Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Exercícios de Trigonometria - atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 23 de Maio de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré ulysses@matematica.uel.br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro para as aulas e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de domínio público, mas em inglês existe muito material que pode ser obtido na Internet. Sugiro que o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: Assim diz o Senhor: Não aprendais o caminho das nações, nem vos espanteis com os sinais do céu; porque deles se espantam as nações, pois os costumes dos povos são vaidade; corta-se do bosque um madeiro e se lavra com machado pelas mãos do artífice. Com prata e com ouro o enfeitam, com pregos e com martelos o firmam, para que não se mova. São como o espantalho num pepinal, e não podem falar; necessitam de quem os leve, porquanto não podem andar. Não tenhais receio deles, pois não podem fazer o mal, nem tampouco têm poder de fazer o bem. A Bíblia Sagrada, Jeremias 10:2-5

2 Seção 1 Exercícios de Trigonometria 1 1 Exercícios de Trigonometria 1. Se 1 grau = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundos, calcular: (a) 1 6 (36o 24 ) (b) 1 3 (127o 24 ) (c) 1 4 (82o 17 ) (d) 1 3 (73o ) 2. Exprimir em radianos os seguintes ângulos: (a) 1 6 (36o 24 ) (b) 1 3 (127o 24 ) (c) 1 4 (82o 17 ) (d) 1 3 (73o ) 3. Exprimir em graus os seguintes ângulos: (a) 2π 3 rad (c) 2π 9 rad (b) 3π 7 rad rad (d) 4π 3 4. Qual é o raio de uma linha férrea circular que deverá alterar a direção em 24 o em um trajeto de 120 m. 5. Determinar a velocidade da Terra em uma órbita circular em torno do Sol, sabendo-se que o raio da trajetória circular é milhas e que 1 ano = 365 dias. Resp: 18, 5 milhas/seg 6. Utilizando um sistema de coordenadas ortogonais, localizar cada um dos pontos abaixo: (a) A=(3,4) (b) B=(-3,4) (c) C=(3,-4) (d) D=(-3,-4) (e) E=(0,5) (f) F=(5,0) mostrando que todos estes pontos estão localizados sobre a circunferência x 2 + y 2 = Obter a informação x, y ou r que está faltando para cada ponto P : (a) x = 5, r = 13, P no primeiro quadrante. (b) y = 12, r = 13, P no segundo quadrante. (c) x = 5, y = 12, P no terceiro quadrante.

3 Seção 1 Exercícios de Trigonometria 2 8. Se existir, determinar um ângulo do primeiro quadrante que seja côngruo a cada ângulo dado: (a) α1 = 730 o (b) β = 730 o (c) γ = 930 o (d) δ = 930 o (e) ɛ = 1130 o (f) φ = 1130 o (g) η = 1330 o (h) µ = 1330 o (i) ρ = 2330 o 9. Determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo α formado pelo eixo OX e pelo segmento de reta ligando a origem a cada ponto P dado. (a) P=(3,4) (b) P=(-3,4) (c) P=(3,-4) (d) P=(-3,-4) (e) P=(0,5) (f) P=(5,0) 10. Considerando que um ângulo θ possui um segmento inicial OA, onde O = (0, 0), A = (1, 0) e um segmento final OB, determinar o quadrante onde está localizado o ponto B, se: (a) cos(θ) < 0 e sen(θ) < 0 (b) cos(θ) < 0 e sen(θ) > 0 (c) cos(θ) > 0 e sen(θ) < 0 (d) cos(θ) > 0 e sen(θ) > Determinar sen(θ) e tan(θ) se cos(θ) = 3/ Determinar sen(θ) e cos(θ) se tan(θ) = 3/ Determinar cos(θ) e tan(θ) se sen(θ) = 3/ Determinar os valores de todas as outras funções trigonométricas se sen(θ) = 3/2 e cos(θ) = 1/ Se r > 0 e b > 0, obter os valores de cos(θ) e tan(θ) se sen(θ) = b r. 16. Determinar os valores de todas as funções trigonométricas se tan(θ) = x e θ é um ângulo do primeiro quadrante. Dica: Usar um triângulo retângulo. 17. Determinar os valores de todas as funções trigonométricas se θ = 45 o. 18. Determinar os valores de todas as funções trigonométricas dos ângulos complementares se α = 30 o e β = 60 o. Observe as relações interessantes.

4 Seção 1 Exercícios de Trigonometria 3 Definição 1 (Altura angular). É o ângulo formado entre o plano do chão e o segmento ligando uma certa posição ao topo de um objeto. 19. Uma árvore com 30 m de altura projeta uma sombra de 24 m. Determinar a altura angular ligando a extremidade sombreada ao Sol. 20. Determinar a altura de uma árvore se a altura angular varia de 20 o a 40 o quando uma pessoa de desloca 25 m em direção da base da árvore. 21. Determinar o comprimento da corda ligando dois pontos A e B de um círculo de raio r = 20 cm de modo que o ângulo AOB mede 150 o. 22. Simplificar as expressões de: (a) cos(θ + 90 o ) (b) sen(θ + 90 o ) (c) tan(θ + 90 o ) (d) sec(θ + 90 o ) (e) csc(θ + 90 o ) (f) cot(θ + 90 o ) (g) cos(θ o ) (h) sen(θ o ) (i) tan(θ o ) (j) sec(θ o ) (k) csc(θ o ) (l) cot(θ o ) (m) cos(θ + 3π 2 ) (n) sen(θ + 3π 2 ) (o) tan(θ + 3π 2 ) (p) sec(θ + 3π 2 ) (q) csc(θ + 3π 2 ) (r) cot(θ + 3π 2 ) 23. Deduzir as fórmulas de cálculo para todas as funções trigonométricas do argumento ( π 2 θ). Simplificar as expressões de tais fórmulas. 24. Deduzir as fórmulas de cálculo para todas as funções trigonométricas do argumento (π θ). Simplificar as expressões de tais fórmulas. 25. Se k Z, demonstrar que para todo θ R, tem-se que (a) cos(θ + 2kπ) = cos(θ) (b) sen(θ + 2kπ) = sen(θ) (c) tan(θ + 2kπ) = tan(θ) (d) sec(θ + 2kπ) = sec(θ) (e) csc(θ + 2kπ) = csc(θ) (f) cot(θ + 2kπ) = cot(θ) 26. Demonstrar que para todo θ R, tem-se que (a) cos( θ) = cos(θ) (b) sen( θ) = sen(θ) (c) tan( θ) = tan(θ) (d) sec( θ) = sec(θ) (e) csc( θ) = csc(θ) (f) cot( θ) = cot(θ)

5 Seção 1 Exercícios de Trigonometria Usando a identidade cos 2 (θ) + sen 2 (θ) 1, demonstrar que (a) 1 + tan 2 (θ) sec 2 (θ) (b) 1 + cot 2 (θ) csc 2 (θ) (c) sec 2 (θ) csc 2 (θ) sec 2 (θ) + csc 2 (θ) (d) 1 sen(x) cos(x) (e) (f) cos(x) 1 + sen(x) sec(x) csc(x) sec(x) + csc(x) tan(x) 1 tan(x) + 1 tan(x) sen(x) sen 3 (x) sec(x) 1 + cos(x) cos(x) cot(x) sen(x) tan(x) (g) 1 + sen(x) cos(x) csc(x) sec(x) tan(x) + sec(x) 1 (h) tan(x) + sec(x) tan(x) sec(x) + 1 (i) sen(x) sec(x) tan(x) (j) [1 sen 2 (x)][1 + tan 2 (x)] 1 (k) [1 cos(x)][1 + sec(x)] cot(x) sen(x) (l) csc 2 (x)[1 cos 2 (x)] 1 (m) sen(x) csc(x) + cos(x) sec(x) 1 (n) Se u = x sen(θ) y cos(θ) e v = x cos(θ) + y sen(θ), então u 2 + v 2 x 2 + y 2 (o) Se x = 2r sen(θ) cos(θ) e y = r[cos 2 (θ) sen 2 (θ)] então x 2 + y 2 r 2 (p) Se x = r sen(θ) cos(φ), y = r sen(θ) sen(φ) e z = r cos(θ) então x 2 + y 2 + z 2 r 2