos. ( + ) 2e csc()cot() d /4π cos() d e d Mário Abrantes mar/ 4

5 Capítulo. Cálculo Integral Cálculo I - EC, EEC, EM 28/9 Eercício 29. Calcular as derivadas. d d d d sen( t)dt ln(t)dt d d (d) d d sen( t)dt cos(t) dt Figura 2: Figura retirada de Figura : Figura retirada de Figura : Figura retirada de Figura 4: Figura retirada de Figura 5: Figura retirada de Livros Todos os eercícios sem * foram adaptados de Calculus, Howard Anton, Sith Edition, John Wiley & Sons, Inc. Calculus, Howard Anton, Sith Edition, John Wiley & Sons, Inc Mário Abrantes mar/ 5